精品解析：陕西省西安市曲江第一学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026-1八年级*数学 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 下列实数中，不属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数（1） ，（2） ，（3） ，（4） 中，是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A. B. C. D. 8. 已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、填空题（共6小题，共18分） 9. 比较大小：______ 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 11. 已知点P（m，2）在第一象限，那么点B（3，﹣m）在第____象限． 12. 与平行，且过点的直线的解析式是_______． 13. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为_______米． 14. 如图，直线交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则当长度最小时，线段的长为______． 三、解答题（10小题，共78分） 15. 解方程： （1） （2） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知的平方根是，的立方根是3． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 18. 如图，已知的顶点分别为． （1）若各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得的；所得的与有怎样的位置关系？ （2）作出向右平移5个单位长度后的图形． 19. 已知一次函数，当时，；当时，． （1）求一次函数的表达式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 20. 已知一次函数． （1）已知随增大而减小，求的取值范围； （2）函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围； （3）图象不经过第三象限，求的取值范围． 21. 某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 （1）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 22. 某收费自习室策划了两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/ 超时费/（元/） 12 40 0.5 设每月使用自习室的时间为，方案的收费金额分别为元．如图所示的是与之间函数关系的图象． （1）请根据图象填空：________，________，________． （2）写出与之间的函数关系式． （3）如果每月使用自习室的时间为，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 23. 在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． （1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数的图象； （2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有 （填序号）； ①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； ②当时，此函数有最大值为1； ③此函数的图象关于轴对称． （3）已知原点．那么在函数的图象上是否存在一点，使得与面积相等．若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 24. 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； （3）如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1八年级*数学 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 下列实数中，不属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是无限不循环小数，属于无理数，该选项不符合题意； 、是无理数，该选项不符合题意； 、是无理数，该选项不符合题意； 、是整数，属于有理数，该选项符合题意． 故选：D． 2. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键．函数通常表示为一个变量（自变量）与另一个变量（因变量）之间的映射关系据此解答即可． 【详解】解：A、由图可得，任意一个x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意； B、由图可得，存在x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意； C、由图可得，任意一个x对应着一个y的值，能表示y是x的函数，符合题意； D、由图可得，存在x对应着三个（或两个）y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 3. 在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，先根据“炮”和“相”的坐标建立平面直角坐标系，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系： ∴“帅”位于点， 故选：A． 4. 下列函数（1） ，（2） ，（3） ，（4） 中，是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的识别，根据一次函数的定义，形如，这样的函数叫做一次函数，进行判断即可． 【详解】解：由一次函数的定义可知：和是一次函数，和都不是一次函数； 故选C． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：A、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=x+k的图象，得k＜0，故符合题意； B、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=x+k的图象，得k＞0，k值相矛盾，故不符合题意； C、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=x+k的图象不正确，故不符合题意； D、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=x+k的图象不正确，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题． 6. 为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较正比例函数的函数值大小，根据图象法直接进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，物质的质量与体积成正比， ∴当体积相同时，密度越大，质量越大， ∵当体积为时，丁的质量最大， ∴这四种物质中密度最大的是丁； 故选D． 7. 如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 8. 已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标值，联立两直线求出交点坐标，即可得解． 【详解】解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， 则的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和得：， 解得：， 将代入直线得：， 即的最小值是， 故选：C． 二、填空题（共6小题，共18分） 9. 比较大小：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，因为两个数都是正数，那么将两个数分别平方，比较平方数的大小，即可得出答案，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 已知点P（m，2）在第一象限，那么点B（3，﹣m）在第____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据点P在第一象限，即可得到点m的符号，从而得到-m的符号，即可得出点B所在的位置． 【详解】点P（m，2）在第一象限，得m＞0．由不等式的性质，得3＞0，﹣m＜0 那么点B（3，﹣m）在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】此题主要考查点的坐标与象限的关系，解题的关键是熟记各象限对应的点的坐标符号． 12. 与平行，且过点的直线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两直线平行的性质，利用待定系数法求解析式即可． 由于两直线平行，设所求直线解析式为，再代入点求解即可． 【详解】设所求直线解析式为． 代入点得： ， 故答案为：． 13. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为_______米． 【答案】2.7 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 14. 如图，直线交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则当长度最小时，线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，在上取点，使得，过点作轴于点，连接，先求出，通过证明，，求出，当时，长度有最小值，此时，，求出直线的解析式为，进而得到直线的解析式为，设，在中，，求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，在上取点，使得，过点作轴于点，连接， 令，解得， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴； 由旋转的性质得，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为定角， ∴点在过点，且与垂直的直线上运动， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 当时，长度有最小值， 此时，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴此时，直线的解析式为， 设， 在中，， ∴， 整理得，，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即，与点重合，舍去， ∴此时，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的特征，坐标与图形的变化，旋转变换等知识，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建完全平方式，利用完全平方式的非负性解决最值问题． 三、解答题（10小题，共78分） 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先移项，利用平方根的定义解方程即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先计算算术平方根，立方根，乘方.绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算零指数幂，化简绝对值，再结合平方差公式去掉括号，最后加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知的平方根是，的立方根是3． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根，解题的关键是掌握平方根、立方根和算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义得出，，解之即可得到答案； （2）将的值代入求得其结果，再由算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：的平方根是，的立方根是3， ，， 解得：，； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ， 的算术平方根为． 18. 如图，已知的顶点分别为． （1）若各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得的；所得的与有怎样的位置关系？ （2）作出向右平移5个单位长度后的图形． 【答案】（1）如图所示，为所求，与关于轴对称 （2） 如图所示，为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，平移作图． （1）根据题意先求出、、的坐标，再描点得到；观察图形即可得出结论； （2）利用平移的定义作图即可． 【小问1详解】 解：∵，各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘， ∴， 如图所示，为所求； 观察图形得，与关于轴对称； 【小问2详解】 略 19. 已知一次函数，当时，；当时，． （1）求一次函数的表达式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、函数图象的平移以及勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质与图象平移规律是解题的关键． （1）将已知的、值代入一次函数解析式，解方程求出、的值，进而得到函数表达式． （2）先根据函数图象平移规律得到平移后的函数解析式，再分别求出平移后图象与轴、轴的交点坐标，最后利用勾股定理计算线段的长． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得， 将，，代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：函数向左平移个单位长度，得平移后的解析式为 ， 令，得， 解得， ∴． 令，， ∴． ∴． 20. 已知一次函数． （1）已知随增大而减小，求的取值范围； （2）函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围； （3）图象不经过第三象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 且 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数图象过二、一、四象限是解答此题的关键． （1）根据y随x增大而减小可知，求出的取值范围即可； （2）由于函数图象与y轴交点在轴上方，故，再结合一次函数的定义，进而可得而出的取值范围； （3）根据图象不经过第三象限，列出关于的方程组，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：随增大而减小， ， 解得； 【小问2详解】 解：函数图象与轴交点在轴上方， 且， 解得且； 【小问3详解】 解：图象不经过第三象限， ∴， 解得． 21. 某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 （1）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】（1） （2）该户居民用水20立方米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 【小问1详解】 解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； 【小问2详解】 解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 22. 某收费自习室策划了两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/ 超时费/（元/） 12 40 0.5 设每月使用自习室的时间为，方案的收费金额分别为元．如图所示的是与之间函数关系的图象． （1）请根据图象填空：________，________，________． （2）写出与之间的函数关系式． （3）如果每月使用自习室的时间为，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）选择B方式使用自习室合算， 理由如下： 当时，，， ∵， ∴如果每月使用自习室时间小时，选择B方式使用自习室合算． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果． （1）根据表格和图象即可解答本题； （2）根据表格中的数据可以求得之间的函数关系式； （3）将分别代入和函数解析式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，，， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由图象知：当时，； 【小问3详解】 略 23. 在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． （1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数的图象； （2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有 （填序号）； ①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； ②当时，此函数有最大值为1； ③此函数的图象关于轴对称． （3）已知原点．那么在函数的图象上是否存在一点，使得与面积相等．若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 列表： 0 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 函数的图象如图所示： （2）③ （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）列表，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据图象可判断； （3）利用三角形面积求得点的纵坐标，进而即可求得点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据图象可知， ①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；故①错误； ②当时，此函数有最小值为1；故②错误； ③此函数的图象关于轴对称，故③正确； 故答案为：③； 【小问3详解】 存在，点P的坐标为或． 理由如下： ，为和公共边， ， 设的解析式为：， 当点在的右侧时， 将点代入得，， 设的解析式为, 将代入，得， 解得 的解析式为， 解方程组得， 点的坐标为. 当点在的左侧时，根据轴对称的性质，过点的直线为：， 解方程组得，， 点的坐标为． 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或． 24. 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； （3）如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 【答案】（1） （2） （3），或， 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作轴于E．证明推出，，可得； （2）若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由（1）的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式； （3）点M在上方和下方，两种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图2，过点轴于E， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：若将直线绕点A顺时针旋转得到， 如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，    ∵， ∴， 由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C， ∴，， ∵． ∴， ∴， 设点，点， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴ ，， 如图4，当点M在上方时， 分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 由（1）的模型可得：， ∴，， 即，，  解得，； 故点、点； 同理，当点M在下方时， ∴，， 解得， 故点、点； 综上，，或，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $