山东省济南市历城第二中学2025-2026学年高三12月月考数学试题

绝密★启用前 2025年12月济南历城第二中学高三月考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xlog2(x-1)<1},B={xx2-5x+6≤0)，则AOB= A.(1,3] B.[2,3) C.[2,3] D.(1,2] 2.若zi=1+i,,则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.二项式1-的展开式中，含的项的系数是 A.-10 B.10 C.-5 D.5 4.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S?=8,S2=26,则S= A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是 A.平均数=中位数=众数 B.众数<中位数<平均数 C.平均数<众数<中位数 D.平均数<中位数<众数 6.函数了()=m2x-青到向左平移9个单位(0<<引得到g(),若8)是偶函 数，则p= A B. C.G D. 数学试题第1页（共4页） 7.已知某圆台的上、下底面半径分别为，5，且？=2r,若半径为2的球与圆台的上、 下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为 A.28元 40元 56π B. 3 c. D.112元 3 8.己知点P在圆x2+y2=π2上运动，若过点P可以作曲线y=six(-π≤x≤π)的切线， 则点P的轨迹长度是 A B.π2 c. 3π 2 D.3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知双线c若+岩=1，则 A.m<0 B.双曲线C的实轴长为2√6 C.双曲线C的渐近线方程为y=±√-6mx D.当双曲线C的离心率等于其虚轴长时，m=-6 3 10.函数f(x)=sinx+acosx(a≠0)在一个周期内的图象可以是 数学试题第2页（共4页) 11.由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的四位数.下列说法错误的是 A.该四位数是奇数的有108个 B.该四位数能被5整除的有108个 C.该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个 D.若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(0,1),6=(2,x),若a1(6-a,则cos<a,6>= 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,O),C的准线与x轴的交点为T,若过 点T的直线I与C交于A,B两点，且|FA=3引FBI,则△TFA的面积等于 [e+,x≤0， 14.已知函数f(x)= V2sinx,0<x≤π ,若y=f(x)-a(a∈R)有三个零点x,x2,x3, 则实数a的取值范围为；若x<x2<x3,则x+2x2+3x的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2 a cos B. (1)证明：A=2B; (2)若△4BC的面积S= ,求A. 4 16.(15分) 如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OB=BF=1,点G 是线段BF的中点 E D (1)证明：EG∥平面DAF; (2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平 面DEF的距离. 数学试题第3页（共4页) 17.(15分) 设a为实数，函数f(x)=e-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln2-1且x>0时，e>x2-2ax+1. 18.（17分) 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球n(3≤n≤13)个，其余为黑球. (1)若n=6, ()求有放回地依次取出3个球，恰有一次取到黑球的概率. ()从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”， 用B表示事件“第二次取到白球”，求p(A)与p(B),并判断事件A与B是否独立， (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中 恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应 该分别如何放置白球的数量n. 19.(17分) 在平面直角坐标系x0中，已知椭圆三+若-a>6>0的离心率为5，直 线1与相切，与圆0：x2+y2=3a2相交于A,B两点当1垂直于x轴时，1AB=26. (1)求的方程； (2)对于给定的非空点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点， 且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N)」 (i)若M,N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当aPAB的面 积最大时，求d(M,N) (ii)若d(M,N),d(N,M)均存在，记两者中的较大者为H(M,N).已知H(X,Y), H(Y,Z),H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)≥H(X,Y) 数学试题第4页（共4页）