精品解析：福建省三明市列东中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

列东中学2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一．选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率．由题意可知点落在白色区域的概率为0.4，求出白色区域的面积，进而求出黑色区域的面积． 【详解】解：∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴点落在白色区域的概率在0.4左右， ∴白色区域的面积为， ∴黑色区域的面积为． 故选：C． 3. 如图，，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 4. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 5. 若正方形对角线的长为2，则该正方形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为2， ∴这个正方形的面积． 故选：B． 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴与不一定相等，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 7. 某地政府为推行“构建和谐社会，关注居民健康”的惠民政策，年度拨出专项经费万元用于辖区内所有社区居民血压、血脂、血糖检查，年度拨出专项经费万元．若专项经费年平均增长率为，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设专项经费年平均增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设专项经费年平均增长率为， 根据题意得，， 故选：． 8. 如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断． 【详解】解：∵这三个正方形的边都互相平行． ∴它们均相似． ∴ 解得：x=4． 故选：B． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，如果两个多边形都和第三个多边形相似，那么这两个多边形也相似． 9. 下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；先通过计算判别式分别确定四个方程有没有实数根，若，则利用根与系数的关系：进行计算，即可判断出正确的选项． 【详解】A．，则此方程没有实数根，故该选项不符合题意； B．，则，故该选项符合题意； C．，，故该选项不符合题意； D．，，故该选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，作轴，根据正方形的性质可得，根据勾股定理可得，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：连接，作轴，如下图： 由正方形的性质可得，，， 则， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴点B的纵坐标为， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质，坐标与图形，勾股定理以及含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线． 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 是一元二次方程的一个解，则______ 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：将代入得： ，解得：． 故答案为：0． 12. 若，且，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例关系的运用，掌握比例的性质是关键． 由已知比例关系设参数，代入所求表达式后化简． 【详解】解：由 ，设，（），且由 得， 代入得， 由于 ，故 ，可约去公因式，得 故答案为：． 13. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，晷针在晷面上所形成的投影属于________投影．（填写“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查的是平行投影的概念，根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 14. 在Rt中，∠C＝90°，点D是AB边的中点，若AB＝8，则CD＝______． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得． 【详解】∵，D是AB的中点， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 15. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意得，正方形，，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解方程得，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键． 16. 如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，先证明四边形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，得到，，则，可设AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，再由，即可得到，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E， ∵a∥b∥c， ∴AD⊥直线a，EF⊥直线a，EF⊥直线c， ∴四边形ADEF是矩形， ∴AF=DE，AD=EF， ∵直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为， ∴，， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴可设AB=AC=BC=x， 由勾股定理得：，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得（不符合题意的值已经舍去）， ∴△ABC的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行线的间距，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 三．解答题：（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开方法，因式分解法是关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 18. 在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． （1）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1:2． （2）在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为　 　． 【答案】 （1）如图△A1B1C1就是所求作的图形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质可以得解； （2）根据位似图形的性质可得解． 【详解】（1）分别在射线AO、BO、CO上截取，连结 即得所作图形； （2）∵在(1)中所画的图形中，△ABC的中线CD与的中线 是对应线段， ∴由“位似图形中不经过位似中心的对应线段平行”的性质可以得到：CD∥. 【点睛】本题考查位似图形的应用与作图，熟练掌握位似图形的意义和性质是解题关键． 19. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示． （1）请你通过画图确定灯泡所在的位置． （2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高． 【答案】 （1）如图，点O为灯泡所在的位置， （2） 【解析】 【分析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求； （2）根据＝，构建方程，可得结论． 【详解】（1）解：线段FH为小亮在灯光下形成的影子； （2）解：由已知可得， ＝， ∴＝， ∴OD＝4m． ∴灯泡的高为4m． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的性质与判定，掌握中心投影是解题的关键． 20. 如图，在中为边上一点， ，，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，正确理解题意，掌握相似的判定及性质定理是解题的关键． 利用已知条件证明，得到，代入数值计算即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴ ∴，即 ∴． 21. 如图，四边形是矩形． （1）尺规作图：作的垂直平分线，与，，分别交于点，，（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）； （2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 直线即为所求． （2） 证明，如下： 由（1）得，是直线的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图，即可； （2）由（1）得，，；再根据矩形的性质，全等三角形的判定，，；最后根据菱形的判定，即可． 【小问1详解】 尺规作法：分别以点和为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，延长，交于点，交于点， 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查垂直平分线，菱形和矩形的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的尺规作图，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质． 22. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案． 【小问1详解】 若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键，灯泡才会发光， 所以P（灯泡发光）； 【小问2详解】 画树状图如下： 一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光， 所以P（灯泡发光）． 23. 项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： （1）的长为_____米（用含的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】（1） （2） （3）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意列出即可； （2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可求解； （3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得：（米）， 得（米）， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 则的值为． 【小问3详解】 解：假设该实验田的面积能为240平方米， 则， 整理得， ∵，方程没有实数根， ∴假设不成立． 答：该实验田的面积不能为240平方米． 24. 已知：实数满足． （1）求证：； （2）若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； （3）若，，，求的值． 【答案】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴ （2）解：无整数根， 理由如下：假设有整数根，若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根， ∴，， ∴． 25. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】 问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 列东中学2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一．选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7 4. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 若正方形对角线的长为2，则该正方形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 某地政府为推行“构建和谐社会，关注居民健康”的惠民政策，年度拨出专项经费万元用于辖区内所有社区居民血压、血脂、血糖检查，年度拨出专项经费万元．若专项经费年平均增长率为，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3 D. 5 9. 下列一元二次方程中，两个实数根之和等于的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 是一元二次方程的一个解，则______ 12. 若，且，那么________． 13. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，晷针在晷面上所形成的投影属于________投影．（填写“平行”或“中心”） 14. 在Rt中，∠C＝90°，点D是AB边的中点，若AB＝8，则CD＝______． 15. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为________． 16. 如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是______． 三．解答题：（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上． （1）以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，位似比为1:2． （2）在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为　 　． 19. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示． （1）请你通过画图确定灯泡所在的位置． （2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高． 20. 如图，在中为边上一点， ，，．求的长． 21. 如图，四边形是矩形． （1）尺规作图：作的垂直平分线，与，，分别交于点，，（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）； （2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形是菱形． 22. 九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态，在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光）． （1）若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表法或树状图法） 23. 项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： （1）的长为_____米（用含的式子表示）； （2）若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 24. 已知：实数满足． （1）求证：； （2）若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； （3）若，，，求的值． 25. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $