安徽省六安市第一中学2025-2026学年高一上学期周末检测（四）数学试卷

六安一中2025年秋学期高一年级周末作业 数学试卷（四） 时间：120分钟 满分:150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．下列各式中，表示是的函数的有（     ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．“函数的定义域为R”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．， 6．函数的值域为（     ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．若的最小值是3，则实数a的值为（     ） A．5或8 B．或5 C．或4 D．或8 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 10． 对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11． 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 13．已知函数，则的解析式为 . 14．若，对，均有恒成立，则的最小值为________。 四、解答题：本题共3小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数 （1）对任意，函数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 16．（本小题满分15分） 某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 17．（本小题满分15分） 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）求使成立的实数a的取值范围. 18．（本小题满分17分） 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）当时，解关于x的不等式. 19．（本小题满分17分） 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 六安一中2025年秋学期高一年级周末作业 数学试卷（四）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B D B B D 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABC 1．D 【详解】因为，， 所以，，故选：D 2．B 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以.故选：B. 3．C 【详解】对于①，,定义域为,化简解析式为，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，属于多对一，故①是函数； 对于②，，定义域为，解得，故②不是函数； 对于③，，定义域为R，但当时，y有两个值与之对应，故③不是函数； 对于④，，定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，属于多对一，故④是函数.故①④是函数故选：C 4．B 【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立，①当时，对任意恒成立；②当时，只需，解得：； 所以.记集合，.因为A⫋B，所以 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件.故选：B. 5．D 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为；由函数可得，解得， 可知函数的定义域为；两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误．对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误．对于选项D：函数、的定义域均为，且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确．故选：D. 6．B 【详解】由可得，由于函数，所以，故，故选：B 7．B 【详解】当时，解得：，不满足条件；故，关于的不等式可得，所以，即， 方程的两根为，当时，不等式可化为，，解集为：，不满足条件；当时，不等式可化为，当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集，当时，则，即，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：.故选：B. 8．D 【详解】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，， 解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意， 综上或，故选：D. 9．AD 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，则，对于A，所以且，故A正确； 对于B，不等式，又，可得，所以或，故B错误；对于C，， 故C错误； 对于D，不等式，故D正确；故选：AD. 10．ACD 【详解】令，得，解得，故A正确； 令，得，即， 因为，，所以，故B错误；因，则，令，则，故C正确；又，，则，故D正确．故选：ACD 11．ABC 【详解】对于A中，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以A是真命题；当是无理数，是无理数，则是无理数，则，满足，所以B正确； 对于C，当为有理数时，则为有理数，则． 当为无理数时，则为无理数，则．故当时，，所以C是真命题；对于D中，若自变量是有理数，则也是有理数，可得， D不正确，所以D是假命题.故选：ABC 12． 【详解】由题设，则，对于，则，即，可得， 所以函数的定义域为. 13． 【详解】令，则 ，所以， 所以，其他写法只要有定义域的描述给分。 14． 【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为，即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.故答案为： 15．(1) (2)答案见解析 【详解】（1）依题意，恒成立， 恒成立， ……3 又因为恒大于0， ……5 所以， 即 ……7 （2）， ……1 当时，，由，解得： ………2 当时，令，解得. 当时，，即由，解得；……3 当时，，即，解得或 ……4 当时，，由，解得； ……5 当时，，即，由，解得或 ……6 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 ……8 16．(1) (2)100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元 【详解】（1）由题意有销售额为， 所以当时，，……3 当时，，……6 所以； ……7 （2）（2）当时，， 当时，万元，         ……4 当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，        即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. ……8 17．(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足，解得，即； 故实数a的取值范围为. 18.(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令可得； （2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性； （3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集. 【详解】（1）令，则, 可得； （2）在上单调递减，证明如下： 由已知，对于有成立，， 令，则， 所以，对有，故是奇函数， 任取且，则，由已知有， 又，得 所以在上是减函数； （3）因为， 所以， 即， 因为在上是减函数， 所以， 即，又， 所以， 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 19.(1) (2) (3). 【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解； （2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”，，再根据二次函数的性质知函数的图象开口向上，在上的最大值为或，即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，将问题“对任意的，都有”等价于“”，根据二次函数的图象与性质，分别讨论，，和，得到和，从而得到关于不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，则，， 由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1； 当时，的最大值为10； 所以在区间值域的为. （2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”. 由（1）知时，， 由二次函数的性质知函数的图象开口向上， 所以在上的最大值为或， 则，即，解得：， 故实数的取值范围为区间. （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，都有”等价于“”， 又在上单调递减，在上单调递增， ①当时，在上单调递增， 则，， 即，解得， 即； ②当. 由，解得：， 即； ③当时，. 由，得， 即； ④当时，. 由，得， 即. 综上，的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $