专题2-1 轨迹方程的求法 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

专题2-1轨迹方程的求法 一、知识点 1.直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质. 2.代入法（相关点法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可把点的坐标用点的坐标表示出来，然后代入已知曲线的方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）. 3.定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. 4.点差法 点差法并不是一种求轨迹的通用方法，而是专门用于解决中点弦、弦中点轨迹等问题的一种技巧.它的核心思想是：当一条直线与曲线相交于两点，并且题目条件与这两个点的中点有关时，我们通过将两个交点坐标代入曲线方程再相减，利用平方差公式和中点公式来化简问题. 5.交轨法 交轨法，也称交集法，适用于所求轨迹上的动点可以看作是两条相关联的动曲线（或直线）的交点. 6.参数法 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法常选变角、变斜率等为参数. 注意：①参数的取值范围影响着方程中和的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性. 对求动点轨迹方程步骤的几点说明 （1）在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单. （2）第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中（或）的取值予以剔除. （3）求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形（曲线的形状），而轨迹方程则是一个方程. 二、题型训练 1.直接法 例1.与点和点连线的斜率之和为的动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 练习： 1.一个动点到直线的距离是它到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为___________. 2.已知曲线是动点到两定点，距离之比为的点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）求过点，且与曲线相切的直线方程. 3.设，分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为_________. 4.设圆外切，又与轴相切的圆的圆心的估计方程是（ ） A. B. 和 C. D. 和 5.已知点，两点，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6.已知，，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2）在直线上求一点，使过点能作轨迹的两条互相垂直的切线. 7.已知曲线上任意一点到的距离与到点的距离之比均为. （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作两条相异直线分别于曲线相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段长的最大值. 8.已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中，，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________. 10.已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为________． 11.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为__________. 12.如图，已知点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.    13.已知两条直线，，求到这两条直线距离相等的所有的点组成的轨迹方程. 14.若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 2.代入法（相关点法） 例2.设动点是曲线上任意一点，定点，点分所成的比为，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 练习： 1.已知圆，点，点在圆上移动，且动点满足，求动点的轨迹方程. 2.动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 3.过原点作圆的弦. （1）求弦中点的轨迹方程； （2）延长到，使，求点的轨迹方程. 4.已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 5.已知圆，直线过点.线段的端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A. B. C. D. 6.设圆的圆心为，点在圆上，则的中点的轨迹方程是______. 7.已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 8.椭圆上有动点，点，分别是椭圆的左、右焦点，求的重心的轨迹方程. 9.在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 3.定义法 例3.已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，过原点作，使，垂足为点，求点的轨迹方程． 练习： 1.已在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 2.平面内有两定点，，且，动点满足，则点的轨迹是（ ） A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线 3.求下列动圆的圆心的轨迹方程： （1）与圆和圆都内切； （2）与圆内切，且与圆外切； 4.已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 5.已知，，，以为焦点的椭圆过、两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 4.点差法 例4.设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 例5.已知抛物线的焦点，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 例6.已知椭圆的离心率，点在该椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，是椭圆上关于直线对称的两点，求实数的取值范围. 练习： 1.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 2.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，线段的中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 3.已知双曲线的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 4.已知双曲线的离心率为. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值. 5.过点作抛物线的弦，恰被点平分，则弦所在直线的方程为______. 6.已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线交动点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 7.已知双曲线的方程为. （1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程； （2）过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于，两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 8.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，（点在轴下方），点与点关于轴对称，若直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 9.已知直线与双曲线交于，两点. （1）若以线段为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （2）是否存在这样的实数，使，两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 5.交轨法 例7.在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于轴正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为________. 练习： 1.如图，已知曲线的动弦垂直交轴于点，曲线与轴的交点，，试探求与交点的轨迹方程. 2.两动直线与的交点的轨迹方程． 3.如图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状． 4.设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点，求点的轨迹方程． 5.已知抛物线，过顶点的两弦，互相垂直，求以，为直径的两圆的另一交点的轨迹方程． 6.已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（    ）. A. B. C. D. 7.已知点、以及直线，设长为的线段在直线上移动（如图所示），求直线和的交点的轨迹方程． 8.如图，为椭圆上的动点，过作椭圆的切线交圆于、，过、作切线交，的轨迹方程． 6.参数法 例8.平面直角坐标系中曲线上任意一点 ，均满足 （为参数），求曲线的方程. 练习： 1.在直角坐标系中，曲线上任意一点均满足（为参数），点为曲线上一点，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程. 2.已知定点和抛物线，若过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，求线段的中点的轨迹方程． 3.已知抛物线，定点，为抛物线上任意一点，在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程． 4.当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-1轨迹方程的求法 一、知识点 1.直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质. 2.代入法（相关点法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可把点的坐标用点的坐标表示出来，然后代入已知曲线的方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）. 3.定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. 4.点差法 点差法并不是一种求轨迹的通用方法，而是专门用于解决中点弦、弦中点轨迹等问题的一种技巧.它的核心思想是：当一条直线与曲线相交于两点，并且题目条件与这两个点的中点有关时，我们通过将两个交点坐标代入曲线方程再相减，利用平方差公式和中点公式来化简问题. 5.交轨法 交轨法，也称交集法，适用于所求轨迹上的动点可以看作是两条相关联的动曲线（或直线）的交点. 6.参数法 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法常选变角、变斜率等为参数. 注意：①参数的取值范围影响着方程中和的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性. 对求动点轨迹方程步骤的几点说明 （1）在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单. （2）第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中（或）的取值予以剔除. （3）求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形（曲线的形状），而轨迹方程则是一个方程. 二、题型训练 1.直接法 例1.与点和点连线的斜率之和为的动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设动点，由，即，整理可得. 练习： 1.一个动点到直线的距离是它到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 设动点，则动点到直线的距离为，到点的距离为， 则，即. 2.已知曲线是动点到两定点，距离之比为的点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）求过点，且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 （1）设点，由及两点间的距离公式， 得，平方整理可得； （2）由（1）可得，其圆心为，半径为， 当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为， 则，解得，此时切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足于圆相切. 3.设，分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为_________. 【答案】 【解析】 设，，， 则的中点，所以，， 又， 即. 4.设圆外切，又与轴相切的圆的圆心的估计方程是（ ） A. B. 和 C. D. 和 【答案】D 【解析】 设动圆圆心为，动圆半径为，定圆圆心为，半径，由题意得，又，所以，故，化简可得.当时，，当时，. 5.已知点，两点，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设点，，，， 则，，， 则，即 6.已知，，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2）在直线上求一点，使过点能作轨迹的两条互相垂直的切线. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设点，由，得，即； （2）设点，设切线与圆相切于，两点，由题意可知四边形为正方形，且， 所以，解得，即 7.已知曲线上任意一点到的距离与到点的距离之比均为. （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作两条相异直线分别于曲线相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段长的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设曲线上的任意一点为，由题意得，整理可得； （2）由题意可知，直线，的斜率均存在，且互为相反数， 因为点，故可设直线的方程为， 由，消去得， 因为在圆上，所以一定是该方程的解， 所以，同理. 所以， 所以直线的斜率为定值，设直线的方程为， 则圆的圆心到直线的距离， 所以， 所以当时，. 8.已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设，因为，所以， 又因为直线与直线的斜率之积为，所以， 整理得. 故选：C. 9.在平面直角坐标系中，，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________. 【答案】 【解析】 设，由题意可得， 整理得，故动点的运动轨迹方程为， 如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部， 所以， 当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：； 10.已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为________． 【答案】（或除去点，） 【解析】 设底边的另一个端点的坐标为，则， 化简可得， 因为三点构成三角形，所以三点不共线且不重合， 当三点共线时，， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以点的轨迹方程为或除去点. 故答案为：或除去点. 11.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 设，则， 化简得，即， 故答案为： 12.如图，已知点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.    【答案】 【解析】 设点P的坐标为， 由点A，B的坐标可得直线AP，BP的斜率分别为，. 由已知得， 化简得点P的轨迹方程为. 13.已知两条直线，，求到这两条直线距离相等的所有的点组成的轨迹方程. 【答案】或 【解析】 直线方程整理为，， 设满足条件的点坐标为， 则根据题意得： 即有或，即或． 故所求轨迹方程为：或． 14.若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图所示： 圆的圆心为，圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以的中点满足直线方程，解得， 过点的圆与轴相切，设圆心的坐标为， 所以，解得：. 故选：C． 2.代入法（相关点法） 例2.设动点是曲线上任意一点，定点，点分所成的比为，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设点，，则，，易知，即，即，又，所以，即. 练习： 1.已知圆，点，点在圆上移动，且动点满足，求动点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设动点，，，， 由，所以，即， 又点在圆上，即 所以， 即 2.动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设连线的中点为，因为动点与定点连线的中点为， 所以，即， 又点在圆上，即， 即，即. 3.过原点作圆的弦. （1）求弦中点的轨迹方程； （2）延长到，使，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设点，则点，因为点的坐标满足， 所以，即； （2）设点，则点，所以， 即，所以点的轨迹方程为. 4.已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如下图所示：    不妨设，则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入方程可得， 整理得. 故选：D 5.已知圆，直线过点.线段的端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设，， 由点是的中点，得，可得， 又点在圆上运动，所以， 将上式代入可得，， 化简整理得点的轨迹方程为：. 故选：B 6.设圆的圆心为，点在圆上，则的中点的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】 圆可化为， 则，设，P（x0，y0），所以 整理得,即， 将点代入圆的方程得， 即为. 故答案为：. 7.已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 设点的坐标，点的坐标为， 又， 所以，， ，， ， ， ， 点在抛物线上，，， 整理得， 所以点的轨迹方程为． 8.椭圆上有动点，点，分别是椭圆的左、右焦点，求的重心的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设点P，M的坐标分别为，， ∵在已知椭圆的方程中，，， ∴， 则已知椭圆的两焦点为，. ∵存在，∴. 由三角形重心坐标公式有即 ∵，∴. ∵点P在椭圆上，∴， ∴， 故的重心M的轨迹方程为. 9.在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 【答案】 【解析】 设，线段的中点， 因为为线段的中点，， ， ，即，得. 所以点的轨迹方程是． 3.定义法 例3.已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，过原点作，使，垂足为点，求点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 依题意， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，则其圆心为，半径为， 故可得点的轨迹方程为    练习： 1.已在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由定义可知点的轨迹是半径为的圆在第四象限内的部分，所以 2.平面内有两定点，，且，动点满足，则点的轨迹是（ ） A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线 【答案】C 【解析】 以的中点为原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，则，， 设动点，则，所以. 3.求下列动圆的圆心的轨迹方程： （1）与圆和圆都内切； （2）与圆内切，且与圆外切； 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    4.已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D. 5.已知，，，以为焦点的椭圆过、两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，，， 所以，，， 因为 都在椭圆上， 所以，， 故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支， 又，，即，，所以， 因此的轨迹方程是（）. 故选：A. 4.点差法 例4.设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设弦的中点为，弦的两个端点分别为，， 则，，作差可得，且，， 由弦过点，则， 化简可得，即，即. 例5.已知抛物线的焦点，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由抛物线的准线方程为，由抛物线的定义及题意可知，解得，所以抛物线的方程为. （2）方法一：由（1）得抛物线的方程为，焦点，设，两点的坐标分别为，，，则，两式相减，整理得 ，因为线段中点的纵坐标为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即； 方法二：由（1）得抛物线的方程为，焦点，由题意知直线得斜率不为零，故可设直线的方程为，联立，消去，整理得，，设，，，因为线段中点的纵坐标为，，解得，所以直线的方程为，即. 例6.已知椭圆的离心率，点在该椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，是椭圆上关于直线对称的两点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由题意知，即，，将点代入椭圆的方程，可得，所以，，所以，，所以椭圆的标准方程为 （2）设，是椭圆上关于直线，且恒过定点，则，因为点，在椭圆上，所以，，所以，化简可得，即，所以，又因为的中点在上，所以，所以，由，得，所以或，解得，或，即的取值范围是. 练习： 1.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题可知为中点的弦所在的直线斜率存在且不为，设直线方程为，与椭圆方程联立，消去得，设直线与椭圆交点坐标为，，因为抛物线中点坐标为，所以，由一元二次方程根与系数关系得，解得，所以，所以，故选：C. 2.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，线段的中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设双曲线方程，，，将代入双曲线方程，整理得，由一元二次方程根与系数关系得，则，又，所以，，所以双曲线的方程是，故选B. 3.已知双曲线的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）由双曲线的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线的方程为，代入，可得，所以双曲线的标准方程为； （2）假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为，设是先的中点，设，，则，，因为点，在双曲线上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即，两式相减得，所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即，联立直线与双曲线方程得，消去得，显然，所以直线与双曲线无交点，所有直线不存在，故不存在被点平分的弦. 4.已知双曲线的离心率为. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由题意得，所以，所以，即，所以所求双曲线的渐近线方程为； （2）由（1）得当时，，双曲线的方程为，设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，由得，所以，，又因为点在圆上，所以，所以. 5.过点作抛物线的弦，恰被点平分，则弦所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 方法一：设，，则有，两式做差得，因为是弦的中点，所以，，代入得，即，所以直线的斜率， 所以所求弦所在直线的方程为，即. 方法二：设弦所在直线的方程为，由，消去得，此方程的两根就是，两点的纵坐标，由一元二次方程根与系数关系和中点坐标公式，得，又，所以，所以所求弦所在直线的方程为. 6.已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线交动点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设，因为，所以，化简得，即为动点的轨迹方程； （2）设，，当直线轴时，直线的方程为，则，，此时线段的中点不是点，不符合题意. 故设直线的方程为，将，代入得，两式相减并化简得，所以，所以直线的方程为，即. 7.已知双曲线的方程为. （1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程； （2）过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于，两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）因为点在双曲线内，所以过点的直线一定与双曲线有两个交点，设以为中点的弦的两端点为，，则有，，根据双曲线的对称性知，由点，在双曲线上，得，，两式相减得，所以，所以，即以为中点的弦所在直线的斜率，故所求中点弦所在直线的方程为，即； （2）假定直线存在，采用（1）的方法求出直线的方程为，即，由，消去得，，无实根，因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在. 8.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，（点在轴下方），点与点关于轴对称，若直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 抛物线的焦点为，设，，，则可设直线的方程为，联立方程，得，，则，，直线的斜率，故直线的斜率为，故选C. 9.已知直线与双曲线交于，两点. （1）若以线段为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （2）是否存在这样的实数，使，两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）由消去得，依题意，解得，且，设，，则，因为以线段为直径的圆过原点，所以，即，因为，所以，所以，解得； （2）假设存在实数，使，两点关于直线对称，则直线与垂直，所以，所以直线的方程为，将代入得，所以线段的中点的横坐标为，纵坐标为，因为线段的中点不在直线上，不存在实数，使，两点关于直线对称. 5.交轨法 例7.在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于轴正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 设，，， 因为，所以. 已知，，则直线，即 又，，则，即， 又，则和的交点的轨迹方程为， 即， 又当时，不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 所以 练习： 1.如图，已知曲线的动弦垂直交轴于点，曲线与轴的交点，，试探求与交点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设直线与交于点. 设，，，， 则，， 两式相乘可求. 2.两动直线与的交点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 令，， 则直线的斜率，直线的斜率，所以． 易知过定点，过定点． 令与的交点为，因为，存在，所以， 所以，， 所以，整理得， 所以交点的轨迹方程为． 故答案为： 3.如图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状． 【答案】答案见解析 【解析】 设及，又， 所以，直线的方程为①；直线的方程为②． 由①②得③．、 又因为， 所以，代入③得，化简得， 所以，点的轨迹方程为． 所以，当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆． 4.设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点，求点的轨迹方程． 【答案】（除点，外）． 【解析】 根据题意，设， ∵， ∴ ∴，（），两式相乘得① ∵， ∴，代入①得， ∴，即，（） 经检验点不满足，不合题意， ∴点的轨迹方程为（除点外）． 5.已知抛物线，过顶点的两弦，互相垂直，求以，为直径的两圆的另一交点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 易得直线的斜率存在，设的直线方程分别为， 直线和抛物线联立得，解得或，所以， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 所以整理得， 所以①， 同理，以代替可得以为直径的圆的方程为②， ①+②得， ， 所以以为直径的两圆的另一交点的轨迹方程 6.已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（    ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为：，设， 则由，可得， 消去可得． 本题选择A选项. 7.已知点、以及直线，设长为的线段在直线上移动（如图所示），求直线和的交点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 如图所示，∵点A、B在直线上，设点A、B、M的坐标分别为，，，其中． 当时，由、、三点共线， 得，解出a，得①， 由、、三点共线， 得，解出b，得．② 由条件，得．∴．③， 由①、②、③式得． 整理得①．④， 当时，两直线和的交点M与点或点重合，得点P和点Q的坐标都满足方程④． 总之，④式就是点M的轨迹方程． ④式可改写成． ∴轨迹的图形是双曲线，它的中心是点，焦点在直线上． 8.如图，为椭圆上的动点，过作椭圆的切线交圆于、，过、作切线交，的轨迹方程． 【答案】 【解析】 设点，先证明椭圆在点处的切线方程为． 联立，可得，， 故椭圆在点处的切线方程为． 设点，再证圆在点处的切线方程为． 当直线的斜率存在且不为零时，，圆在点处的切线斜率为， ∴圆在点处的切线方程为，即， 当直线的斜率不存在且为零时，在点处的切线满足上式. 设点，则圆在点处的切线方程为， 设点，则， ∴点、的坐标满足方程， 故直线的方程为， 由于直线与直线重合， 即直线与直线重合， ∴，即， 由于点在椭圆上，则，即， 因此，点的轨迹方程为． 得， 又在曲线上，即， 代入可得. 6.参数法 例8.平面直角坐标系中曲线上任意一点 ，均满足 （为参数），求曲线的方程. 【答案】 【解析】 由，则，所以. 练习： 1.在直角坐标系中，曲线上任意一点均满足（为参数），点为曲线上一点，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程. 【答案】 【解析】 由，即， 可得， 设点，，且， 又，即， 所以，即. 2.已知定点和抛物线，若过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（或） 【解析】 设点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为， 由，得：， ，解得：或，则，， 而，因此点M的坐标为， ，消去参数k，得：． 由或，得：或． 综上，点M的轨迹方程（或） 3.已知抛物线，定点，为抛物线上任意一点，在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【解析】 设 、 ，则， ①，② 在抛物线上， ，把①②代入得，化简得， 即，轨迹为抛物线. 4.当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹． 【答案】 【解析】 将原式配方得，， 设点的坐标为，则， 消去参数，得，即． 由于原参数方程中的取值范围是，而普通方程中的取值范围是，两者范围不一致，所以对于原参数方程的普通方程应为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $