7.3平行线的证明第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第七章 证明 7.3平行线的证明第2课时 01 教学目标 02 新知导入 03 新知探究 04 巩固训练 05 课堂小结 06 作业设计 Contents 目录 01 教学目标 能以 “两直线平行，同位角相等” 为依据，证明平行线的内错角、同旁内角性质定理；理解 “平行于同一直线的两直线平行” 的证明思路，区分平行线的性质与判定； 01 通过推导性质定理，经历 “正向推导 + 初步感知反证法” 的过程，提升逆向思维与逻辑推理能力； 02 发展逻辑推理能力，形成 “性质证角相等、判定证线平行” 的应用意识； 03 体会逆向思维（反证法）的独特价值，感受平行线定理体系的严谨性，培养 “辨明条件结论，规范推理” 的科学态度。 04 3 02 新知导入 复习回顾： 1.平行线的判定方法有哪些？ 2. 上节课我们用 “同位角相等，两直线平行” 证明了内错角、同旁内角的判定定理(已知角相等，证线平行)。反过来，若已知两直线平行，它们被第三条直线截得的同位角有什么关系？ 相等，这是我们之前用的性质. 判定方法一(基本事实)：同位角相等，两直线平行； 判定方法二：内错角相等，两直线平行； 判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 02 新知导入 3.两直线平行，它们被第三条直线截得的同位角相等，但这个性质能直接作为证明依据吗？为什么？ 不能，因为这个性质不是基本事实，需证明其正确性。 03 新知探究 思考：如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 思考：根据“两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等”。你能作出相关的图形吗? 已知：如图7-9，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角。 求证：∠1=∠2。 不平行 03 新知探究 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图7-10所示． 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD． 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾． 这说明∠1≠∠2的假设不成立， 所以∠1＝∠2. 03 新知探究 平行线的性质定理1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 应用格式： ∵AB||CD, ∴∠1=∠2. 概括 有时,直接证明很困难,我们就证明命题的另一面不成立。也就是假设结论的反面不成立,推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾,那么所作的假设不成立,原命题成立。 方法总结 03 新知探究 03 新知探究 思考：在上一节中,我们利用“同位角相等,两直线平行”推出了“内错角相等,两直线平行”,类似地,已知两直线平行,同位角相等,能否得到内错角之间的数量关系呢? 已知:如图7-11所示,直线11||12,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角。 求证:∠1=∠2。 分析：由条件11||12可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1，∠2有什么联系？ 03 新知探究 证明：11||12(已知)， ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)。 又：∠2=∠3(对顶角相等)， ∴∠1=∠2(等量代换)。 03 新知探究 平行线的性质定理2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。 简述为:两直线平行,内错角相等。 应用格式： ∵11||12 ∴∠1=∠2 概括 03 新知探究 解:∵a∥b(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。 ∵∠1+∠4=180 °(补角的性质), ∴∠2+∠4=180 °(等量代换)。 思考:类似地,已知两直线平行,能否得到同旁内角之间的数量关系呢? 如图所示,已知a∥b,那么∠2与∠4有什么关系呢?为什么呢? 03 新知探究 平行线的性质定理3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简述为:两直线平行,同旁内角互补。 概括 平行线的性质定理: 平行线的性质定理1：两直线平行，同位角相等； 平行线的性质定理2：两直线平行，内错角相等； 平行线的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补. 方法总结 03 新知探究 03 新知探究 它们的条件和结论的互换。 平行线的性质定理是已知两直线平行,得到角的关系; 而判定定理是已知角的关系,得到两直线平行。 思考:平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？ 分析 由条件b∥a,c∥a可以得到哪些等量关系？为了证明b∥c需要怎样的等量关系？ 已知：如图7-12，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角． 求证：b∥c. 例 03 新知探究 17 解析 证明：∵b∥a(已知)， ∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)． ∵c∥a(已知)， ∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)． ∴∠2＝∠3(等量代换)． ∴b∥c(同位角相等，两直线平行). 03 新知探究 18 03 新知探究 一般地，我们有如下定理： 定理：平行于同一条直线的两条直线平行。 应用格式： ∵b∥a,c∥a, ∴b∥c. 概括 03 新知探究 (1) 证明一个命题的一般步骤 ①根据命题,找出命题的条件和结论; ②根据命题画出图形,写出已知、求证; ③从已知条件出发,根据基本事实、定义、等式的性质等,演绎推理出结论。 回顾反思： (1)回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ (2)对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？ 03 新知探究 (2)依据匹配原则：若已知 “两直线平行”，优先用性质定理推导角的关系(如同位角 / 内错角相等)；若需证明 “两直线平行”，优先用判定定理，从角的关系(相等 / 互补)切入。 转化思维应用：遇内错角、同旁内角问题，可通过对顶角相等、补角定义等，转化为已证的同位角关系，依托 “两直线平行，同位角相等” 推导。 避免混淆技巧：明确 “性质是‘线→角’(证角用)，判定是‘角→线’(证线用)”，每步标注依据时，先判断是 “用性质” 还是 “用判定”，再对应选择定理。 2.如图,已知a∥b,l与a,b相交。若∠1=70°,则∠2的度数等于 (　　) A.120° B.110° C.100° D.70° 04 巩固训练 D B 1.如图,一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向,∠A=130°,那么∠B的度数是 (　　) A.160° B.150° C.140° D.130° 3.如图,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠B=36°,则∠DCE等于 (　　) A.18° B.36° C.45° D.54° A 5.如图,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,则∠D=　　　　°。 4.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为　　　　。 78° 100 04 巩固训练 23 证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3, ∴∠1=∠3。 ∴BD∥CE。 ∴∠C=∠DBA。 ∵∠C=∠D, ∴∠D=∠DBA。 ∴DF∥AC。 ∴∠A=∠F。 6.如图,已知B,E分别是AC,DF上一点,∠1=∠2,∠C=∠D。 求证:∠A=∠F。 04 巩固训练 24 05 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 平行线性质定理 定理 1：两直线平行，同位角相等(反证法证明)； 定理 2：两直线平行，内错角相等(转化为同位角，用定理 1 推导)； 定理 3：两直线平行，同旁内角互补(转化为同位角，用定理 1 + 补角定义推导)； 推论：平行于同一直线的两条直线平行(性质 + 判定综合证明)。 反证法初步 逻辑：假设结论不成立→推导与基本事实 / 定理矛盾→否定假设，确认原结论成立。 性质与判定辨析 性质：条件是 “两直线平行”，结论是 “角相等 / 互补”，用于 “由线推角”； 判定：条件是 “角相等 / 互补”，结论是 “两直线平行”，用于 “由角推线”。 2.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中斜射向空气时,要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的。如图,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4的度数为 (　　) A.165° B.155° C.105° D.90° 1.如图,AB∥CD,EF∥GH,∠1=60°,则∠2补角的度数为 (　　) A.60° B.100° C.110° D.120° 06 作业设计 基础达标： D C 3.如图,直线m∥n,△ABC是直角三角形,∠B=90°,点C在直线n上。若∠1=50°,则∠2的度数是 (　　) A.60° B.50° C.45° D.40° 06 作业设计 D 基础达标： 4.如图,有一条直的等宽纸带,按图折叠时形成一个30°的角,则重叠部分的∠α等于 (　　) A.75° B.70° C.65° D.60° A 06 作业设计 能力提升： 5.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图2是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°。当AM∥CB时,∠MAC的度数为 (　　) A.16° B.60° C.66° D.114° C 6.某些灯具的设计原理与抛物线有关。如图,从点O照射到抛物线上的光线OA,OB等反射后都沿着与PQ平行的方向射出。若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC=　　　　°。 60 7.如图所示是地球截面图,其中AB,EF分别表示南回归线和北回归线,CD表示赤道,点P表示太原市的位置。现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26'),太原市的纬度是北纬37°32'(∠POD=37°32'),而冬至正午时,太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O),则太原市冬至正午时,太阳光线与地面水平线PQ的夹角∠α的度数是　　　　。  06 作业设计 能力提升： 06 作业设计 能力提升： 证明:∵AB∥CD, ∴∠BAD=∠D。 ∵AD∥CE, ∴∠D=∠C,∠DAE=∠E。 ∴∠BAD=∠C。 ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠C+∠E。 8.如图,已知AB∥CD,AD∥CE。 求证:∠BAE=∠C+∠E。 06 作业设计 迁移拓展： 9.如图,已知∠A=90°+x°,∠B=90°-x°,∠CED=90°,4∠C-∠D=30°,射线EF∥AC。 (1)判断射线EF与BD的位置关系,并说明理由; (2)求∠C,∠D的度数。 解:(1)EF∥BD。理由如下: ∵∠A+∠B=90°+x°+90°-x°=180°, ∴AC∥BD。 ∵EF∥AC, ∴EF∥BD。 06 作业设计 迁移拓展： (2)∵AC∥EF∥BD, ∴∠CEF=∠C,∠DEF=∠D。 ∵∠CED=∠CEF+∠DEF=90°, ∴∠C+∠D=90°。 联立解得 ∴∠C的度数是24°,∠D的度数是66°。 $