精品解析：天津市微山路中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段性检测数学试卷

2025-2026学年度高三上学期第一次阶段性检测 数学学科 一、单选题：本题共九个小题，每小题5分，共45分.只有一项符合要求. 1. 设集合，则 A. B. C. D. 2. 已知a为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则这三个数的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 4 7. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标伸长为原来的倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知i是虚数单位，化简的结果为________． 11. 已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________. 12. 已知，，，则的最小值为__________. 13. 计算_____． 14. 函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______． 15. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 三、解答题 16. 已知是非零向量，，且. （1）求. （2）求在方向上的投影向量； （3）求. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值． 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）若，求关于的不等式的解集． 20. 已知函数，． （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三上学期第一次阶段性检测 数学学科 一、单选题：本题共九个小题，每小题5分，共45分.只有一项符合要求. 1. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ,选B. 【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2. 已知a为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，得出或，再根据充要条件的判断方法确定答案即可. 【详解】由，解得或. 由可使或成立，而由或不能推出成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，，，则这三个数的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可以得出，然后即可得出，，的大小顺序． 【详解】解：，，， ． 故选：． 【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数单调性的定义，考查了计算和推理能力，属于基础题． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 又，所以，所以， 所以， 故选：D. 6. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 7. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式列式求解. 【详解】设扇形的圆心角为，依题意，，解得， 所以扇形的圆心角为2. 故选：D 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式可以判断出该函数的单调性，再结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为对于任意两个实数且，不等式恒成立， 所以有，或， 即，或， 所以当时，函数单调递增， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以当时，函数单调递增， 由，或， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由， 由， 由， 所以不等式的解集为， 故选：D 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标伸长为原来的倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求出解析式即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得的图象， 然后将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象. 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知i是虚数单位，化简的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复乘除法运算直接化简可得. 【详解】， 故答案为： 11. 已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分与两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题“，恒成立”是真命题. 当时，则有恒成立，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设 ①在上恒成立，则； ②在上恒成立，则； ③在上恒成立，则； ④在上恒成立，则. 12. 已知，，，则的最小值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由条件和基本不等式直接可得. 【详解】由，，，得. ， 当且仅当，即，由，得时不等式等号成立. 所以当时，有最小值. 故答案为：. 13. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质进行求解． 【详解】 ， 故答案为： 14. 函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞) 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可. 【详解】由题意，函数满足，解得或， 即函数的定义域为， 令， 则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是 ； 故答案为： . 15. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果； （ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果. 【详解】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，； （ii）； 当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值； 六边形为正六边形，为正三角形，； 作，则为中点，； ，即的取值范围为. 故答案为：；. 三、解答题 16. 已知是非零向量，，且. （1）求. （2）求在方向上的投影向量； （3）求. 【答案】（1）18 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用可得，展开进行计算即可； （2）利用投影向量的计算公式计算即可； （3）利用即可得解. 【小问1详解】 ，，即， ，，； 【小问2详解】 在方向上的投影向量为； 【小问3详解】 ， . 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化并化简得，结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从而可得，即可得到结果. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 因为，所以，则，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 由余弦定理可得， 即，所以. 所以. 则的周长为. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简可得：，利用最小正周期公式求解即可. （2）由正弦函数的单调性求出在区间上的单调性，结合单调性即可求出在区间上的最大值和最小值． 【小问1详解】 由题可得 所以 ， 则的最小正周期 【小问2详解】 由于 ， 令，解得：, 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则， 又，， 所以, 所以在区间上的最大值为，最小值为． 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，不等式解集为：；当时，不等式解集为：或；当时，不等式解集为：或. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得的值，再求解二次不等式可得的值； （2）将二次不等式因式分解，对的情况分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集是， 所以是方程的两个实数根，且， 将代入方程中得：， 则原不等式为：， 即， 所以不等式的解集为， 从而得出， 所以. 【小问2详解】 由不等式得：， 因为，所以不等式变形得到：， 所以对应方程的根为：或， ①当时，即，不等式为， 此时不等式解集为：； ②当时，即， 此时不等式解集为：或； ③当时，即， 此时不等式解集为：或； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：或； 当时，不等式解集为：或. 20. 已知函数，． （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求的零点个数． 【答案】（1） （2）见详细解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，结合点斜式方程即可求解； （2）令，求导研究的单调性，同时结合即可求证； （3）令，求导研究的零点及正负分布，得到的单调性，同时结合即可求解出的零点个数． 【小问1详解】 将代入可得，又， ，所以切线方程为，即． 【小问2详解】 当时，，即证明当时，， 令，，则， 因为，有，所以当时，在上单调递减， 所以当时，，也即． 【小问3详解】 ，令，再求导得， 因为，有，且，故，即在上单调递减， 又因为时，，，且单调递减， 可知在上有且仅有一个零点，其中， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 又因为，则，且时，，时，， 所以有2个零点， 综上，的零点个数为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $