1.2.3二次函数的图象 课件 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.2.3 二次函数的图象 浙教版 1 上节课，我们学了y = a(x-m)2 +k的图象，回想一下这个函数图象的形状，开口方向，位置，平移法则？ 一般地，抛物线y = a(x-m)2 +k与的 相同， 不同。当a>0时，开口 ，当a<0时，开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 形状 位置 向上 向下 x=m (m,k) 平移： 上正下负 左加右减 导入新课 2 对于二次函数y=ax²+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？ 通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为 y = a(x-m)2 +k的形式 ？ 新知讲解 3 将y=ax²+bx+c （ a≠0 ）变形为y = a(x-m)2 +k的形式 y=ax²+bx+c= =a[]+c = 新知讲解 函数的图象与函数的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。 新知讲解 二次函数y=ax²+bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线， 对称轴是直线x= . 顶点坐标是为（ ， ） 当a>0时，抛物线的开口向上， 当a<0时，抛物线的开口向下， 二次函数y=ax²+bx+c的性质： 顶点是抛物线上的最高点。 顶点是抛物线上的最低点。 归纳总结 已知二次函数的图象如图所示，试确定a，b，c的符号 解：(1) ∵开口向下 ∴a<0 ∵ ∴b>0 ∵抛物线与y轴的交点在正半轴 ∴c>0 (2) ∵开口向下 ∴a<0 ∵ ∴b<0 ∵抛物线与y轴的交点在负半轴 ∴c<0 (3) ∵开口向上 ∴a>0 ∵ ∴b<0 ∵抛物线与y轴的交点原点 ∴c=0 拓展提升 7 例题解析 解：a=，b=3，c= ∴ =2 因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。 例1 求抛物线的对称轴和顶点坐标。 求下列函数图象的对称轴和顶点坐标 顶点坐标： 对称轴: (-1,2) (,-4) 直线x=-1 直线x= 自主练习 例题解析 例2:已知二次函数y=x²+4x–3,请回答下列问题： 1、函数y=x²+4x–3 的图象能否由函数 的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图； 2、说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 解：原函数可以化为 (1)函数的图象可由函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到，如图： 2、函数图象的开口方向向下、对称轴是直线x=4，顶点坐标是(4,5) 探究活动 一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部 离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点： 1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C 所得的函数解析式相同吗？ 请试一试。哪一种取法求 得的函数解析式最简单？ A B C 12m 想一想 求函数解析式首先要建立平面直角坐标系。 1、以点A为坐标原点，则B点的坐标是(12,0)，C点的坐标是(6，4) 设函数解析式为 则： 解得： 所以函数解析式为： 二次函数 图象的对称轴 图象的顶点坐标 直线x=0.即y轴 (0,0) 直线x=-2 直线x=-2 (-2，0) (-2，3) 填一填 归纳总结 二次函数的性质： 一般地，函数的图象，可以由函数的图象先向右(当m>0)或向左(当m<0)平移个单位，再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移个单位得到，顶点是(m，k)，对称轴是直线x=m. 2、以点B为坐标原点，则A点的坐标是(-12,0)，C点的坐标是(-6，4) 设函数解析式为 则： 解得： 所以函数解析式为： 3、以点C为坐标原点，则B点的坐标是(6,-4)，A点的坐标是(-6，-4) 设函数解析式为 则：-4=36a 解得：a= 所以函数解析式为： 由此可知取的坐标原点不同，函数解析式不同，当取C点为原点时，计算解析式比较简单。 如图：有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度为米；水位上升4米，就达到警戒线CD，这时的水面宽为米。若洪水到来时，水位以每小时0.5米速度上升，求水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？ 拓展提升 设函数的解析式为y=a（x-2）（x+2），由题意，得 解得：a= 则 当x=0时，y=8 则OM=8 则水过警戒线后淹没到拱桥顶端M处的时间为：（8-4）÷0.5=8小时 答：水过警戒线后淹没到拱桥顶端M处的时间为8小时 课堂练习 1．用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为 (　 　) A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25 C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25 2．抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为 (　 　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，3) D．(－1，3) B A 20 课堂练习 3、抛物线y=x2 +2x+b的图象全部在x轴的上方，则b的取值范围为：　 　 ． 4、若二次函数 的最大值为4，且图象过点（-3,0）则二次函数解析式为：　 　 ． b＜1 y= -4x 2 -16x-12 21 课堂练习 5. 求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． (1)y＝x2＋2x－3(配方法)； (2) 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,). 22 课堂练习 23 课堂练习 课堂小结 二次函数y=ax²+bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线， 对称轴是直线x= 顶点坐标是为（ ， ） 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 二次函数y=ax²+bx+c的性质： 26 THANK YOU 27 6．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，. (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． 解：(1)把(1，0)和代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－x＋； (2)∵y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2， ∴顶点坐标为(－1，2)， ∴将抛物线y＝－x2－x＋平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度(答案不唯一)， ∴平移后的函数表达式为y＝－x2. $