精品解析：辽宁省本溪市2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年度（上）九年级阶段验收 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，创造了全球直播观看人次的纪录．截至9月5日10时，全媒体渠道总观看人次约33940000000次，其中数据“33940000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 6. 如图所示，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 40 D. 24 8. 某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ① B. ②③ C. ①②④ D. ①④ 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________． 12. 将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是______． 13. 小区新增了一家快递店，第一天揽件242件，第三天揽件200件，设该快递店揽件日平均降低率为x，则根据题意可列方程为_____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰，，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数的图象与交于点C，连接，若，面积为8，则k的值为________． 15. 如图，在正方形中，，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的长为________． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. 振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进本甲种图书和本乙种图书共需元，若购进本甲种图书和本乙种图书共需元. 求甲、乙两种图书每本进价各多少元； 该书店购进甲、乙两种图书共本进行销售，且每本甲种图书的售价为元，每本乙种图书的售价为元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？ 18. 一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一．某校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ： Ⅱ．被抽取的学生的跳绳个数在C组的数据是：197，195，197，191，197，197．根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数； （3）若该校八年级选择跳绳项目的学生有600名，估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数． 19. 广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度． 20. 某果农经销某品牌的富民苹果，已知这种产品的成本价为元/千克，试销售期间售价定为元/千克，日销量为千克．经市场调查发现，该产品的销售单价每增加元，日销量就减少1千克．设这种产品的销售单价为元，日销量为千克． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于元/千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积． 22. 【问题情境】如图1，小明把三角板（，）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？直接写出结论：________（不用证明）． 【变式探究】如图2，小明把三角板（，）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，求的长． 【拓展应用】如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，，求出的值． 23. 规定1：一个点纵坐标y与横坐标x的比“”称为点A的“纵横比”．例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题： （1）点的“纵横比”为________； （2）若当时，一次函数的最优纵横比为6，则k的值为________； （3）若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为3，求b的值； （4）若已知二次函数的图象如图所示，平面中有A、B两点，且，，现向右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出m的取值范围，并直接写出交点“纵横比”n的对应范围________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度（上）九年级阶段验收 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 2. 2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，创造了全球直播观看人次的纪录．截至9月5日10时，全媒体渠道总观看人次约33940000000次，其中数据“33940000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．n的值由原数小数点移动的位数决定，据此进行求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键． 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、选项中图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； B、选项中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、选项中图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； D、选项中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除等知识，根据相关知识逐项计算验证即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项错误，不合题意； B. ，故原选项正确，符合题意； C. ，故原选项错误，不合题意； D. ，故原选项错误，不合题意． 故选：B． 5. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再用球的总数乘以摸到黄球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右， ∴摸到黄球的概率为， ∴布袋中黄球可能有个， 故选：A． 6. 如图所示，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．先证明，根据平分，求得，再根据平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 40 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，中位线的性质．证明是菱形，可得是的中位线，根据勾股定理求得，根据菱形的性质求得周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∴； ∵点分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长． 故选：B． 8. 某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 9. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ① B. ②③ C. ①②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，得出，，，从而得出，即可判断①②，由图象可得，当时，，即，即可判断③；由图象可得，当时，，结合二次函数的对称性可得，当时，，即可判断④；从而得出答案，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，，故①正确，②错误； 由图象可得，当时，，即，故③错误； 由图象可得，当时，， 由二次函数的对称性可得，当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故选：D． 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点D作，勾股定理求出，由作图可得，平分，垂直平分，证明出，得到，，设，则，勾股定理求出，，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴ 由作图可得，平分，垂直平分 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线和垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，解题的关键是同时满足“二次项系数不为”和“判别式”两个条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数的限制，再利用判别式求出的取值范围，综合得到最终结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不能为0，即， 又方程有实数根， 判别式，其中， 代入得：， 令， 解得， 综合以上两个条件，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设鲜用A表示、灵用B表示、东用C表示、港用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中C和D的有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是． 故答案为：． 13. 小区新增了一家快递店，第一天揽件242件，第三天揽件200件，设该快递店揽件日平均降低率为x，则根据题意可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； 设该快递店揽件日平均降低率为x，根据题意列方程即可． 【详解】解：设该快递店揽件日平均降低率为x，根据题意可得 ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰，，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数的图象与交于点C，连接，若，面积为8，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解反比例函数关系式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数关系式等知识的综合运用，求解点坐标是解题的关键．分别过B，C两点作轴，轴，垂足分别为D，E，证明，可得，利用等腰直角三角形的性质设，则，结合三角形的面积可求得a值，即可求得的长及A，B两点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式，即可求出点C坐标，再将点C代入反比例函数关系式可求得k值． 【详解】解：分别过B，C两点作轴，轴，垂足分别为D，E， ． ， ． ． ， ． ． ． 在等腰，， ． 轴， ． 设，则， ，， ． 解得，（舍去） ，． ． ，． 设直线的解析式为， 则， 解得． ． 当时，． 解得，即． ． 将代入中， ． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等边对等角等知识点，作，由题意得：，推出，证，得，推出，即是等腰直角三角形，根据平分，得，推出，，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形为矩形， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 17. 振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进本甲种图书和本乙种图书共需元，若购进本甲种图书和本乙种图书共需元. 求甲、乙两种图书每本进价各多少元； 该书店购进甲、乙两种图书共本进行销售，且每本甲种图书的售价为元，每本乙种图书的售价为元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？ 【答案】（1）30；（2）70 【解析】 【分析】（1）设每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元，得，解方程组可得；（2）设该书店购进乙种图书本，购机甲种图书本.根据题意，得，解不等式组可得. 【详解】（1）解：设每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元. 根据题意 得解得： 答：每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元. （2）解：设该书店购进乙种图书本，购机甲种图书本. 根据题意 得 解得 答：该书店至少购进乙图书本. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的运用，理解题意找出等量关系是解题的关键. 18. 一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一．某校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ： Ⅱ．被抽取的学生的跳绳个数在C组的数据是：197，195，197，191，197，197．根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数； （3）若该校八年级选择跳绳项目的学生有600名，估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图所示： （2）193 （3）人数约为150人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图的关联、用样本估计总体、中位数，读懂题意，准确获取图中信息是解答的关键． （1）用A组频数除以其所占百分比求出总人数，进而求出B组频数，即可补全频数分布直方图； （2）数据从小到大排列，找到位于中间两个数，求其平均数即为中位数； （3）用该校八年级总人数乘以样本中跳绳个数不少于200个的人数所占比例求解即可 【小问1详解】 解：本次抽查的学生人数是（人）， B组人数为（名）； 【小问2详解】 解：A组和B组总人数为（名）， ∴八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数位于C组，又第10个数为191，第11个数为195， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数有150名． 19. 广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 过点C作，交于点P，过点P作于点Q，根据相似三角形的性质求出，在中利用等腰直角三角形的性质求出，根据即可解决问题． 【详解】解：过点C作，交于点P，过点P作于点Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 在中，，∵， ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 20. 某果农经销某品牌的富民苹果，已知这种产品的成本价为元/千克，试销售期间售价定为元/千克，日销量为千克．经市场调查发现，该产品的销售单价每增加元，日销量就减少1千克．设这种产品的销售单价为元，日销量为千克． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于元/千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售价定为每千克元时，每天的总销售利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意即可列出关系式，整理即可． （2）设总销售利润为元，由题意得和的关系式，结合顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可列：， 整理得：， ∴与之间的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：设总销售利润为元， 由题意得，， 整理得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当销售价定为每千克元时，每天的总销售利润最大，最大利润是元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积． 【答案】（1）， （2）的面积为1 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，平行线等分线段定理，正确作出辅助线是解题的关键. （）利用待定系数法即可求解； （）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设交轴于点，可得，得到，即得，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式，可得的坐标，最后根据即可求解. 【小问1详解】 解：把代入中，得， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； 【小问2详解】 解：如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， ， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴； 答：的面积为1． 22. 【问题情境】如图1，小明把三角板（，）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？直接写出结论：________（不用证明）． 【变式探究】如图2，小明把三角板（，）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，求的长． 【拓展应用】如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，，求出的值． 【答案】【问题情境】 【变式探究】 【拓展应用】 【解析】 【分析】问题情境：先根据特殊三角形勾股定理得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得； 变式探究：过点G作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解； 拓展应用：过点G作交的延长线于点M，交于点P，结合平行四边形的性质、平行线的性质，得到，证明，再证，推出，即可求解． 【详解】解：问题情境：， 理由如下：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 变式探究： 如图2，过点G作于H， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 拓展应用： 如图3，过点G作交的延长线于点M，交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴设，，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23. 规定1：一个点纵坐标y与横坐标x的比“”称为点A的“纵横比”．例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题： （1）点的“纵横比”为________； （2）若当时，一次函数的最优纵横比为6，则k的值为________； （3）若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为3，求b的值； （4）若已知二次函数的图象如图所示，平面中有A、B两点，且，，现向右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出m的取值范围，并直接写出交点“纵横比”n的对应范围________． 【答案】（1） （2）2 （3）b的值为或6 （4）当或时，图象与线段AB只有一个交点， 【解析】 【分析】（1）直接代入定义计算； （2）将一次函数的纵横比表示为关于x的表达式，结合区间求最值； （3）由顶点位置得二次函数系数关系，转化纵横比后求最值； （4）平移函数后，结合线段交点的边界条件求m的范围，再分析纵横比的范围． 【小问1详解】 根据定义，纵横比为． 【小问2详解】 一次函数的纵横比为． 当时，随增大而减小，故的最大值在时取得，即，解得． 【小问3详解】 ∵二次函数的顶点在直线上， ∴，则， 二次函数的纵横比为， 当时，当时，纵横比随着x的增大而增大， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为3， 则，解得，则， 当时，在当时，纵横比随着x的增大而减小， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为3， 则，解得，则， 综上，当，二次函数的最优纵横比为3时，b的值为或6； 【小问4详解】 解：根据题意得二次函数平移后的解析式为， ∵，， 将代入， 可得， 解得：或， 将代入， 可得， 解得：或， 故当时，和都在上， ∴当或时，图象与线段AB只有一个交点， ． 【点睛】本题考查新定义 “纵横比”“最优纵横比” 的应用，涉及知识点：一次函数、二次函数的性质，函数的平移与交点问题．解题方法是根据定义将 “纵横比” 转化为函数表达式，结合函数的增减性、顶点性质、平移规律求解；解题关键是准确转化新定义为数学表达式，分析函数在区间内的最值，易错点是忽略函数的增减性或平移后交点的边界情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $