精品解析：陕西省延安市 2025—2026 学年上学期九年级 数学第二次月考试题

2025~2026学年度第一学期第二次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若a是方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 2. 到2035年，我国的现代化建设将基本实现．2035四个数字中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句，在这句话中，“之”字出现的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 7. 如图，四边形内接于，过点C作交于点E，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点，，则下列说法：当时，随的增大而减小；若点，在该函数的图象上，则；该函数图象的对称轴是直线；该函数的图象有最低点．正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）． 10. 如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________． 11. 植树造林不仅具有为生物生存提供场所、防风固沙等重要功能，还能为人类生产大量可再生木质和非木质林产品，具有很大的生态、经济和社会效益．我国某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林的面积从2万亩扩大到2.42万亩，则该地这两年防风林面积的年平均增长率为_____． 12. 如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为________． 13. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移b个单位，所得抛物线与重合，则______． 14. 如图，在和中，，，点O在边上满足，将绕着点A顺时针旋转，连接，记的中点为P，则的最大值是__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 某超市设置了一个抽奖活动，凡在超市购物均可参与活动．在一个不透明的箱子中放入了写有“谢谢惠顾”的卡片和“饮料一瓶”的卡片共60张，这些卡片除所写内容不同外其余均相同，工作人员将箱子中的卡片洗匀后，随机抽取一张卡片并记录内容，记为一次试验，不断重复这一过程，已知随机抽取100次，其中抽到写有“谢谢惠顾”的卡片共30次，估计箱子中写有“饮料一瓶”的卡片数． 17. 已知抛物线经过点，判断点是否在抛物线上，并说明理由． 18. 如图，是半圆的直径，请用尺规作图法找到圆心O，并在上找一点C，连接，使得平分此半圆的面积．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到矩形，点B的对应点E恰好落在边上，点C、D的对应点分别为点F、G，连接，求证：． 20. 文房四宝是我国传统文化中的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒．每个盲盒的外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．一套盲盒套装中包含笔、墨、纸、砚盲盒各一个． （1）若从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为______． （2）若从一套盲盒套装中随机选两个，用列表或画树状图的方法求恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点O对称的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） （2）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该二次函数图象第二象限上的一点，连接交x轴于点E，连接、，若，求点D的坐标． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 如图，在某次足球训练中，李强站在点O处发球，把球看作点，其运行轨迹的高度y（米）与水平距离x（米）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为12米时，球达到最高点，此时球离地面3米，球门与李强的水平距离为18米，已知足球球门的高是2.44米，以李强所在位置为坐标原点，水平方向为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）足球能否射进球门？请说明理由．（不考虑其他因素） 26. 【初步感知】 （1）如图1，正方形的四个顶点均在上，点E在劣弧上，连接，在上取一点F，使得，连接，求证：； 【拓展延申】 （2）如图2，小军在电脑上画了一个，其中，，．点P在边上，且，同时在上设置动点D，并设置如下程序：点D以点P为起点沿方向向终点A运动，随着点D的运动，关联点E在上运动，且始终保持，以为边在右侧作等边感应区，求在点D运动的过程中，点F所经过的路径长．（结果保留） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第二次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若a是方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 2. 到2035年，我国的现代化建设将基本实现．2035四个数字中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕对称中心旋转180度后与自身重合．据此即可判断． 【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】形如的顶点坐标为，据此可以直接求顶点坐标．． 【详解】解：∵抛物线， ∴该函数的顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4. 如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先利用圆周角定理得出，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句，在这句话中，“之”字出现的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，由先天下之忧而忧，后天下之乐而乐一共有14个字，其中“之”有2个，然后根据概率公式计算概率即可， 【详解】解：∵先天下之忧而忧，后天下之乐而乐一共有14个字，其中“之”有2个 ∴“之”字出现的概率是：， 故选：C 6. 对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对新运算的理解和一元二次方程的解法，关键是将新运算转化为代数表达式后求解． 根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】解：， ， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，． 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，过点C作交于点E，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，平行线的性质，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合圆内接四边形的性质得，再运用平行线的性质，得，又因为以及三角形内角和性质，得，最后求出，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵四边形内接于， ∴， 故选：B． 8. 已知二次函数的图象经过点，，则下列说法：当时，随的增大而减小；若点，在该函数的图象上，则；该函数图象的对称轴是直线；该函数的图象有最低点．正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是把点，的坐标代入二次函数，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：把点，的坐标代入二次函数， 可得：， 解方程组可得：， 二次函数的解析式为， 二次函数中， 抛物线开口向上， 二次函数的对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， 故正确； 点，在该函数的图象上， 当时，可得：， 当时，可得：， ， 故错误； 二次函数的对称轴为， 故错误； 二次函数中， 抛物线开口向上， 函数图象有最低点， 故正确． 正确的有． 故选：A ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）． 【答案】随机 【解析】 【详解】解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件． 故答案为：随机． 10. 如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，连接，可求出的度数，再由垂径定理的推论可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∵点F是劣弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 植树造林不仅具有为生物生存提供场所、防风固沙等重要功能，还能为人类生产大量可再生木质和非木质林产品，具有很大的生态、经济和社会效益．我国某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林的面积从2万亩扩大到2.42万亩，则该地这两年防风林面积的年平均增长率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设这两年平均每年的增长率为x，根据题意得， ， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 12. 如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，连接，由垂径定理和圆周角定理可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 13. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移b个单位，所得抛物线与重合，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移b个单位得到解析式， ∴， ∵与重合， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：5． 14. 如图，在和中，，，点O在边上满足，将绕着点A顺时针旋转，连接，记的中点为P，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点Q，连接，，过点Q作于点H，利用三角形中位线定理可求，根据判出断当O 、Q、P三点共线，且P在的延长线上时，取最大值为，利用等腰三角形的判定和勾股定理可求，在中利用勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：取中点Q，连接，，过点Q作于点H， ∵点P是的中点，， ∴， ∵， ∴当O 、Q、P三点共线，且P在的延长线上时，取最大值为 ∵，， ∴，，， 又， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴取最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判断出当O 、Q、P三点共线，且P在的延长线上时，取最大值是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得， 因式分解得， 整理得， ∴或， 解得，． 16. 某超市设置了一个抽奖活动，凡在超市购物均可参与活动．在一个不透明的箱子中放入了写有“谢谢惠顾”的卡片和“饮料一瓶”的卡片共60张，这些卡片除所写内容不同外其余均相同，工作人员将箱子中的卡片洗匀后，随机抽取一张卡片并记录内容，记为一次试验，不断重复这一过程，已知随机抽取100次，其中抽到写有“谢谢惠顾”的卡片共30次，估计箱子中写有“饮料一瓶”的卡片数． 【答案】42张 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据题意求得抽到“谢谢惠顾”的卡片的概率是解题的关键．先分析题意，求出抽到“谢谢惠顾”的卡片的概率，进而求出抽到“饮料一瓶”的卡片的概率，结合写有“谢谢惠顾”的卡片和“饮料一瓶”的卡片共60张，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在一个不透明的箱子中放入了写有“谢谢惠顾”的卡片和“饮料一瓶”的卡片共60张，已知随机抽取100次，其中抽到写有“谢谢惠顾”的卡片共30次， ∴抽到“谢谢惠顾”的卡片的概率是， 则抽到“饮料一瓶”的卡片的概率是， ∴（张）， 答：估计箱子中写有“饮料一瓶”的卡片数为42张． 17. 已知抛物线经过点，判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】 点不在抛物线上，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的函数值，利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出时的函数值即可得到结论． 【详解】略 18. 如图，是半圆的直径，请用尺规作图法找到圆心O，并在上找一点C，连接，使得平分此半圆的面积．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了确定圆的圆心，扇形面积计算，由于是半圆的直径，则点O是的中点，由于平分此半圆的面积，则，据此作线段的垂直平分线，分别交线段于O，交半圆于C，则点O和点C即为所求． 【详解】略 19. 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到矩形，点B的对应点E恰好落在边上，点C、D的对应点分别为点F、G，连接，求证：． 【答案】 证明：∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到矩形，点B的对应点E恰好落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等边对等角等知识．根据旋转的性质和矩形的性质得到，再求出，根据即可得到结论． 【详解】略 20. 文房四宝是我国传统文化中的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒．每个盲盒的外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．一套盲盒套装中包含笔、墨、纸、砚盲盒各一个． （1）若从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为______． （2）若从一套盲盒套装中随机选两个，用列表或画树状图的方法求恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或者列表法求概率，解题的关键是画树状图． （1）根据概率公式计算概率即可． （2）画出树状图得出12种等可能性，其中恰好抽中内含墨和砚的可能性有2种，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下． 共有12种等可能的结果，其中恰好选中笔和纸盲盒的结果有2种， ∴恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点O对称的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） （2）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称，熟知旋转的性质、中心对称的性质是解答的关键． （1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得、、的坐标，描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据所给旋转方式和网格的特点可确定、、的位置，描出、、，并顺次连接、、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该二次函数图象第二象限上的一点，连接交x轴于点E，连接、，若，求点D的坐标． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用三角形面积求点的坐标． 首先求得点C的坐标，由得出点D和点C到x轴的距离相等，可求出点D到x轴的距离，再根据点D在第二象限推出点D的纵坐标为3，代入二次函数解析式可求得x的值，最终得到点D的坐标． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴当时，， ∴， ∵， ∴点D和点C到x轴的距离相等， ∴点D到x轴的距离为3， 又∵点D在第二象限， ∴点D的纵坐标为3， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴点D的坐标为． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将 代入方程， 得 ，即 ， 解得． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，， 是的直径， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 于点， 又点在上， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据是的直径，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出，即可证明是的切线． （2）根据勾股定理求出，在三角形中和三角形中根据勾股定理求出，即，求出，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 在中，在中， ， ， 解得：， ，， 的半径为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 25. 如图，在某次足球训练中，李强站在点O处发球，把球看作点，其运行轨迹的高度y（米）与水平距离x（米）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为12米时，球达到最高点，此时球离地面3米，球门与李强的水平距离为18米，已知足球球门的高是2.44米，以李强所在位置为坐标原点，水平方向为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）足球能否射进球门？请说明理由．（不考虑其他因素） 【答案】（1） （2） 能直接射进球门，理由如下： 由（1）得， 当时， ∴足球能射进球门． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）设，根据函数图象过原点，求出a的值即可； （2）分别把和代入函数解析式求出y的值与2和比较即可． 【小问1详解】 解：依题意设， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴所求的函数关系式为； 【小问2详解】 略 26. 【初步感知】 （1）如图1，正方形的四个顶点均在上，点E在劣弧上，连接，在上取一点F，使得，连接，求证：； 【拓展延申】 （2）如图2，小军在电脑上画了一个，其中，，．点P在边上，且，同时在上设置动点D，并设置如下程序：点D以点P为起点沿方向向终点A运动，随着点D的运动，关联点E在上运动，且始终保持，以为边在右侧作等边感应区，求在点D运动的过程中，点F所经过的路径长．（结果保留） 【答案】 （1）证明：四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，弧长公式，构造等边三角形证明三角形全等是解题的关键． （1）先证，然后根据全等三角形的性质回答即可； （2）以为边在的右侧作等边三角形, 连接, 证明，求出，由此得出点在以为直径的圆弧上运动，确定点F的运动轨迹是，求出弧长即可． 【详解】(1)略 （2）以为边在的右侧作等边三角形, 连接, 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆弧上运动， 当点D与点P重合时，点F在的中点上， 以为直径作出交于点, 连接, 则点的运动轨迹为，为 起点，为终点， ， 为等边三角形， 点所经过的路径长为. 故答案为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $