7.2认识证明第2课时 课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“证明”核心内容，系统讲解基本事实、定理、证明的概念及“已知—求证—证明”规范格式。课堂导入通过小明证明“对顶角相等”步骤跳跃的问题，联系已学命题知识，引导学生发现证明需依据，搭建从“认识命题”到“严谨证明”的学习支架。 其亮点在于以数学史（欧几里得《原本》）引入概念培养数学眼光，通过“对顶角相等”等定理证明过程强化推理意识，如每步标注依据（平角定义、等量代换）。分层训练（选条件证结论）和作业设计助力学生提升数学语言表达能力，教师可直接用此资料实施结构化教学，提升课堂效率。

第七章 证明 7.2认识证明第2课时 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 巩固训练 05 课堂小结 06 作业设计 Contents 目录 01 教学目标 理解基本事实、定理、证明的概念，能识别8条已学基本事实；掌握 “已知—求证—证明” 的规范格式，能为简单几何证明补充推理依据； 01 通过分析 “对顶角相等” 的证明过程，经历 “文字命题转化—确定依据—分步推理” 的过程，提升逻辑推理与数学语言转化能力； 02 发展逻辑推理能力，初步形成 “每步推理必对应基本事实 / 定义 / 定理” 的严谨思维； 03 体会欧几里得几何体系的严谨性，感受 “依据—推理—结论” 的逻辑之美，培养尊重数学规则的科学态度。 04 3 02 新知导入 复习回顾： 小明想证明 “对顶角相等”， 步骤如下： “因为直线 AB 和 CD 相交于 O， 所以∠AOC=∠BOD”。 他的证明有问题吗？若有，问题在哪？ 要让证明成立，每一步都需要什么 “支撑”？ 小明的证明有问题，步骤跳跃且无依据；证明的每一步都需要 “公认的真命题(基本事实)、定义或已证过的真命题(定理)” 作为支撑. 03 新知探究 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？ 03 新知探究 其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得(Euclid,约前330一前275)编写了一本书，书名为《原本》(Elements)。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理(xiom)。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。 1.原名： 2.公理： 3.证明： 4.定理： 某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理. 演绎推理的过程称为证明. 经过证明的真命题称为定理. 不需要证明 公理=基本事实 除了公理外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实. 03 新知探究 03 新知探究 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条： 1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行)。 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 8.三边分别相等的两个三角形全等。 九条基本事实（公理） 1.两点确定一条直线.（直线公理） A B 2.两点之间线段最短.（线段公理） A B 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. P 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行). 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. P l1 l2 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS） 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA） 8.三边分别相等的两个三角形全等.（SSS） 另外一条将在后面的学习中认识. 03 新知探究 此外， 数与式的运算律和运算法则、 等式的有关性质， 以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。 例如，如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”。又如，如果a>b,b>c,那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据。 03 新知探究 从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。 例如，我们可以证明下面的定理： 定理：同角(或等角)的补角相等。 定理：同角(或等角)的余角相等。 定理：三角形的任意两边之和大于第三边。 （1）已知：∠B和∠C是∠A的余角，求证：∠B=∠C. 证明：∵∠B和∠C是∠A的余角， ∴∠B=90°-∠A， ∠C=90°-∠A， ∴∠B=∠C（等量代换）， ∴同角的余角相等. （2）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角，求证：∠C=∠D. 证明：∵∠C和∠D分别是∠A、 ∠B的余角， ∴∠C=90°-∠A， ∠D=90°-∠B， ∵∠A=∠B（已知）， ∴∠C=∠D（等量代换）， ∴等角的余角相等. 定理：同角（或等角）的余角相等. “∵”读作“因为”， “∴”读作“所以”. 证明 定理：同角（或等角）的补角相等. （3）已知：∠B和∠C是∠A的补角，求证：∠B=∠C. 证明：∵∠B和∠C是∠A的补角， ∴∠B=180°-∠A， ∠C=180°-∠A， ∴∠B=∠C（等量代换）， ∴同角的补角相等. （4）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角，求证：∠C=∠D. 证明：∵∠C和∠D分别是∠A、 ∠B的补角， ∴∠C=180°-∠A， ∠D=180°-∠B， ∵∠A=∠B（已知）， ∴∠C=∠D（等量代换）， ∴等角的补角相等. 我们可以用该定理证明“对顶角相等”。 分析 在基本事实和已证定理中，有同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等可以判断两个角相等. 已知:如图7-5所示,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证:∠AOC=∠BOD。 例 03 新知探究 16 解析 证明:∵直线AB与直线CD相交于点O(已知), ∴∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义)。 ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)。 ∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)。 03 新知探究 17 03 新知探究 由上面的例题,我们可以得到定理: 定理 对顶角相等。 概括 应用格式： ∵直线AB与直线CD相交于点O， ∴∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC 请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。 已知：如图，△ABC的三条边分别为AB、AC、BC 。 求证：AB＋AC＞BC； AB＋BC ＞AC； AC＋BC＞AB。 证明：∵BC是以点B、点C为端点的线段， ∴AB＋AC＞BC（两点之间线段最短）。 同理，得AB＋BC ＞AC； AC＋BC ＞AB。 ∴三角形的任意两边之和大于第三边。 03 新知探究 19 分析 因为∠AOB和∠COD都含有∠BOC，同时减去∠BOC就可以得到∠1＝∠2. 已知：如图，∠AOB＝∠COD. 求证：∠1＝∠2. 例 03 新知探究 20 解析 证明：∵∠AOB＝∠COD（已知）， ∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB（等式的性质）， 即∠1＝∠2（等量代换）. 03 新知探究 21 证明依据：仅用基本事实、定义、已证定理； 书写要求：已知→求证→证明，每步都要有依据。 方法总结 03 新知探究 04 巩固训练 1.下列说法正确的是 (　　) A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题 C.公理都是真命题 D.真命题都是定理 C 2.下列语句中,属于定理的是 (　　) A.在直线AB上取一点E B.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角 C.内错角相等 D.同角的补角相等 D 3.如图,有以下三个条件:①AC=AB,②AB∥CD,③∠1=∠2。从这三个条件中任选两个作为条件,另一个作为结论,则组成真命题的个数为　　　　。  3 证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠2。 ∵∠1=∠3,∴∠2=∠3。∴CD∥FG。 ∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°。 ∴∠BFG=∠BDC=90°。 ∴FG⊥AB。 4.如图,DE∥BC,∠1=∠3,CD⊥AB。 求证:FG⊥AB。 04 巩固训练 24 解:(答案不唯一)①②③　④ 证明:∵BF=CE, ∴BF+CF=CE+CF,即BC=EF。 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS)。 5.在数学课上,林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B,F,C,E在同一直线上),并写出四个条件:①AB=DE;②BF=CE;③∠B=∠E;④∠1=∠2。 请你从这四个条件中选出三个作为条件,另一个作为结论,组成一个真命题,并给予证明。条件:　　　　;结论:　　　　。(均填写序号)  04 巩固训练 25 05 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 核心概念 基本事实(公理)：公认的真命题(如 “两点确定一条直线”)，是证明的起点； 定理：经证明的真命题(如 “对顶角相等”)，需用基本事实、定义或已证定理推导； 证明：演绎推理的过程，需遵循 “已知 — 求证 — 证明” 格式，每步推理必对应合法依据。 证明依据与规范 合法依据：8 条基本事实、数学定义、已证定理、等式 / 不等式性质等； 规范格式：先写 “已知”(图形条件)、“求证”(结论)，再按逻辑写证明过程，每步标注依据。 典型定理证明 对顶角相等：利用平角定义与 “同角的补角相等” 推导； 同角(等角)的补角 / 余角相等：借助补角 / 余角定义与等量代换证明。 1.下列命题中，不属于基本事实的是(　 　) A.两点确定一条直线 B.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 06 作业设计 基础达标： B 2.下列所学过的真命题中，不是公理的是(　 　) A.对顶角相等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.同位角相等，两直线平行 D.三边分别相等的两个三角形全等 A 3.“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题.正确的反例是(　 　) A.两个角互为邻补角 B.α＝90°，α的补角β＝90°，β＝α C.α＝120°，α的补角β＝60°，β＜α D.α＝80°，α的补角β＝100°，β＞α 06 作业设计 C 基础达标： 4.下列说法不正确的是(　 　) A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B.定理是命题，而且是真命题 C.“对顶角相等”是命题，但不是定理 D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 C 5.证明定理“同角的补角相等”. 已知：∠1和∠2分别是∠3的补角. 求证：∠1＝∠2. 06 作业设计 能力提升： 证明：∵∠1，∠2是∠3的补角(已知)， ∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(补角的定义). ∴∠1＝∠2(等量代换). 6.证明定理“同角的余角相等”. 已知：∠1和∠2分别是∠3的余角. 求证：∠1＝∠2. 06 作业设计 能力提升： 证明：∵∠1，∠2是∠3的余角(已知)， ∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°(余角的定义). ∴∠1＝∠2(等量代换). 06 作业设计 能力提升： 7.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例. (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补. 解：(1)题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角.这个命题是真命题. (2)题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题. 反例：如图，∠1与∠2是同旁内角，∠1＋∠2≠180°. 06 作业设计 能力提升： 8.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行”. (1)写出命题的条件和结论； (2)画出符合命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假并说明理由. 06 作业设计 能力提升： 解：(1)条件：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行. (2)如图所示： (3)已知：如图，AB∥CD，GH，MN分别平分∠BGM和∠CMG，求证：GH∥MN. 06 作业设计 能力提升： (4)真命题，理由：∵AB∥CD， ∴∠BGM＝∠CMG. 又∵GH，MN分别平分∠BGF和∠CMG， ∴∠HGM＝∠BGM，∠NMG＝∠CMG， ∴∠HGM＝∠NMG， ∴GH∥MN. 06 作业设计 迁移拓展： 证明：∵OC平分∠AOB(已知)， ∴∠COP＝∠COQ(角平分线的定义). ∵CP⊥OA，CQ⊥OB(已知)， ∴∠CPO＝∠CQO＝90°(垂直的定义). ∵OC＝OC(公共边)， ∴△CPO≌△CQO(AAS). ∴CP＝CQ(全等三角形的对应边相等). 9.完成下列命题的证明. 命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. 已知：如图，OC平分∠AOB，CP⊥OA于点P，CQ⊥OB于点Q.求证：CP＝CQ. 06 作业设计 迁移拓展： 10.已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题. 如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时. ①填空：图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为　 　； 图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为　 　； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程. ③请用“如果……，那么……”的形式把上述结论表述出来：　 　. ∠ABC＝∠DEF ∠ABC＋∠DEF＝180° 06 作业设计 迁移拓展： ②选择题图1：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE(两直线平行，内错角相等). ∵BC∥EF， ∴∠BPE＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)， ∴∠ABC＝∠DEF(等量代换). 选择题图2：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE(两直线平行，内错角相等). ∵BC∥EF， ∴∠BPE＋∠DEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠ABC＋∠DEF＝180°. ③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补. $