1.2二次函数的图课件2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.2二次函数的图象 2025.6 浙教版数学 九年级上 正比例函数y=kx（k ≠ 0），其图象是一条经过原点的直线。 一次函数y=kx+b（k ≠ 0），其图象也是一条直线。 反比例函数 （k ≠ 0），其图象是双曲线。 y= 最简单的二次函数： y=x2, 其图像是什么？ 三步：列表、描点，连线 x 0 y x 0 y x 0 y x 0 y x 0 y y=kx (k>0,b=0) y=kx (k<0) y=kx+b (k>0,b<0) y=kx+b (k>0,b>0) y=kx+b (k<0,b>0) y=kx+b (k<0,b<0) y= y= 【回顾】我们画过哪些函数的图象？ 【合作探究1】用描点法画出二次函数 y=x2 的图象. 列表 连线 描点 x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 … y … 0 1 … 建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点. 用光滑曲线顺次连结各点. x y o 【合作探究1】观察 y=x2 图象，它有什么特征？ x y o 图象关于y轴对称，y轴就是它的对称轴 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 （1）关于y轴对称. （2）过坐标原点. （3）并向上伸展的曲线. 【新知1】二次函数的图象 二次函数y=x2 的图象是一条关于y轴对称、过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线. 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 【合作探究1】观察 y=x2 图象，还能得到哪些信息？ x y o 图象关于y轴对称，y轴就是它的对称轴 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 对称轴：y轴-----直线x=0 位置：在x轴上方 顶点：（0，0） 开口方向：向上 函数有最小值：当x=0时，y最小值=0 函数的增减性： 当x<0时，y随x的增大而减小 当x>0时，y随x的增大而增大 【探究2】在同一直角坐标系中画出二次函数 y = 2x2 和 y = -2x2 的图象. 【探究2】探究y = ax2 (a ≠ 0) 的图象. Desmos | 图形计算器 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线. 它关于y轴对称，顶点是坐标原点. |a|越大，抛物线的张口就越小. y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置、 开口方向 对称性 顶点、最值 增减性 y O x 开口向上，在x轴上方. y O x 开口向下，在x轴下方. a的绝对值越大，开口越小. 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0. 顶点坐标是（0，0）. 当x=0时，y最小值=0. 当x=0时，y最大值=0. 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 【探究2】探究y = ax2 (a ≠ 0) 的图象. Desmos | 图形计算器 【例1】已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2，-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式. (2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置. (3)判断点(-1，-4)是否在此抛物线上. (4)求该抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 解：(1)把点(-2，-3)的坐标代入，得-3=，解得：a=- 这个二次函数的表达式是 (2)顶点为(0,0)，对称轴为y轴，即直线x=0 因为a=-,所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方(除顶点外)。 y O x 【例1】已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2，-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式. (2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置. (3)判断点(-1，-4)是否在此抛物线上. (4)求该抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 解：(3)把x=-1代入，得y=- ∴点（-1，-4）不在抛物线上 (4)把y=-6代入,得 解得x=±，∴点为（，-6）或 D D 【3】如图为四个二次函数的图象，分别是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a，b，c，d的大小关系为____________． a＞b＞d＞c 【4】如图，抛物线y＝－x2上有A，B两点，其横坐标分别为－1，－2，在y轴上有一动点C，则AC＋BC的最小值为_____________. 【5】如图，直线AB过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，点B的坐标为(1，1)． (1)求直线AB和抛物线的函数表达式； (2)若抛物线上有一点D(在第一象限内)使得S△AOD＝S△OBC，求点D的坐标． 【5】如图，直线AB过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，点B的坐标为(1，1)． (2)若抛物线上有一点D(在第一象限内)使得S△AOD＝S△OBC，求点D的坐标． 【1】若二次函数y＝－ax2的图象经过点P(－，2)，则该图象必经过点(　　) A．(，－2) B．(2，) C．(2，－) D．(，2) 【2】二次函数y＝ax2与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为1，连结A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC＋BC最短的点， 当x＝1时，y＝－1，当x＝－2时，y＝－4， ∴点A′(1，－1)，B(－2，－4)． ∴A′B＝＝3 . 即AC＋BC的最小值为3 . 解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)． 把点A(2，0)，B(1，1)的坐标代入， 得解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋2. 把点B(1，1)的坐标代入y＝ax2，得a＝1. ∴抛物线的函数表达式为y＝x2. 解：易知OA＝2. 由解得∴C(－2，4)． ∴S△OBC＝S△AOC－S△AOB＝×2×4－×2×1＝3. 设点D的纵坐标为yD，易知yD>0， ∴S△AOD＝OA·yD＝×2×yD＝yD. ∵S△AOD＝S△OBC，∴yD＝3.把yD＝3代入y＝x2， 解得x＝±. ∵点D在第一象限内，∴点D的坐标为(，3)． $$