1.3 二次函数的性质 课件2024-2025学年浙教版数学九年级上册

1.3 二次函数的性质 浙教版数学九年级上册 教材分析 本节课是初中数学浙教版九年级上册第1章二次函数的第3节的内容。二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的图象的基础上进行研究的，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即:利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对承数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。 教材分析 教学目标 1.能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴、最值和增减性. 2.掌握二次函数的性质与图象，能够借助于具体的二次函数，理解和掌握从函数的性质推断图象的方法。 3.通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，掌握从函数解析式、性质出发去认识函数图象的高度理解和研究函数的方法。 教学目标 教学重难点 重点： 掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，并会灵活应用． 难点： 通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 重难点 新知导入 想一想：你能说一说下面三个二次函数的顶点坐标和对称轴吗？ y=ax2 y=a（x+m）2 y=a（x+m）2+k 顶点坐标：（0，0），（-m，0），（ -m，k ） 对称轴：y轴（直线x=0），（直线x=-m ），（直线x=-m ） 这三个函数在位置上有什么关系？ 新知导入 新知导入 一般地，函数y=ax²的图象先向右（当m<0）或向左 （当m>0）平移|m|个单位可得y = a(x+m)2的图象； 再向上（当k>0 ）或向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到 y = a(x+m)2 +k的图象. 新知讲解 运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线？怎样计算 篮球达到最高点时的高度？ 新知讲解 新知讲解 观察下图中二次函数的图象，回答下列问题： （1） 当自变量增大时，函数的值将怎样变化？顶点是图象的最高点还是最低点？ 新知讲解 观察下图中二次函数的图象，回答下列问题： 如图所示，∵a>0，开口向上，∴当自变量在对称轴左边时，自变量增大，函数值减小；当自变量在对称轴右边时，自变量增大，函数值增大. 顶点是图象的最低点. 新知讲解 观察下图中二次函数的图象，回答下列问题： 如图所示，∵a<0，开口向下，∴当自变量在对称轴左边时，自变量增大，函数值增大；当自变量在对称轴右边时，自变量增大，函数值减小. 顶点是图象的最高点. 新知讲解 观察下图中二次函数的图象，回答下列问题： （2）判别这些函数有没有最大值或最小值，这是由表达式中哪一个系数决定的？ 新知讲解 观察下图中二次函数的图象，回答下列问题： 最小值-8 最小值-3 最大值 最大值-2 新知讲解 观察下图中二次函数的图象，回答下列问题： 最大值、最小值是由二次项系数决定的。 新知讲解 通过上面的问题，你能发现什么？ 一般地，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）有以下性质： b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 新知讲解 通过上面的问题，你能发现什么？ 一般地，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）有以下性质： b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a<0 新知讲解 在实际应用时，我们往往只要根据二次函数的表达式画出大致图象（包括确定顶点、对称轴、与 x 轴的交点），就能得到这个二次函数的有关性质. 总结归纳 新知讲解 （1）求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标， 并画出函数的大致图象. 所以函数的顶点坐标是(-7，32），对称轴是直线x=-7. 新知讲解 由x=0，得y= ， 即图象与y轴的交点坐标是(0， ). 由y=0，得 , 解得x1=-15，x2=1. 所以图象与x轴的交点是(-15，0)，(1，0). 函数 的大致图象如图. 新知讲解 （2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值. 解：由图象可知，当x≤-7时，y随x的增大而增大； 当x≥-7时，y随x的增大而减小. 当x＝-7时，函数 y 有最大值 32. 新知讲解 想一想，方程ax2+bx+c=0(a≠0)与函数y=ax2+bx+c(a≠0)有什 么关系? (1)当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1和x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0); (2)当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1，0); (3)当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点。 课堂练习 1.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，有下列结论： ① a+b+c<0； ② a-b+c>0； ③ abc>0； ④ b=2a. 其中正确的结论有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【知识技能类作业】 必做题： B 课堂练习 课堂练习 2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　). A．abc＜0，b2－4ac＞0 B．abc＞0，b2－4ac＞0 C．abc＜0，b2－4ac＜0 D．abc＞0，b2－4ac＜0 B 课堂练习 3.已知A(－2，y1)，B(－5，y2)，C(－1，y3)是抛物线y＝2x2＋8x-1上的点，则(　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y2>y3>y1 D．y3>y2>y1 C 课堂练习 4.当x≥m时，两个函数y1＝－(x－4)2＋2和y2＝－(x－3)2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为________． 4 课堂练习 【知识技能类作业】 选做题： 5.关于x的二次函数y=(a-1)x2-4x+1图象与x轴只有一个交点，则a的值为( ). A.5 B.2 C.1 D.1或5 A 课堂练习 6.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( ) . A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-1)2+2 C.y=(x-1)2+4 D.y=(x+3)2+4 B 课堂练习 【综合实践类作业】 7.已知二次函数y＝－x2＋2mx－m2－m＋2 (m是常数)．若该函数图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围． 解：令y＝0，则－x2 ＋2mx－m2－m＋2＝0. ∵a＝－1，b＝2m，c＝－m2－m＋2， ∴b2－4ac＝(2m)2＋4(－m2－m＋2)＝－4m＋8. ∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴该方程有两个不相等的实数根． ∴b2－4ac>0，即－4m＋8>0. 解得m<2. 课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 1.二次函数的最大值、最小值是由二次项系数决定的。 2.在实际应用时，我们往往只要根据二次函数的表达式画出大致图象 （包括确定顶点、对称轴、与 x 轴的交点），就能得到这个二次函数的 有关性质. 板书设计 课题：1.3 二次函数的性质     教师板演区   学生展示区 一、二次函数的最值. 二、二次函数的性质 三、二次函数性质的应用 板书设计 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，二次函数y=ax2+x-6的图象与x轴交于A(-3，0)，B两点，下列说法正确的是( ). A. 抛物线的对称轴为直线x=1 B. 抛物线的顶点坐标为(-2，-6) C. A，B两点之间的距离为5 D. 当x<-1时，y的值随x值的增大而增大 C 作业布置 作业布置 2.关于二次函数y=-3(x+3)2-2的图象与性质，下列结论错误的是( ) A.抛物线开口方向向下 B.当x=3时，函数有最大值-2 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.该抛物线可由y=-3x2经过平移得到 B 作业布置 3.已知：二次函数y=x2-4x-a， ①当x<1时，y随x的增大而减小 ②若图象与x轴有交点，则a≤4 ③当a=3时，不等式x2-4x+a>0的解集是1<x<3 ④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a=-3 其中，正确的说法有____________。(请写出所有正确说法的序号) ①④ 【知识技能类作业】选做题： 作业布置 4.已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)求点A、B、C的坐标; 解：当y=0时，-x2+2x+8=0 ∴x1=-2，x2= 4 ∴A(-2，0)，B(4，0) 将x=0代入y=-x2+2x+8得y=8 ∴C(0，8). 【综合实践类作业】 作业布置 4.已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (2)求此抛物线的顶点坐标. 解：∵y=-x2+2x+8 =-(x2-2x+1-1)+8 =-(x-1)2+9 ∴顶点坐标是:(1，9). 课程结束 $$