函数单调性及最值讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性及最值核心考点，按概念定义、判断方法、应用拓展的逻辑层次梳理知识，涵盖增减函数概念、等价形式、判断方法（定义法、图象法等）及最值求解，通过知识点填空梳理、方法指导（如复合函数“同增异减”）、基础题型训练（选择填空解答）等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破高考高频难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“概念辨析-方法总结-分层演练”教学模式，如复合函数单调性判断中通过内外函数分类讨论培养逻辑推理能力，解答题设计单调性证明与参数范围求解提升数学表达能力。基础题型覆盖高考常见设问，分层练习兼顾不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

函数单调性及最值 一．知识点过关填空 1．增函数、减函数的概念 增函数：对于定义域A内的某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有__________________，那么就说在区间上是增函数。 减函数：对于定义域A内的某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有__________________，那么就说在区间上是减函数。 2.单调性的定义的等价形式： 设，且 在是_____________函数； 在是_____________函数； 在是_____________函数。 在是_____________函数。 3.函数单调性的判断方法 （1）定义法：①任取；②作差；③判号，④下结论。 （2）图象法：（常见的重要函数图像） （3）单调性的运算性质 ①若是增函数，则为____________函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为____________（或____________)函数； ③若且为增函数，则函数为___________函数，为________函数； （4）复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：一定要先分清楚内外函数：令，则为内函数，外函数。 ①若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为__________函数； ②若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为__________函数；复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增，单性相异时递减。 （5）求导法 若f ′(x)>0在区间上成立，则f(x)在区间上是 的； 若f ′(x)<0在区间上成立，则f(x)在区间上是 的； 6.函数最值 （1）函数的最大值 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ①，都有； ②，使得__________________，那么称M是函数的最大值。 （2）函数的最小值 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ①，都有； ②，使得___________________ ，那么称M是函数的最小值。 7.函数单调性的应用 （1）比较大小：若在区间上递增（递减）且 ()； 则_________________________________ ； （2）解不等式：若在区间上递递减且()； 则_________________________________； 二．基础题型过关练 1.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4.若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5.函数在单调递增，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 6.已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 8.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 9.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. (4,+∞) B. (0,4) C. (0,2) D.(2,+∞) 10．（多选）下列函数中，满足“，，都有”的有（       ） A． B． C． D． 11.（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 12．已知函数在上递增，则实数a的取值范围为___________. 13.定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的值是__________． 14.已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 15．已知函数 (1)当，证明函数在上单调递减； (2)当时，，求的值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数单调性及最值 一．知识点过关填空 1．增函数、减函数的概念 增函数：对于定义域A内的某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是增函数。 减函数：对于定义域A内的某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是减函数。 2.单调性的定义的等价形式： 设，那么在是增 函数； 在是减 函数； 在是减 函数。 在是增 函数。 3.函数单调性的判断方法 (1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“任取—作差—判号—下结论”进行判断。 用定义法证明函数单调性的步骤 ①任取：任取是定义域内一个区间上的任意两个量，并令； ②作差：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③判号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④下结论. (2)图象法：画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。 (3)单调性的运算性质 ①若是增函数，则为__减 _函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为___增 ______（或___减 _)函数； ③若且为增函数，则函数为____增 ____函数，为__减 __函数； （4）复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：一定要先分清楚内外函数：令，则为内函数，外函数。 ①若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增 函数； ②若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减 函数；复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增，单性相异时递减。 （5）导数法 若f ′(x)>0在区间上成立，则f(x)在区间上是 单调递增 的； 若f ′(x)<0在区间上成立，则f(x)在区间上是 单调递减 的； 4.函数最值 （1）函数的最大值 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①，都有；②，使得.那么，称M是函数的最大值． （2）函数的最小值 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①，都有；②，使得.那么，称M是函数的最小值． 5.函数单调性的应用 即若在区间上递增（递减）且()； 若在区间上递递减且.(). 5.函数单调性的应用 （1）比较大小：若在区间上递增（递减）且 ()； 则； （2）解不等式：若在区间上递增（递减）且()； 则； 二．基础题型过关练 1.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 2.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 3．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意可知，，所以，解得． 故选：B． 4.若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 答案：A 【详解】 根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围. 函数满足对任意的实数都有， 所以函数是上的增函数， 则由指数函数与一次函数单调性可知应满足， 解得， 所以数的取值范围为， 故选：A 5.函数在单调递增，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【详解】在上为增函数， 故要想在单调递增， 所以在上单调递增，且在恒成立， 故且， 解得：， 故选：D 6.已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 则有 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 7.已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】依题意可得，的图像关于直线对称， 因为， 则，又在上单调递增， 所以； 故选：B. 8.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【详解】若，则等价于， 因为，在上单调递减， 所以由得； 若，则等价于， 由题知在上单调递增， 所以由得； .综上，的解集为. 故选：A. 9.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. (4,+∞) B. (0,4) C. (0,2) D.(2,+∞) 【答案】D 【详解】令， 因为对，且，都有成立， 不妨设，则，故，则，即， 所以在上单调递增， 又因为，所以，故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 故选：D. 10．（多选）下列函数中，满足“，，都有”的有（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题设条件可得应为上的增函数，逐项判断后可得正确的选项. 【解析】因为，，都有，故应为上的减函数. 对于A，当 ，，则在上为增函数，故A错误. 对于B，在上为减函数，故B正确. 对于C，对称轴，故在上为增函数，故C错误. 对于D，在上为减函数，故D正确. 故选：BD． 11.（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 答案:ACD． 【详解】设，，则是增函数，且， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； ，，因此的最小值是，故D正确． 故选:ACD． 12．已知函数在上递增，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】因为函数， 故当时，单调递减，当时，单调递增. 因为函数在递增， 所以，所以. 故答案为：. 13.定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的值是__________． 【答案】 【详解】若在上的最大值为4， 所以由，解得或， 所以要使函数最大值为4， 则根据新定义，结合与图像可知， 当，时，，此时解得， 当，时，，此时解得， 故或4， 故答案为：或4.    14.已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则， 因为， 所以， 故，解得： 又 所以， 所以； （2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为． 当时，， 所以此时函数的最大值为； 当时，， 所以此时函数的最大值为； 综上：． 15．已知函数 (1)当，证明函数在上单调递减； (2)当时，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) （1） 证明：若，则 ， 当时，，所以 所以，函数在上单调递减. （2） ①当时，，不满足条件； ②当时，易知函数在定义域内单调递增，则满足：， 联立，即解得，不满足条件； ③当时，令， 所以，函数在上单调递减； 同理可证，函数在上单调递增， 所以，函数最小值应在处取得， 当时，函数在的最小值为，所以，解得，符合条件； 当时，函数在的最小值为，所以，解得，不符合条件； 当时，函数在的最小值为，所以，解得：，不符合条件； 综上，. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $