精品解析：河北省石家庄润德学校2025--2026学年上学期八年级数学期中试卷

初二数学 （时间：120分钟，分值：120分） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形． 根据定义逐项判断即可． 【详解】解：因为图A不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图B不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，所以符合题意； 因为图D不是轴对称图形，所以不符合题意． 故选：C． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，做最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，更不可能是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 35800用科学记数法可表示为 B. 0.0156（用四舍五入法精确到0.001） C. 近似数，精确到了百分位 D. 取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，精确度和求一个数的近似数，近似数的最后一位在什么位上，则精确到什么位，精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，据此求解判断即可． 【详解】解：A、35800用科学记数法可表示为，原说法错误，该选项不符合题意； B、（用四舍五入法精确到），原说法错误，该选项不符合题意； C、近似数，精确到百位，原说法错误，该选项不符合题意； D、π取，身高约，其中和165都是近似数，原说法正确，该选项符合题意； 故选：D． 4. 若分式的值为零，则的值是（ ） A. B. C. D. 或0 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式值为零的条件可得且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 故选：C 5. 如图，已知，，且 C 是的中点，则判定的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是利用即可证明解答．先由线段中点的定义得到，再利用即可证明，即可得解． 【详解】解：∵C 是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：D． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的代数式求值以及分式化简，先将分式化简，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，约分后代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 代入，得． ∴ 答案为． 故选：A． 7. 已知、为实数，且，求的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 8. 如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A.根据，，，无法判定， 该选项符合题意； B.∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； C. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； 故选：A． 9. 如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（ ） A. 10 B. 11 C. 14 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而可得的周长；本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长．   故选：C． 10. 我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则燃油汽车平均每公里的加油费是元，根据“若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍”可列出分式方程，理解题意并找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则燃油汽车平均每公里的加油费是元， 依题意，得：． 故选：B． 11. 已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解求解参数，解一元一次不等式，正确解出分式方程是求解此题的前提． 先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是非负数”即可求出的取值范围． 【详解】解：原式去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， 解得， 综上：且， 故选：A． 12. 如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（    ） ①≌；②；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，所以，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，所以，从而可对进行判断． 【详解】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌，所以正确； ， ， ，所以正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ，所以错误； ≌， ， ， ， ， ，所以正确． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 当在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件，可得，解不等式即可得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得， 且， 故答案为：且． 14. 如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果． 输入后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出． 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 15. 如图，在中，,,垂直平分线段,点P是直线上的任意一点，则周长的最小值是____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）以及两点之间线段最短的公理；解题的关键是利用垂直平分线的性质将转化为，把的周长最小值问题转化为“两点之间线段最短”的问题来求解． 连接，由垂直平分得，将的周长（）转化为；根据两点之间线段最短，的最小值为线段的长度，再结合已知、，计算出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， ∴的最小值为8， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 16. 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为________________________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得； （2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ； ， ∵， ， （2）点D在线段上，如图： ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图： ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在的延长线上时，如图： 同理可得， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 故答案为：（1）；（2）或． 三、解答题（共72分） 17. 计算、解方程： （1）； （2）； （3）解方程； （4）解方程． 【答案】（1） （2） （3） （4）无解 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、解分式方程，熟练掌握相关运算的解法步骤是解答的关键． （1）先利用平方差公式求解，再加减运算即可； （2）先二次根式的乘除法运算和化简，再加减运算即可； （3）先化为整式方程，再解整式方程，最后检验计算结果即可； （4）先化为整式方程，再解整式方程，最后检验计算结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：去分母，得 解得 检验：当时， ∴原分式方程的解为； 【小问4详解】 解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得， 检验：当时， ∴是分式方程的增根，即原分式方程无解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 将代入得，原式 ． 19. 已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 完成下列证明过程： 证明：， _________________________， ____________， 在和中， __________（__________）， __________， ． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，根据线段的和差关系，已知条件，证明三角形全等，全等三角形的对应角相等，进行作答即可． 【详解】略 20. 如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点， （1）点表示的数为 ；点表示的数为 ，线段的长度为 ； （2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，设点表示的数为， ①实数的值为 ；②求的值； （3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）；； （2）①；② （3）的平方根为 【解析】 【分析】本题主要考查数轴与实数的关系，掌握数轴的特点，绝对值的性质，相反数的性质，求一个数的平方根的运算等知识是解题的关键． （1）根据正方形的面积的计算方法可求出边长，结合数轴的特点即可求解； （2）①根据点的移动即可求解；②根据绝对值的性质即可求解； （3）根据相反数的性质可求出，代入计算，再根据求一个数的平方根的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积分别为和， ∴边长分别为，， ∴根据图示，点表示的数为，点表示的数为，线段的长度为， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：①点表示的数为，向右爬了个单位长度， ∴点表示的数； ② ． 【小问3详解】 解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，，则， 当时，，则； 当时，，则； 当时，没有平方根； 当时，； 综上，的平方根为． 21. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】（1）A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 （2）800件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品800件． 22. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的周长为， ， ， ， ，， ． 23. 如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；… （1）计算下列各式的值： __________. __________. （2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由； （3）求的值. 【答案】（1）1；1 （2）猜想的结果为1. 证明： （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目定义的运算方式代数计算即可. （2）根据第（1）题的计算结果总结规律，并加以证明. （3）运用第（2）题的运算规律和加法结合律进行将式子中每一项适当分组，再进行计算. 【详解】解：（1）； . （2）略 （3） 【点睛】本题以定义新运算的形式考查了二次根式的综合计算，遵循新运算的方式，熟练掌握二次根式的计算是解答关键. 24. （1）基础夯实：如图1，垂足分别为D、E，，，则的长为_____． （2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线上．的边、上，，点E，F在内部的射线上，且，求证： （3）拓展应用：如图3，在中，，点D在边上，点E在线段上，若，则_____． 【答案】（1）3； （2）证明：如图2所示： ，，且， ， ， ， 在和中， ， （3） 【解析】 【分析】（1）由，，得，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）由，推导出，由，得，而，即可根据“”证明； （3）在上截取，连接，由，得，而，即可根据“”证明，则，由，设，则求得，则，所以，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解： 如图1：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：3； （2）略 （3）解：如图3， 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 即 ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查同角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质、数形结合及类比等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 （时间：120分钟，分值：120分） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 35800用科学记数法可表示为 B. 0.0156（用四舍五入法精确到0.001） C. 近似数，精确到了百分位 D. 取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 4. 若分式的值为零，则的值是（ ） A. B. C. D. 或0 5. 如图，已知，，且 C 是的中点，则判定的方法是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、为实数，且，求的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 13 8. 如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（ ） A. 10 B. 11 C. 14 D. 22 10. 我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 12. 如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（    ） ①≌；②；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 当在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 14. 如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 15. 如图，在中，,,垂直平分线段,点P是直线上的任意一点，则周长的最小值是____． 16. 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为________________________． 三、解答题（共72分） 17. 计算、解方程： （1）； （2）； （3）解方程； （4）解方程． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 完成下列证明过程： 证明：， _________________________， ____________， 在和中， __________（__________）， __________， ． 20. 如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点， （1）点表示的数为 ；点表示的数为 ，线段的长度为 ； （2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，设点表示的数为， ①实数的值为 ；②求的值； （3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根． 21. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 22. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 23. 如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；… （1）计算下列各式的值： __________. __________. （2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由； （3）求的值. 24. （1）基础夯实：如图1，垂足分别为D、E，，，则的长为_____． （2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线上．的边、上，，点E，F在内部的射线上，且，求证： （3）拓展应用：如图3，在中，，点D在边上，点E在线段上，若，则_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $