精品解析：江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期数学周测（3）

2024级高一第二学期数学周测（3） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知点是角终边上一点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，，再利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意可得，， =+=××， 故选：A． 2. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和、差的正弦可求得和的值，即可得到. 【详解】由题意得， 联立两式得， 故． 故选：A. 4. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 5. 已知向量，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解. 【详解】由可得，所以， 同理由和可得 所以， 故， 故选：D 6. 在梯形中，已知，，，，，若，则的模为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，设，根据平面向量坐标线性运算与数量积的坐标运算即可得所求. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则,， 设，则，，， 则，， 所以，解得， 所以. 故选：C． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 任意向量，，若且与同向，则 B. 若向量，且，则三点共线 C. 若，则与的夹角是锐角 D. 已知|，为单位向量，且，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A，C，利用向量共线定理判断B，利用投影向量的定义判断D即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错误， 对于B，向量且时，由向量共线定理的推论，知三点共线，故B正确， 对于C，当同向共线时，，此时夹角不是锐角，故C错误， 对于D，由题意得，由投影向量定义得投影向量为，故D正确. 故选：BD 8. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C. 已知点为坐标原点，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，进一步即可判断；对于B，由三角形面积公式即可判断；对于C，由向量的夹角公式、模的计算公式直接验算即可；对于D，由条件等式得，结合数量积的运算律以及基本不等式即可求解. 【详解】对于A中，因为是非零向量，由，可得，即， 可得，且，解得或，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，因为，可知， 则，且，可得， 所以，故C正确； 对于D中，因为，即， 可得，可知，可得， 则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确， 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知向量，，若//，则k＝____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算向量和的坐标，再根据向量平行的坐标关系列出方程，解方程求出k的值. 【详解】由题得，，， 因为//， 所以，解得， 故答案为：． 10. 设，均为钝角，且，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出和，再运用两角和公式求解. 【详解】∵ ， ，且，，， ∴. ∵ ，∴ ； 故答案为：. 11. 如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值； （2）利用诱导公式化简，即可求值； （3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可. 【小问1详解】 因为，且，所以， 即； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 因为，，所以， 又因为，所以， 则. 13. 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P. （1）求的值； （2）试问：当为何值时，? （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明: ， ， ， ， 因为，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量基本定理，得到，两边平方后即可求得结果；（2）将向量表示为，进而由得到，数量积运算求解即可；（3）分别计算和的值，证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 得：， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 因为，所以，即，解得， 故当时，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一第二学期数学周测（3） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知点是角终边上一点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 5. 已知向量，，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在梯形中，已知，，，，，若，则的模为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 任意向量，，若且与同向，则 B. 若向量，且，则三点共线 C. 若，则与的夹角是锐角 D. 已知|，为单位向量，且，则在上的投影向量为 8. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C. 已知点为坐标原点，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知向量，，若//，则k＝____． 10. 设，均为钝角，且，，则的值为______. 11. 如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值； （3）已知，且，求的值． 13. 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P. （1）求的值； （2）试问：当为何值时，? （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $