专题02椭圆、双曲线与抛物线的标准方程与几何性质及其应用（期末复习讲义，必备知识+11大题型精讲+过关分层验收）高二数学上学期人教B版

该高中数学复习讲义以核心考点表统领9大专题，通过“基础知识-核心概念-公式-易错点”分层梳理椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及性质，用对比表格呈现参数关系，思维导图归纳题型方法，构建系统知识网络。 讲义亮点在于11类题型的“答题模板+典例变式”设计，如用定义法求轨迹方程的四步模板，培养数学思维与表达能力。分层练习覆盖基础到综合拓展，易错点提醒助学生自主纠错，教师可据此实施精准分层教学。

专题02 圆锥曲线的标准方程与几何性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：圆锥曲线方程的定义 1.精准复述椭圆、双曲线、抛物线的核心定义及关键限制条件； 2.依据距离条件判断曲线类型，逆向验证曲线与定义的匹配性. 题型：选择/填空；难度：基础； 核心：曲线类型判断，易错点为忽略双曲线“绝对值”条件. 2：求圆锥曲线的标准方程 1.熟记三类曲线标准方程及的关系； 2.灵活运用待定系数法、定义法求方程，精准判断焦点/开口方向. 题型：选择/填空、解答题第一问；难度：基础-中档； 核心：结合离心率、过定点等条件命题，失分点为参数关系混淆、位置判断错误. 3：圆锥曲线上的点到焦点的距离问题 1.掌握三类曲线焦半径公式； 2.利用定义或公式快速计算焦半径. 题型：选择/填空；难度：基础； 核心：焦半径公式应用，抛物线常结合准线距离转化. 4：圆锥曲线上的点到焦点与定点的距离和差 1.用曲线定义转化距离，简化和差运算； 2.求解距离和最小值、距离差最大值。 题型：选择/填空、解答题小问；难度：中档； 核心：距离转化思想，高频考“距离和最小值”. 5：求圆锥曲线的轨迹方程 1.掌握定义法、直译法、相关点法的适用场景； 2.将几何条件转化为代数方程并化简. 题型：解答题；难度：中档； 核心：几何条件代数化，易错点为化简失误. 6：圆锥曲线的焦点三角形问题 1.结合定义、余弦定理、面积公式计算边长、角度、面积； 2.通过焦点三角形条件推导关系. 题型：选择/填空、解答题小问；难度：中档； 核心：定义与余弦定理综合，常结合离心率命题. 7：圆锥曲线有界限求范围 1.运用曲线范围、判别式、函数/不等式法求参数/变量范围； 2.处理直线与曲线相交、动点坐标等常见范围问题. 题型：解答题；难度：中档偏难； 核心：数形结合，易错点为遗漏曲线隐含范围限制. 8：求圆锥曲线的离心率 1.掌握及椭圆、双曲线的离心率范围； 2.用代数法、几何法求离心率的值或范围. 题型：选择/填空、解答题；难度：中档； 核心：高频必考，求范围类题目难度略高. 9：圆锥曲线的综合应用 1.综合运用方程、性质、直线与曲线关系，解决定点、定值、最值等问题； 2.提升代数运算与逻辑推理能力，掌握核心解题策略. 题型：解答题压轴题；难度：难题； 核心：多考点综合，计算量大，侧重综合应用能力. 知识点1：圆锥曲线方程的定义 一、基础知识 椭圆：平面内与两个定点的距离和为常数（）的动点轨迹； 双曲线：平面内与两个定点的距离差的绝对值为常数（）的动点轨迹； 抛物线：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等（，为点到的距离）的动点轨迹. 二、核心概念 焦点：椭圆/双曲线的两个定点，抛物线的定点； 焦距：椭圆/双曲线两焦点间的距离； 定长：椭圆的（距离和）、双曲线的（距离差的绝对值）. 三、公式 椭圆：（）； 双曲线：（）； 抛物线：（为到准线的距离）. 四、易错点 1.忽略双曲线定义中“绝对值”，误判为单支双曲线； 2.椭圆定义中、双曲线的条件遗漏，导致轨迹类型错误； 3.抛物线定义中“定点不在定直线上”的隐含条件忽略（否则轨迹为过定点且垂直于准线的直线）. 知识点2：求圆锥曲线的标准方程 一、基础知识 椭圆/双曲线：按焦点在轴、轴分类，标准方程形式由焦点位置决定； 抛物线：按开口方向（左、右、上、下）分类，标准方程形式由开口方向决定； 核心参数：（椭圆长半轴/双曲线实半轴）、（椭圆短半轴/双曲线虚半轴）、（半焦距）、（抛物线焦点到准线的距离，）； 双曲线特有：渐近线是与双曲线无限接近但永不相交的直线，方程由焦点位置和决定. 二、核心概念 椭圆：，； 双曲线：，，渐近线斜率与或直接相关； 抛物线：的符号由开口方向决定（如开口向左，方程为）. 三、公式（标准方程形式+双曲线渐近线） 1.椭圆： 焦点在轴：； 焦点在轴：； 2.双曲线： 焦点在轴：，渐近线方程； 焦点在轴：，渐近线方程； 3.抛物线： 开口向右：；开口向左：； 开口向上：；开口向下：. 四、易错点 1.椭圆/双曲线焦点位置判断错误（椭圆看分母大小，双曲线看正项符号）； 2.椭圆与双曲线的关系混淆（椭圆，双曲线）； 3.抛物线的几何意义理解错误（焦点到准线的距离，非顶点到焦点的距离）； 4.设方程时遗漏参数限制（如椭圆，双曲线）； 5.双曲线渐近线方程混淆（焦点在轴时误写为）或漏写正负号； 6.误将渐近线方程写成“”（忽略两支双曲线对应两条渐近线）. 知识点3：圆锥曲线上的点到焦点的距离问题 一、基础知识 焦半径：圆锥曲线上任意一点到焦点的距离； 核心思想：椭圆/双曲线用定义或参数关系推导，抛物线用“到焦点距离=到准线距离”转化. 二、核心概念 距离转化：抛物线的焦半径可通过准线快速计算，无需复杂运算； 焦半径公式的适用条件：需匹配曲线的焦点位置（如椭圆左焦点与右焦点公式不同）. 三、公式（焦半径公式） 1.椭圆（为离心率）： 焦点在轴：左焦点，右焦点； 焦点在轴：下焦点，上焦点； 2.双曲线（为离心率）： 焦点在轴：左焦点，右焦点； 焦点在轴：下焦点，上焦点； 3.抛物线： 开口向右：；开口向左：； 开口向上：；开口向下：. 四、易错点 1.椭圆/双曲线焦半径公式混淆（左/右、上/下焦点符号错误）； 2.抛物线准线方向记错（如开口向左准线为，误记为）； 3.忽略双曲线焦半径的绝对值（导致距离为负）. 知识点4：圆锥曲线上的点到焦点与定点的距离和差 一、基础知识 距离和：椭圆中利用转化，抛物线中利用“到焦点距离=到准线距离”转化； 距离差：双曲线中利用转化，结合三角形不等式求最值. 二、核心概念 最值原理： 距离和最小值：椭圆中“三点共线”（定点与焦点连线交椭圆于点），抛物线中“垂线段最短”（过定点作准线垂线交抛物线于点）； 距离差最大值：双曲线中“三点共线”（定点与另一焦点连线交双曲线于点）. 三、公式（核心定值） 椭圆：； 双曲线：； 抛物线：（为到准线距离）. 四、易错点 1.椭圆距离和最小值误判为“定点到焦点的距离”（需结合验证）； 2.双曲线距离差最大值忽略“绝对值”，导致结果为负； 3.抛物线转化时准线位置记错，影响距离计算. 知识点5：求圆锥曲线的轨迹方程 一、基础知识 常用方法：定义法、直译法、相关点法（代入法）； 步骤：建立坐标系→设动点坐标→转化几何条件→化简方程→验证限制条件。 二、核心概念 几何条件代数化：将“距离、角度、斜率”等几何关系转化为含的方程； 轨迹完整性：需排除不符合条件的点（如定义域、值域限制）。 三、核心方法 1.定义法：判断动点满足的曲线定义→直接写出标准方程； 2.直译法：设→翻译几何条件（如）→化简； 3.相关点法：设动点，相关点（已知轨迹）→建立与的关系→代入的轨迹方程→化简. 四、易错点 1.直译法中距离公式展开化简不彻底（未化为标准形式）； 2.相关点法中忽略相关点的限制条件（导致轨迹范围扩大）； 3.建立坐标系不合理（增加化简难度）； 4.遗漏轨迹中的特殊点（如原点、坐标轴交点）或排除多余点. 知识点6：圆锥曲线的焦点三角形问题 一、基础知识 焦点三角形：圆锥曲线上任意一点与两焦点构成的三角形（椭圆/双曲线特有）； 常用工具：定义（）、余弦定理、三角形面积公式. 二、核心概念 椭圆焦点三角形：，，内角和为； 双曲线焦点三角形：，，顶角范围受离心率影响. 三、公式 1.余弦定理： 椭圆：（）； 双曲线：同上（）； 2.面积公式： 椭圆：； 双曲线：. 四、易错点 1.椭圆焦点三角形中误用双曲线的面积公式（与混淆）； 2.忽略定义中的定值（），直接用余弦定理导致方程无解； 3.双曲线焦点三角形中未考虑“绝对值”，导致计算错误； 4.角度的范围判断错误（椭圆，双曲线）. 知识点7：圆锥曲线有界限求范围 一、基础知识 曲线自身范围：椭圆；双曲线（焦点在轴）或（焦点在轴）；抛物线（开口向右）等； 常用方法：函数法（转化为二次函数）、判别式法（直线与曲线相交）、不等式法（均值不等式、三角函数有界性）. 二、核心概念 范围的本质：参数或变量满足的约束条件（几何上的可行性）； 判别式法的适用条件：直线与曲线相交（），用于求直线斜率、截距等参数的范围. 三、公式 1.判别式：联立直线与曲线方程得，； 2.二次函数最值：（），，最值在顶点或端点取得； 3.椭圆参数方程（求范围用）： 1.焦点在x轴的椭圆（标准方程：，）： 参数方程：（）； 2.焦点在y轴的椭圆（标准方程：，）： 参数方程：（）； 4.双曲线渐近线相关（求范围辅助）：若直线与双曲线渐近线平行，无交点；若斜率在（焦点在轴），与双曲线右支有一个交点. 四、易错点 1.忽略曲线自身范围（如用二次函数求最值时，未限制在椭圆的内）； 2.判别式法中忘记“二次项系数不为0”的前提（如直线斜率不存在的情况）； 3.不等式方向错误（如双曲线误写为）； 4.均值不等式应用时忽略“一正二定三相等”（如求的范围时未考虑）； 5.双曲线范围问题中未结合渐近线斜率判断直线与曲线的交点情况，导致参数范围误判. 知识点8：求圆锥曲线的离心率 一、基础知识 离心率定义：（椭圆、双曲线通用），反映曲线形状特征（椭圆扁平程度、双曲线开口宽窄）； 取值范围：椭圆，双曲线； 双曲线特有关联：离心率与渐近线斜率直接相关，可通过渐近线方程求，或通过求渐近线斜率. 二、核心概念 的本质：与的比值，核心是找到的齐次关系（如、等），消去参数转化为的方程； 双曲线中与渐近线的联动：渐近线斜率决定与的比例，进而决定的大小，越大，渐近线斜率绝对值越大. 三、公式 1.核心公式：； 2.与的关系： 椭圆：； 双曲线：； 3.与渐近线的关系（双曲线）： 焦点在轴（渐近线斜率）：； 焦点在轴（渐近线斜率）：； 4.几何条件转化公式（焦点三角形为直角三角形）： 椭圆（）：（特殊情况）； 双曲线（）：（范围推导）. 四、易错点 1.椭圆与双曲线的范围混淆（如双曲线误判为）； 2.齐次关系转化错误（如椭圆，误算为）； 3.双曲线渐近线与的关系推导错误（焦点在轴时误用）； 4.几何条件转化为关系时出错（如焦点三角形为直角三角形时，勾股定理应用错误）； 5.求的范围时，不等式推导不严谨（如忽略“曲线上存在点”的条件）. 知识点9：圆锥曲线的综合应用 一、基础知识 综合核心：融合圆锥曲线方程、几何性质、直线与曲线位置关系，解决定点、定值、最值、存在性问题； 核心工具：韦达定理（设而不求）、弦长公式、点到直线距离公式、判别式（保证相交）、双曲线渐近线（判断位置关系）； 常见场景：直线与椭圆/双曲线/抛物线相交形成的弦长、中点、斜率问题，结合定点定值推导或最值求解。 二、核心概念 定点问题：直线或曲线过某固定点，与参数（如斜率、截距）无关，解题关键是“特殊值法找定点+代数证明消参”； 定值问题：表达式（如斜率乘积、面积、向量数量积）的值与动点或参数无关，解题关键是“变量代换+化简消参”； 存在性问题：判断是否存在满足条件的点、直线或参数，解题关键是“假设存在+列方程/不等式求解+验证合理性”； 双曲线特有关联：综合题中常结合渐近线判断直线与双曲线的交点个数，避免漏解. 三、公式 1.韦达定理：联立，消去得（），则，； 2.弦长公式：（为直线斜率），无斜率时； 3.点到直线距离公式：点到直线的距离； 4.三角形面积公式（弦与点构成）：（为到直线的距离）； 5.双曲线渐近线与直线平行判断：直线斜率（焦点在轴）或（焦点在轴）时，与双曲线无交点. 四、易错点 1.联立直线与曲线方程时计算错误（移项、合并同类项失误），导致韦达定理应用失误； 2.忽略判别式（直线与曲线相交的前提），导致参数范围扩大或无解； 3.定点证明时未消去所有参数（残留斜率、截距等参数），导致结论不成立； 4.最值问题中未验证“等号成立条件”（如均值不等式、三角形不等式的适用条件）； 5.存在性问题中漏解（如直线斜率不存在的情况未讨论，双曲线与直线相交时漏判单支/两支交点）； 6.双曲线综合题中未结合渐近线判断直线位置关系，导致交点个数误判； 7.弦长公式中忽略“直线斜率不存在”的特殊情况，导致公式误用； 8.计算距离或面积时，坐标代入错误（如点到直线距离公式中符号处理失误）. 题型一 求圆锥曲线的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 适用场景：已知动点满足的几何条件（距离、比例、角度等），求动点轨迹方程 核心思路：几何条件代数化，结合曲线定义简化推导 答题模板： 1.建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为，明确已知定点、定直线的坐标/方程； 2.转化条件：将题目中的几何条件（如“距离比为2”“到两定点距离和为定值”）翻译为含的代数表达式： 距离关系：用两点间距离公式； 定义特征：若满足椭圆/双曲线/抛物线定义，直接判定曲线类型； 3.化简方程：整理代数表达式，消去根号、平方项，化为标准轨迹形式（椭圆、双曲线、抛物线或直线）； 4.验证完整性：排除不符合条件的点（如定义域限制、轨迹退化情况），注明轨迹范围. 【典例1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 . 【变式3】（25-26高二上·广东惠州·期中）（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 题型二 求圆锥曲线的标准方程 答｜题｜模｜板 适用场景：已知焦点位置、离心率、过定点、渐近线等条件，求椭圆/双曲线/抛物线的标准方程 核心思路：先定曲线类型与位置，再用条件求参数 答题模板： 1.判断曲线类型与位置： 椭圆/双曲线：由“焦点在x轴/y轴”“正项符号”“渐近线方向”确定位置； 抛物线：由“开口方向”确定位置（如过焦点则开口向右）； 2.设标准方程： 椭圆（焦点在x轴）：； 双曲线（焦点在x轴）：，渐近线； 抛物线（开口向右）：； 3.列条件求参数：根据已知条件（如离心率、过定点、渐近线斜率）列方程（组）： 椭圆：；双曲线：；抛物线：由焦点/准线确定； 4.代入得方程：求解参数，代入所设方程，化简为标准形式； 5.验证合理性：检查参数是否满足限制条件（如、）. 【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 题型三 由圆锥曲线方程求基本量 答｜题｜模｜板 适用场景：已知椭圆/双曲线/抛物线的标准方程，求、焦点坐标、准线方程等 核心思路：对照标准方程，提取参数，利用数量关系计算 答题模板： 1.识别曲线类型与位置：由方程形式判断是椭圆/双曲线/抛物线，确定焦点轴（椭圆/双曲线）或开口方向（抛物线）； 2.提取核心参数： 椭圆：，，； 双曲线：，，； 抛物线：为一次项系数的一半（符号由开口方向决定）； 3.计算目标量： 离心率（椭圆/双曲线）； 焦点坐标：椭圆/双曲线（）或（），抛物线（）等； 准线方程：椭圆/双曲线，抛物线等； 4.规范作答：按题目要求列出所求基本量，避免参数混淆. 【典例1】（24-25高二上·山东临沂·期中）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·湖南永州·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 【典例3】（2023·河北保定·一模）写出过抛物线上的点且与圆相切的一条直线的方程 ． 【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 【变式3】（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 题型四 圆锥曲线上的点到焦点的距离问题 答｜题｜模｜板 适用场景：已知圆锥曲线方程和曲线上一点坐标，求该点到焦点的距离（焦半径） 核心思路：直接套用焦半径公式，或用定义转化（抛物线优先） 答题模板： 1.确定曲线类型与焦点位置：由方程判断椭圆/双曲线/抛物线，明确焦点坐标（如椭圆右焦点）； 2.提取关键信息：记曲线上点为，找出参数； 3.选择公式计算： 椭圆（焦点在x轴）：右焦点，左焦点； 双曲线（焦点在x轴）：右焦点，左焦点； 抛物线（开口向右）：（定义转化：到焦点距离=到准线距离）； 4.验证结果：确保距离为非负值（双曲线焦半径需加绝对值）； 5.写结论：规范写出距离值. 【典例1】（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【典例2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【典例3】（25-26高三上·河南安阳·月考）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．6 C． D． 【变式2】（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C上的一点，且，则 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 题型五 圆锥曲线上的点到焦点与定点的距离和差问题 答｜题｜模｜板 适用场景：求圆锥曲线上一点到焦点与定点的距离和最小值、距离差最大值 核心思路：用曲线定义转化距离，结合“三点共线”“垂线段最短”求最值 答题模板： 1.分析距离关系：明确题目是“距离和”还是“距离差”，标注焦点、定点的坐标； 2.定义转化： 椭圆：，将“”转化为“”； 双曲线：，将“”转化为“”； 抛物线：（为到准线距离），将“”转化为“”； 3.找最值条件： 距离和最小值：椭圆/双曲线中“三点共线”，抛物线中“过作准线垂线，垂足与重合”； 距离差最大值：双曲线中“三点共线”（差为）； 4.计算最值：代入坐标计算线段长度，得出最值； 5.写结论：注明取最值时的点的位置（可选）. 【典例1】（25-26高二上·天津北辰·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【典例3】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【变式2】（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【变式3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型六 圆锥曲线焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 适用场景：椭圆/双曲线上一点与两焦点构成三角形，求边长、角度、面积或参数关系 核心思路：定义+余弦定理+面积公式，联动 答题模板： 1.明确已知条件：记焦点、，曲线上点，已知条件（如、）； 2.用定义列关系式： 椭圆：（）； 双曲线：； 3.用余弦定理建立方程：，结合定义式消去； 4.求解目标量： 求面积：椭圆，双曲线； 求角度：由推导； 求离心率：结合，由与的关系推导； 5.验证合理性：确保角度/边长符合曲线范围（如椭圆）. 【典例1】【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 【典例2】【多选题】（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 【典例3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【变式2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则下列结论中正确的个数为（    ） ①时，满足的点P有2个； ②时，满足的点P有4个； ③的周长等于4a； ④的最大值为. A．① B．①② C．①③ D．①②④ 题型七 根据圆锥曲线的有界性求范围或最值 答｜题｜模｜板 适用场景：求圆锥曲线相关参数（斜率、截距）或代数式（、）的范围/最值 核心思路：利用曲线自身范围+函数/不等式法，转化为单变量问题 答题模板： 1.选择求解方法： 函数法：椭圆/双曲线用参数方程（如椭圆），抛物线用代数代换； 判别式法：直线与曲线相交，联立方程得； 不等式法：均值不等式、三角函数有界性（）； 2.转化为单变量函数： 例：求椭圆上的最值，设，则； 3.求范围/最值： 三角函数法：，最值为； 判别式法：联立与曲线方程，由得； 4.结合曲线自身范围： 椭圆：；双曲线：（焦点在x轴）； 5.写结论：规范写出范围（如）. 【典例1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式2】（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 求圆锥曲线的离心率的值或范围 答｜题｜模｜板 适用场景：已知椭圆/双曲线的几何条件（如焦点三角形、渐近线、直线与曲线位置关系），求离心率或其范围 核心思路：找到的齐次关系，转化为的方程/不等式（） 答题模板： 1.明确曲线类型：判断是椭圆（）还是双曲线（），确定的数量关系（椭圆，双曲线）； 2.转化几何条件：将题目条件（如“焦点三角形为直角三角形”“渐近线斜率为2”）转化为的齐次关系（比例式或等式）： 代数条件：直接用（为已知比例）代入数量关系； 几何条件：用余弦定理、勾股定理建立的等式； 位置关系：直线与曲线相切则，推导的关系； 3.构建的方程/不等式： 求的值：将代入，化简得（如椭圆）； 求的范围：由齐次关系列不等式，转化为的不等式（如双曲线）； 4.求解并验证：解方程/不等式，结合的固有范围（椭圆，双曲线）取舍. 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26高三上·江苏南通·期中）设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【变式1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．或2 【变式3】（25-26高二上·安徽安庆·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型九 圆锥曲线的第三定义/点差法 答｜题｜模｜板 适用场景：涉及椭圆/双曲线的中点弦问题（已知弦中点求斜率、已知斜率求中点）.. 核心思路：第三定义（斜率乘积定值）或点差法（设点代入作差），规避联立方程的复杂计算 答题模板： 子模板1：第三定义（椭圆/双曲线） 1.明确第三定义内容： 椭圆：若为椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上任意一点，则； 双曲线：同理，. 2.关联中点弦：若为弦的中点，则（原点与中点连线）与的斜率乘积满足第三定义：（椭圆）或（双曲线）. 3.代入求解：已知中点则求，已知则求中点坐标； 4.验证合理性：确保中点在曲线内部（椭圆，双曲线）. 子模板2：点差法（通用） 1.设点代入：设弦的端点为、，中点为，代入曲线方程： 椭圆：，； 2.作差化简：两式相减，利用平方差公式分解： 3.代入中点与斜率：由、，，化简得： 4.求解目标量：代入已知条件（中点坐标或斜率），计算所求值. 【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）过直角顶点的两直角边交抛物线于两点，求中点的轨迹方程． 【变式2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【变式3】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型十 圆锥曲线的焦半径及焦点弦长公式 答｜题｜模｜板 一、焦半径公式（曲线上点，，） 1.椭圆（，） 焦点在x轴：左焦点，右焦点；角度式（x轴焦点）： 焦点在y轴：上焦点，下焦点；角度式（y轴焦点）： 2.双曲线（，） 焦点在x轴：右支、；左支取绝对值；角度式： 焦点在y轴：上支、；下支取绝对值；角度式： 3.抛物线 开口右：，角度式 开口左：，角度式 开口上：，角度式 开口下：，角度式 二、焦点弦长公式（弦过焦点，端点、） 1.椭圆 坐标式：x轴焦点，y轴焦点 角度式：x轴焦点，y轴焦点 通径： 2.双曲线 坐标式：x轴焦点 角度式：（不含渐近线方向） 通径： 3.抛物线 坐标式：开口左右，开口上下 角度式：开口左右，开口上下 通径： 答题步骤 1.定曲线+焦点/开口方向，提取； 2.按已知条件（点坐标/倾斜角）选坐标式/角度式； 3.未知用韦达定理求，角度直接代公式； 4.双曲线取绝对值，抛物线避禁区（如开口右）； 5.化简得结果. 【典例1】．（23-24高二下·安徽·月考）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 【典例3】【多选题】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】【多选题】（25-26高二上·河南新乡·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（    ） A． B． C．的面积是 D． 【变式2】过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【变式3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 题型十一 圆锥曲线性质的综合应用 答｜题｜模｜板 适用场景：选择题/填空题，考查圆锥曲线性质辨析、最值速算、参数范围/求值（无需复杂联立） 核心思路：优先用定义、几何意义、第三定义、参数方程，规避大题复杂步骤 答题模板： 1.定位考点：快速判断考查核心（如离心率、渐近线、最值、参数关系）； 2.选解题技巧： 性质辨析：直接套用核心概念（椭圆、双曲线，渐近线与关系）； 最值/范围：椭圆用参数方程（）转化为三角函数有界性，抛物线用“到焦点距离=到准线距离”转化； 参数求值：第三定义（斜率乘积定值）、焦点三角形面积公式、通径公式直接代入； 3.简化计算：小题不纠结过程，优先用特殊值（如）、极端情况（如弦垂直焦点轴）验证； 4.验证结果：结合曲线固有范围（如椭圆）排除错误选项. 易错点提醒： 用特殊值时忽略“特殊情况是否通用”（如双曲线仅右支的参数范围）； 混淆不同曲线的核心性质（如椭圆与双曲线的离心率范围）. 二、跨模块综合类（直线与圆+平面向量+圆锥曲线） 子题型1：直线与圆+圆锥曲线 适用场景：涉及圆的切线、圆心距、圆与圆锥曲线交点，结合直线斜率/截距考查 核心思路：先利用圆的性质转化条件，再关联圆锥曲线公式 答题模板： 1.提取圆的关键信息：圆心、半径，明确圆的条件（如切线：圆心到直线距离；弦长：）； 2.转化直线条件：将圆的条件转化为直线参数（斜率、截距）的方程（如切线：）； 3.关联圆锥曲线： 若考离心率：用直线参数（如渐近线与圆相切）推导齐次关系，求； 若考最值：用圆心距、圆锥曲线范围联合求（如圆上点到椭圆焦点的距离最值）； 4.简化计算：小题优先用几何意义（如“圆心-焦点-曲线上点”三点共线求最值）. 易错点提醒： 忽略直线斜率不存在的情况（如垂直x轴的切线）； 圆心距公式代入坐标错误. 子题型2：平面向量+圆锥曲线 适用场景：向量共线、数量积、中点向量，结合圆锥曲线点坐标、斜率、范围考查. 核心思路：将向量条件转化为坐标关系，再结合圆锥曲线性质解题. 答题模板： 1.向量条件转化： 数量积：（垂直）；坐标代入化简； 共线：（斜率相等）； 中点：（关联点差法）. 2.结合圆锥曲线： 代入曲线方程：将坐标关系代入椭圆/双曲线/抛物线方程，提取的关系； 求斜率/范围：用第三定义、点差法快速求中点弦斜率，或用判别式求参数范围； 3.小题速算：优先用特殊点（如原点、焦点）验证，避免联立方程. 易错点提醒： 向量坐标转化时符号错误（如误写为）； 数量积为0与“垂直”等价关系混淆（仅平面直角坐标系中成立）. 子题型3：椭圆/双曲线/抛物线跨曲线综合 适用场景：不同圆锥曲线的交点、性质关联（如椭圆与抛物线共焦点，双曲线与椭圆共渐近线）. 核心思路：抓共通条件（焦点、参数、交点），联立核心公式求解. 答题模板： 1.找共通条件： 共焦点：椭圆与双曲线相等；椭圆与抛物线（抛物线开口右）； 共参数：双曲线与椭圆共或，抛物线与双曲线共渐近线斜率； 共交点：联立两曲线方程，求交点坐标（小题可代特殊值）； 2.联立公式求解： 共焦点问题：用建立的关系，求离心率或标准方程； 共交点问题：联立方程后用判别式判断交点个数，或代入其中一条曲线的性质求参数； 3.验证合理性：结合各曲线参数限制（如椭圆、抛物线）排除无效解。 易错点提醒： 跨曲线联立方程时计算错误（优先消去二次项简化）； 忽略不同曲线的参数定义差异（如双曲线为虚半轴，与椭圆意义不同）. 【典例1】【多选题】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 【典例2】【多选题】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（    ）． A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 【典例3】【多选题】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知抛物线的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当点P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 【变式1】【多选题】（2025·江苏·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【变式2】【多选题】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【变式3】【多选题】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．直线的斜率为 D．的面积为 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 7．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、多选题 10．（2024·山东济南·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 三、填空题 11．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 12．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 期末重难突破练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则直线的斜率为 5．（24-25高三下·广西·期中）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（    ） A． B．当时， C．若点的坐标为，则周长的最小值为8 D．当时， 6．（24-25高二上·福建宁德·期末）已知A为双曲线上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（   ） A．若，则 B．若，则的面积为2 C． D．的最小值为4 7．（24-25高二下·云南红河·期末）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为的中点，为上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为6 D．的取值范围为 8．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 三、填空题 9．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点且与轴垂直的直线与在第一象限交于点，直线与的渐近线在第一象限交于点，若是的中点，则的离心率为 ． 10．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为 ． 11．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 12．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是 ． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·期末）图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线（其中为正数）的一部分（图2）．若是曲线上的一点，且，过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1．若，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 3．（24-25高二上·四川乐山·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知曲线C：，直线，，，为C上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为2 B．当时，C上有且仅有两个点到的距离为1 C．若曲线C与有两个不同的交点，则 D．当时， 5．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”．其来源于雅各•伯努利仿照椭圆的定义稍做改动．他是这样定义双纽线的：在平面内，设两定点、之间距离为，则到两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做双纽线．按照如图所示坐标系研究此曲线，下列说法正确的是（   ）      A．若，则的方程为 B．若上的点到两定点、的距离之积为，则点在上 C．若点在上，则 D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 三、填空题 6．（24-25高二上·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 . 7．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的 ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线的标准方程与几何性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：圆锥曲线方程的定义 1.精准复述椭圆、双曲线、抛物线的核心定义及关键限制条件； 2.依据距离条件判断曲线类型，逆向验证曲线与定义的匹配性. 题型：选择/填空；难度：基础； 核心：曲线类型判断，易错点为忽略双曲线“绝对值”条件. 2：求圆锥曲线的标准方程 1.熟记三类曲线标准方程及的关系； 2.灵活运用待定系数法、定义法求方程，精准判断焦点/开口方向. 题型：选择/填空、解答题第一问；难度：基础-中档； 核心：结合离心率、过定点等条件命题，失分点为参数关系混淆、位置判断错误. 3：圆锥曲线上的点到焦点的距离问题 1.掌握三类曲线焦半径公式； 2.利用定义或公式快速计算焦半径. 题型：选择/填空；难度：基础； 核心：焦半径公式应用，抛物线常结合准线距离转化. 4：圆锥曲线上的点到焦点与定点的距离和差 1.用曲线定义转化距离，简化和差运算； 2.求解距离和最小值、距离差最大值。 题型：选择/填空、解答题小问；难度：中档； 核心：距离转化思想，高频考“距离和最小值”. 5：求圆锥曲线的轨迹方程 1.掌握定义法、直译法、相关点法的适用场景； 2.将几何条件转化为代数方程并化简. 题型：解答题；难度：中档； 核心：几何条件代数化，易错点为化简失误. 6：圆锥曲线的焦点三角形问题 1.结合定义、余弦定理、面积公式计算边长、角度、面积； 2.通过焦点三角形条件推导关系. 题型：选择/填空、解答题小问；难度：中档； 核心：定义与余弦定理综合，常结合离心率命题. 7：圆锥曲线有界限求范围 1.运用曲线范围、判别式、函数/不等式法求参数/变量范围； 2.处理直线与曲线相交、动点坐标等常见范围问题. 题型：解答题；难度：中档偏难； 核心：数形结合，易错点为遗漏曲线隐含范围限制. 8：求圆锥曲线的离心率 1.掌握及椭圆、双曲线的离心率范围； 2.用代数法、几何法求离心率的值或范围. 题型：选择/填空、解答题；难度：中档； 核心：高频必考，求范围类题目难度略高. 9：圆锥曲线的综合应用 1.综合运用方程、性质、直线与曲线关系，解决定点、定值、最值等问题； 2.提升代数运算与逻辑推理能力，掌握核心解题策略. 题型：解答题压轴题；难度：难题； 核心：多考点综合，计算量大，侧重综合应用能力. 知识点1：圆锥曲线方程的定义 一、基础知识 椭圆：平面内与两个定点的距离和为常数（）的动点轨迹； 双曲线：平面内与两个定点的距离差的绝对值为常数（）的动点轨迹； 抛物线：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等（，为点到的距离）的动点轨迹. 二、核心概念 焦点：椭圆/双曲线的两个定点，抛物线的定点； 焦距：椭圆/双曲线两焦点间的距离； 定长：椭圆的（距离和）、双曲线的（距离差的绝对值）. 三、公式 椭圆：（）； 双曲线：（）； 抛物线：（为到准线的距离）. 四、易错点 1.忽略双曲线定义中“绝对值”，误判为单支双曲线； 2.椭圆定义中、双曲线的条件遗漏，导致轨迹类型错误； 3.抛物线定义中“定点不在定直线上”的隐含条件忽略（否则轨迹为过定点且垂直于准线的直线）. 知识点2：求圆锥曲线的标准方程 一、基础知识 椭圆/双曲线：按焦点在轴、轴分类，标准方程形式由焦点位置决定； 抛物线：按开口方向（左、右、上、下）分类，标准方程形式由开口方向决定； 核心参数：（椭圆长半轴/双曲线实半轴）、（椭圆短半轴/双曲线虚半轴）、（半焦距）、（抛物线焦点到准线的距离，）； 双曲线特有：渐近线是与双曲线无限接近但永不相交的直线，方程由焦点位置和决定. 二、核心概念 椭圆：，； 双曲线：，，渐近线斜率与或直接相关； 抛物线：的符号由开口方向决定（如开口向左，方程为）. 三、公式（标准方程形式+双曲线渐近线） 1.椭圆： 焦点在轴：； 焦点在轴：； 2.双曲线： 焦点在轴：，渐近线方程； 焦点在轴：，渐近线方程； 3.抛物线： 开口向右：；开口向左：； 开口向上：；开口向下：. 四、易错点 1.椭圆/双曲线焦点位置判断错误（椭圆看分母大小，双曲线看正项符号）； 2.椭圆与双曲线的关系混淆（椭圆，双曲线）； 3.抛物线的几何意义理解错误（焦点到准线的距离，非顶点到焦点的距离）； 4.设方程时遗漏参数限制（如椭圆，双曲线）； 5.双曲线渐近线方程混淆（焦点在轴时误写为）或漏写正负号； 6.误将渐近线方程写成“”（忽略两支双曲线对应两条渐近线）. 知识点3：圆锥曲线上的点到焦点的距离问题 一、基础知识 焦半径：圆锥曲线上任意一点到焦点的距离； 核心思想：椭圆/双曲线用定义或参数关系推导，抛物线用“到焦点距离=到准线距离”转化. 二、核心概念 距离转化：抛物线的焦半径可通过准线快速计算，无需复杂运算； 焦半径公式的适用条件：需匹配曲线的焦点位置（如椭圆左焦点与右焦点公式不同）. 三、公式（焦半径公式） 1.椭圆（为离心率）： 焦点在轴：左焦点，右焦点； 焦点在轴：下焦点，上焦点； 2.双曲线（为离心率）： 焦点在轴：左焦点，右焦点； 焦点在轴：下焦点，上焦点； 3.抛物线： 开口向右：；开口向左：； 开口向上：；开口向下：. 四、易错点 1.椭圆/双曲线焦半径公式混淆（左/右、上/下焦点符号错误）； 2.抛物线准线方向记错（如开口向左准线为，误记为）； 3.忽略双曲线焦半径的绝对值（导致距离为负）. 知识点4：圆锥曲线上的点到焦点与定点的距离和差 一、基础知识 距离和：椭圆中利用转化，抛物线中利用“到焦点距离=到准线距离”转化； 距离差：双曲线中利用转化，结合三角形不等式求最值. 二、核心概念 最值原理： 距离和最小值：椭圆中“三点共线”（定点与焦点连线交椭圆于点），抛物线中“垂线段最短”（过定点作准线垂线交抛物线于点）； 距离差最大值：双曲线中“三点共线”（定点与另一焦点连线交双曲线于点）. 三、公式（核心定值） 椭圆：； 双曲线：； 抛物线：（为到准线距离）. 四、易错点 1.椭圆距离和最小值误判为“定点到焦点的距离”（需结合验证）； 2.双曲线距离差最大值忽略“绝对值”，导致结果为负； 3.抛物线转化时准线位置记错，影响距离计算. 知识点5：求圆锥曲线的轨迹方程 一、基础知识 常用方法：定义法、直译法、相关点法（代入法）； 步骤：建立坐标系→设动点坐标→转化几何条件→化简方程→验证限制条件。 二、核心概念 几何条件代数化：将“距离、角度、斜率”等几何关系转化为含的方程； 轨迹完整性：需排除不符合条件的点（如定义域、值域限制）。 三、核心方法 1.定义法：判断动点满足的曲线定义→直接写出标准方程； 2.直译法：设→翻译几何条件（如）→化简； 3.相关点法：设动点，相关点（已知轨迹）→建立与的关系→代入的轨迹方程→化简. 四、易错点 1.直译法中距离公式展开化简不彻底（未化为标准形式）； 2.相关点法中忽略相关点的限制条件（导致轨迹范围扩大）； 3.建立坐标系不合理（增加化简难度）； 4.遗漏轨迹中的特殊点（如原点、坐标轴交点）或排除多余点. 知识点6：圆锥曲线的焦点三角形问题 一、基础知识 焦点三角形：圆锥曲线上任意一点与两焦点构成的三角形（椭圆/双曲线特有）； 常用工具：定义（）、余弦定理、三角形面积公式. 二、核心概念 椭圆焦点三角形：，，内角和为； 双曲线焦点三角形：，，顶角范围受离心率影响. 三、公式 1.余弦定理： 椭圆：（）； 双曲线：同上（）； 2.面积公式： 椭圆：； 双曲线：. 四、易错点 1.椭圆焦点三角形中误用双曲线的面积公式（与混淆）； 2.忽略定义中的定值（），直接用余弦定理导致方程无解； 3.双曲线焦点三角形中未考虑“绝对值”，导致计算错误； 4.角度的范围判断错误（椭圆，双曲线）. 知识点7：圆锥曲线有界限求范围 一、基础知识 曲线自身范围：椭圆；双曲线（焦点在轴）或（焦点在轴）；抛物线（开口向右）等； 常用方法：函数法（转化为二次函数）、判别式法（直线与曲线相交）、不等式法（均值不等式、三角函数有界性）. 二、核心概念 范围的本质：参数或变量满足的约束条件（几何上的可行性）； 判别式法的适用条件：直线与曲线相交（），用于求直线斜率、截距等参数的范围. 三、公式 1.判别式：联立直线与曲线方程得，； 2.二次函数最值：（），，最值在顶点或端点取得； 3.椭圆参数方程（求范围用）： 1.焦点在x轴的椭圆（标准方程：，）： 参数方程：（）； 2.焦点在y轴的椭圆（标准方程：，）： 参数方程：（）； 4.双曲线渐近线相关（求范围辅助）：若直线与双曲线渐近线平行，无交点；若斜率在（焦点在轴），与双曲线右支有一个交点. 四、易错点 1.忽略曲线自身范围（如用二次函数求最值时，未限制在椭圆的内）； 2.判别式法中忘记“二次项系数不为0”的前提（如直线斜率不存在的情况）； 3.不等式方向错误（如双曲线误写为）； 4.均值不等式应用时忽略“一正二定三相等”（如求的范围时未考虑）； 5.双曲线范围问题中未结合渐近线斜率判断直线与曲线的交点情况，导致参数范围误判. 知识点8：求圆锥曲线的离心率 一、基础知识 离心率定义：（椭圆、双曲线通用），反映曲线形状特征（椭圆扁平程度、双曲线开口宽窄）； 取值范围：椭圆，双曲线； 双曲线特有关联：离心率与渐近线斜率直接相关，可通过渐近线方程求，或通过求渐近线斜率. 二、核心概念 的本质：与的比值，核心是找到的齐次关系（如、等），消去参数转化为的方程； 双曲线中与渐近线的联动：渐近线斜率决定与的比例，进而决定的大小，越大，渐近线斜率绝对值越大. 三、公式 1.核心公式：； 2.与的关系： 椭圆：； 双曲线：； 3.与渐近线的关系（双曲线）： 焦点在轴（渐近线斜率）：； 焦点在轴（渐近线斜率）：； 4.几何条件转化公式（焦点三角形为直角三角形）： 椭圆（）：（特殊情况）； 双曲线（）：（范围推导）. 四、易错点 1.椭圆与双曲线的范围混淆（如双曲线误判为）； 2.齐次关系转化错误（如椭圆，误算为）； 3.双曲线渐近线与的关系推导错误（焦点在轴时误用）； 4.几何条件转化为关系时出错（如焦点三角形为直角三角形时，勾股定理应用错误）； 5.求的范围时，不等式推导不严谨（如忽略“曲线上存在点”的条件）. 知识点9：圆锥曲线的综合应用 一、基础知识 综合核心：融合圆锥曲线方程、几何性质、直线与曲线位置关系，解决定点、定值、最值、存在性问题； 核心工具：韦达定理（设而不求）、弦长公式、点到直线距离公式、判别式（保证相交）、双曲线渐近线（判断位置关系）； 常见场景：直线与椭圆/双曲线/抛物线相交形成的弦长、中点、斜率问题，结合定点定值推导或最值求解。 二、核心概念 定点问题：直线或曲线过某固定点，与参数（如斜率、截距）无关，解题关键是“特殊值法找定点+代数证明消参”； 定值问题：表达式（如斜率乘积、面积、向量数量积）的值与动点或参数无关，解题关键是“变量代换+化简消参”； 存在性问题：判断是否存在满足条件的点、直线或参数，解题关键是“假设存在+列方程/不等式求解+验证合理性”； 双曲线特有关联：综合题中常结合渐近线判断直线与双曲线的交点个数，避免漏解. 三、公式 1.韦达定理：联立，消去得（），则，； 2.弦长公式：（为直线斜率），无斜率时； 3.点到直线距离公式：点到直线的距离； 4.三角形面积公式（弦与点构成）：（为到直线的距离）； 5.双曲线渐近线与直线平行判断：直线斜率（焦点在轴）或（焦点在轴）时，与双曲线无交点. 四、易错点 1.联立直线与曲线方程时计算错误（移项、合并同类项失误），导致韦达定理应用失误； 2.忽略判别式（直线与曲线相交的前提），导致参数范围扩大或无解； 3.定点证明时未消去所有参数（残留斜率、截距等参数），导致结论不成立； 4.最值问题中未验证“等号成立条件”（如均值不等式、三角形不等式的适用条件）； 5.存在性问题中漏解（如直线斜率不存在的情况未讨论，双曲线与直线相交时漏判单支/两支交点）； 6.双曲线综合题中未结合渐近线判断直线位置关系，导致交点个数误判； 7.弦长公式中忽略“直线斜率不存在”的特殊情况，导致公式误用； 8.计算距离或面积时，坐标代入错误（如点到直线距离公式中符号处理失误）. 题型一 求圆锥曲线的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 适用场景：已知动点满足的几何条件（距离、比例、角度等），求动点轨迹方程 核心思路：几何条件代数化，结合曲线定义简化推导 答题模板： 1.建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为，明确已知定点、定直线的坐标/方程； 2.转化条件：将题目中的几何条件（如“距离比为2”“到两定点距离和为定值”）翻译为含的代数表达式： 距离关系：用两点间距离公式； 定义特征：若满足椭圆/双曲线/抛物线定义，直接判定曲线类型； 3.化简方程：整理代数表达式，消去根号、平方项，化为标准轨迹形式（椭圆、双曲线、抛物线或直线）； 4.验证完整性：排除不符合条件的点（如定义域限制、轨迹退化情况），注明轨迹范围. 【典例1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【变式1】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2】（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 . 【答案】 （且） （且） 【分析】根据等腰三角形的定义及两点间距离公式可得所以，由圆的定义可知点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且），即可求解答题空1；根据线段垂直平分线定义可知.分点Q在线段的延长线上和点Q在线段的延长线上两类讨论，数形结合分析可得，结合双曲线的定义即可求解动点Q的轨迹方程，即可求解答题空2. 【详解】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 【变式3】（25-26高二上·广东惠州·期中）（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 【答案】（1） ；（2）. 【分析】（1）连接，根据题意，，由椭圆的定义知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆即可求解； （2）根据，利用向量坐标运算，得出坐标间的关系，由转移法求出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）连接，根据题意可得：， 则， 故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为， 可知，，则， 所以点Q的轨迹的方程为； （2）由题意可知：，， 设点，，则，， 因为，则，可得， 而点在椭圆C上运动，则，即， 所以点N的轨迹方程为. 题型二 求圆锥曲线的标准方程 答｜题｜模｜板 适用场景：已知焦点位置、离心率、过定点、渐近线等条件，求椭圆/双曲线/抛物线的标准方程 核心思路：先定曲线类型与位置，再用条件求参数 答题模板： 1.判断曲线类型与位置： 椭圆/双曲线：由“焦点在x轴/y轴”“正项符号”“渐近线方向”确定位置； 抛物线：由“开口方向”确定位置（如过焦点则开口向右）； 2.设标准方程： 椭圆（焦点在x轴）：； 双曲线（焦点在x轴）：，渐近线； 抛物线（开口向右）：； 3.列条件求参数：根据已知条件（如离心率、过定点、渐近线斜率）列方程（组）： 椭圆：；双曲线：；抛物线：由焦点/准线确定； 4.代入得方程：求解参数，代入所设方程，化简为标准形式； 5.验证合理性：检查参数是否满足限制条件（如、）. 【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义得， ，然后在和中，利用勾股定理得，，即可求解椭圆方程. 【详解】连接，由椭圆的定义有， ， 因为，所以， 在中，，即，解得， 在中，，即， 所以，解得，所以， 所以椭圆的方程为即. 故选：B    【典例2】（2023·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案． 【详解】如图，连接，设准线与轴交点为    抛物线的焦点为，准线： 又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形， 所以， 所以在中，，则，所以抛物线的方程为. 故选：C. 【典例3】（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解. 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，设，，，根据同角三角函数关系求得，，由正弦定理可得，，，由得，，，从而根据双曲线的定义求解即可. 【详解】如图： 由题可知，点必落在第四象限，， 设，，，由，则得， 因为，所以，求得，即，， 由正弦定理可得：， 则由得，，由，得， 则，，，， 由双曲线的定义可得：，，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 【变式3】（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 题型三 由圆锥曲线方程求基本量 答｜题｜模｜板 适用场景：已知椭圆/双曲线/抛物线的标准方程，求、焦点坐标、准线方程等 核心思路：对照标准方程，提取参数，利用数量关系计算 答题模板： 1.识别曲线类型与位置：由方程形式判断是椭圆/双曲线/抛物线，确定焦点轴（椭圆/双曲线）或开口方向（抛物线）； 2.提取核心参数： 椭圆：，，； 双曲线：，，； 抛物线：为一次项系数的一半（符号由开口方向决定）； 3.计算目标量： 离心率（椭圆/双曲线）； 焦点坐标：椭圆/双曲线（）或（），抛物线（）等； 准线方程：椭圆/双曲线，抛物线等； 4.规范作答：按题目要求列出所求基本量，避免参数混淆. 【典例1】（24-25高二上·山东临沂·期中）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标以及椭圆的基本参数，再利用余弦定理求出与的关系，然后通过向量关系求出. 【详解】对于椭圆，可得，. 可求出，所以焦点，. 设，，在中，根据余弦定理. 已知，，则. 又因为点在椭圆上，根据椭圆的定义， 将展开得. 用减去可得： 即则. 代入中，可得. 因为，所以. . 则， 所以. 故选：A. 【典例2】（24-25高三上·湖南永州·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点， 由题意有，， 又是中点， 所以， 故选：B. 【典例3】（2023·河北保定·一模）写出过抛物线上的点且与圆相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或（写出其中一个即可） 【分析】由已知求出点或.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程. 【详解】由题意可知，，解得， 所以，点或. 又圆的圆心，半径. ①当点时 当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为， 即. 因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离， 即， 整理可得，，解得， 代入直线方程整理可得，直线方程为. ②当点时 当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为， 即. 因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离， 即， 整理可得，，解得， 代入直线方程整理可得，直线方程为. 综上所述，直线方程为或或. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 【变式2】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 【变式3】（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】先根据椭圆的标准方程确定的值，判断的形状，确定共线，再根据椭圆的定义求的周长. 【详解】如图：    由椭圆方程可知，，. 所以， 所以为等边三角形， 因此的中垂线过， 结合椭圆的定义，可得周长. 故选：C 题型四 圆锥曲线上的点到焦点的距离问题 答｜题｜模｜板 适用场景：已知圆锥曲线方程和曲线上一点坐标，求该点到焦点的距离（焦半径） 核心思路：直接套用焦半径公式，或用定义转化（抛物线优先） 答题模板： 1.确定曲线类型与焦点位置：由方程判断椭圆/双曲线/抛物线，明确焦点坐标（如椭圆右焦点）； 2.提取关键信息：记曲线上点为，找出参数； 3.选择公式计算： 椭圆（焦点在x轴）：右焦点，左焦点； 双曲线（焦点在x轴）：右焦点，左焦点； 抛物线（开口向右）：（定义转化：到焦点距离=到准线距离）； 4.验证结果：确保距离为非负值（双曲线焦半径需加绝对值）； 5.写结论：规范写出距离值. 【典例1】（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 【典例2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 【典例3】（25-26高三上·河南安阳·月考）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 【答案】 【分析】若垂直于准线于，易得，从而有、，令，，应用余弦定理列方程求参数，注意即可得. 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故，    所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的方程求出焦点，然后计算，可知轴，故由勾股定理求解即可. 【详解】由题意可知，，所以． 因为抛物线的通径长为，所以轴， 所以． 故选：D 【变式2】（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C上的一点，且，则 ． 【答案】8 【分析】运用双曲线定义解题即可. 【详解】若点P在双曲线C的左支上，则，与矛盾，则点P在双曲线C的右支上. 由双曲线的定义可得，则． 故答案为：8. 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 【答案】D 【分析】根据对称可得，．设点．由两点间的距离公式转化求解的表达式，然后根据椭圆范围求解取值范围． 【详解】如图所示，点在轴右边，    因为为的垂直平分线，所以，． 由中位线定理可得． 设点．由两点间的距离公式， 得 ， 同理可得， 所以，故， 因为，，所以，故， 所以． 因为，所以，故的取值范围为． 故选：D． 题型五 圆锥曲线上的点到焦点与定点的距离和差问题 答｜题｜模｜板 适用场景：求圆锥曲线上一点到焦点与定点的距离和最小值、距离差最大值 核心思路：用曲线定义转化距离，结合“三点共线”“垂线段最短”求最值 答题模板： 1.分析距离关系：明确题目是“距离和”还是“距离差”，标注焦点、定点的坐标； 2.定义转化： 椭圆：，将“”转化为“”； 双曲线：，将“”转化为“”； 抛物线：（为到准线距离），将“”转化为“”； 3.找最值条件： 距离和最小值：椭圆/双曲线中“三点共线”，抛物线中“过作准线垂线，垂足与重合”； 距离差最大值：双曲线中“三点共线”（差为）； 4.计算最值：代入坐标计算线段长度，得出最值； 5.写结论：注明取最值时的点的位置（可选）. 【典例1】（25-26高二上·天津北辰·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点间距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：D. 【典例2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 【典例3】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义得，设圆的圆心为，半径为，当三点共线时，最小，即，进而得当三点共线时，最小，即可求解. 【详解】由题意有：抛物线的焦点为，准线方程为：， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 所以， 设圆的圆心为，半径为，则， 当三点共线时，最小，此时， 所以， 所以当三点共线时，最小，所以， 所以. 故选：B.    【变式1】（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 【变式2】（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用数形结合，结合椭圆的定义，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】由条件可知椭圆中，，圆的圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，， ， 如图，当点三点共线时，最小，最小值是， 所以的最小值是， 所以的最大值是. 故选：B 题型六 圆锥曲线焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 适用场景：椭圆/双曲线上一点与两焦点构成三角形，求边长、角度、面积或参数关系 核心思路：定义+余弦定理+面积公式，联动 答题模板： 1.明确已知条件：记焦点、，曲线上点，已知条件（如、）； 2.用定义列关系式： 椭圆：（）； 双曲线：； 3.用余弦定理建立方程：，结合定义式消去； 4.求解目标量： 求面积：椭圆，双曲线； 求角度：由推导； 求离心率：结合，由与的关系推导； 5.验证合理性：确保角度/边长符合曲线范围（如椭圆）. 【典例1】【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABD 【分析】设点，则，利用平面向量的坐标运算以及模长公式可判断A选项；利用余弦定理结合椭圆定义、基本不等式可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设点，则，且，、， ， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故A正确； 对于B选项，设，，其中， ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为，故B正确； 对于C选项，由B选项可知，可得， 所以，，故C错误； 对于D选项，由题意可知，则，故D正确. 故选：ABD. 【典例2】【多选题】（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和，进而可依次求出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式得的周长、结合正弦定理得的外接圆半径. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点，则由题， 且，， 又 ，A选项正确； 由选项A得，连接、、，则， 所以，B选项错误； 同理，， ， ， 所以由焦三角面积公式得， 又，故得， 的周长为，选项正确； 由， 由正弦定理得，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、的周长、的外接圆半径的关键是根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和. 【典例3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义和切线长定理推出的横坐标为，再由圆的性质求得内心的坐标为，再利用点斜式求解方程即可. 【详解】如图所示，可设、，设内切圆与轴的切点是点， 、与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，， 故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为， 故，解得. 由双曲线得，，， 因为内切圆与轴相切，所以内切圆的半径为3， 而轴，得到，即，而， 则，可得方程为， 整理得，故D正确. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则下列结论中正确的个数为（    ） ①时，满足的点P有2个； ②时，满足的点P有4个； ③的周长等于4a； ④的最大值为. A．① B．①② C．①③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题需依次分析椭圆中四个关于焦点三角形的命题，涉及椭圆的几何性质、焦点三角形的角、周长、面积等知识点，需结合椭圆的定义、余弦定理、基本不等式等进行推理判断. 【详解】当时，，则，此时以为直径的圆与椭圆有两个交点而且为短轴端点，所以当点P为短轴端点时，满足，所以点P有2个，①正确； 以为直径的圆与椭圆的交点个数即为满足条件的点P的个数，当时，，所以，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，所以点P有4个，②正确； 焦点三角形的周长等于，则③错误； 因为，所以，则④正确. 正确的个数为：①②④ 故选：D 题型七 根据圆锥曲线的有界性求范围或最值 答｜题｜模｜板 适用场景：求圆锥曲线相关参数（斜率、截距）或代数式（、）的范围/最值 核心思路：利用曲线自身范围+函数/不等式法，转化为单变量问题 答题模板： 1.选择求解方法： 函数法：椭圆/双曲线用参数方程（如椭圆），抛物线用代数代换； 判别式法：直线与曲线相交，联立方程得； 不等式法：均值不等式、三角函数有界性（）； 2.转化为单变量函数： 例：求椭圆上的最值，设，则； 3.求范围/最值： 三角函数法：，最值为； 判别式法：联立与曲线方程，由得； 4.结合曲线自身范围： 椭圆：；双曲线：（焦点在x轴）； 5.写结论：规范写出范围（如）. 【典例1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 【典例2】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 【典例3】（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 【变式1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案. 【详解】由题意知,设，则, 所以当时,，又因为圆的半径为1，所以. 故选：B.    【变式2】（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则， 故， 又，故， 又，故当时，取得最小值，且其没有最大值， 故的最小值为，无最大值. 故选：D 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算可得，再由椭圆可知，即可得结果. 【详解】因为，圆心，半径为1，则， 可得， 由椭圆方程可知：，即恰为椭圆的右焦点， 则，所以. 故选：A. 题型八 求圆锥曲线的离心率的值或范围 答｜题｜模｜板 适用场景：已知椭圆/双曲线的几何条件（如焦点三角形、渐近线、直线与曲线位置关系），求离心率或其范围 核心思路：找到的齐次关系，转化为的方程/不等式（） 答题模板： 1.明确曲线类型：判断是椭圆（）还是双曲线（），确定的数量关系（椭圆，双曲线）； 2.转化几何条件：将题目条件（如“焦点三角形为直角三角形”“渐近线斜率为2”）转化为的齐次关系（比例式或等式）： 代数条件：直接用（为已知比例）代入数量关系； 几何条件：用余弦定理、勾股定理建立的等式； 位置关系：直线与曲线相切则，推导的关系； 3.构建的方程/不等式： 求的值：将代入，化简得（如椭圆）； 求的范围：由齐次关系列不等式，转化为的不等式（如双曲线）； 4.求解并验证：解方程/不等式，结合的固有范围（椭圆，双曲线）取舍. 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据条件可得，再利用条件可得，即可求解. 【详解】因为，不妨设，则， 整理得到，所以，又，所以， 整理得到，所以，解得或（舍）， 故选：B. 【典例2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由等面积法得到，再由，得到，再结合，转化为关于的不等式，即可求出的范围. 【详解】设，则的面积为． 因为的内切圆半径为，又， 所以的面积可表示为， 所以，则． 又因为，所以． 两边平方得，而，所以， 整理得，两边同时除以，得， 解得，又，故，即椭圆的离心率的取值范围是． 故选：A 【典例3】（25-26高三上·江苏南通·期中）设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的对称性得到，然后根据双曲线的定义列方程，得到，，最后利用余弦定理列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线的对称性得到，， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，则，， 又因为为直角三角形，所以， 所以，解得， 所以， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．或2 【答案】D 【分析】分别讨论和两种情况，将方程变为标准方程，可得表达式，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】当时，双曲线方程变形为，则， 所以离心率. 当时，双曲线方程变形为，则， 所以离心率 故选：D 【变式3】（25-26高二上·安徽安庆·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在中，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】设， 因为，则， 由椭圆的定义可得，， 因为，即， 在中，则，即， 解得，可得， 在△中，可得，即，整理得， 所以椭圆E的离心率为. 故选：B． 题型九 圆锥曲线的第三定义/点差法 答｜题｜模｜板 适用场景：涉及椭圆/双曲线的中点弦问题（已知弦中点求斜率、已知斜率求中点）.. 核心思路：第三定义（斜率乘积定值）或点差法（设点代入作差），规避联立方程的复杂计算 答题模板： 子模板1：第三定义（椭圆/双曲线） 1.明确第三定义内容： 椭圆：若为椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上任意一点，则； 双曲线：同理，. 2.关联中点弦：若为弦的中点，则（原点与中点连线）与的斜率乘积满足第三定义：（椭圆）或（双曲线）. 3.代入求解：已知中点则求，已知则求中点坐标； 4.验证合理性：确保中点在曲线内部（椭圆，双曲线）. 子模板2：点差法（通用） 1.设点代入：设弦的端点为、，中点为，代入曲线方程： 椭圆：，； 2.作差化简：两式相减，利用平方差公式分解： 3.代入中点与斜率：由、，，化简得： 4.求解目标量：代入已知条件（中点坐标或斜率），计算所求值. 【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点差法化简即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，， 则， 由直线过与的中点，则， 由，相减得， 即， ∴， 又，∴，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B 【典例2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【详解】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 【典例3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）过直角顶点的两直角边交抛物线于两点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设，利用已知及直径圆方程列式化简即可求解轨迹方程. 【详解】设， 由已知及直径圆方程得 将⑤式变形得， 将③④式代入得， 整理得，即．⑥ ①式变形得，⑦ ②式平方得．⑧ ⑧-⑦得．⑨ ⑨式和②式均代入⑥式得，的轨迹方程为． 【变式2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案. 【详解】（1）因为，，得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.    【变式3】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，可得椭圆的方程． 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故选：C. 题型十 圆锥曲线的焦半径及焦点弦长公式 答｜题｜模｜板 一、焦半径公式（曲线上点，，） 1.椭圆（，） 焦点在x轴：左焦点，右焦点；角度式（x轴焦点）： 焦点在y轴：上焦点，下焦点；角度式（y轴焦点）： 2.双曲线（，） 焦点在x轴：右支、；左支取绝对值；角度式： 焦点在y轴：上支、；下支取绝对值；角度式： 3.抛物线 开口右：，角度式 开口左：，角度式 开口上：，角度式 开口下：，角度式 二、焦点弦长公式（弦过焦点，端点、） 1.椭圆 坐标式：x轴焦点，y轴焦点 角度式：x轴焦点，y轴焦点 通径： 2.双曲线 坐标式：x轴焦点 角度式：（不含渐近线方向） 通径： 3.抛物线 坐标式：开口左右，开口上下 角度式：开口左右，开口上下 通径： 答题步骤 1.定曲线+焦点/开口方向，提取； 2.按已知条件（点坐标/倾斜角）选坐标式/角度式； 3.未知用韦达定理求，角度直接代公式； 4.双曲线取绝对值，抛物线避禁区（如开口右）； 5.化简得结果. 【典例1】．（23-24高二下·安徽·月考）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记与圆相切于点，，，，即可推出，从而得到的周长为，即可求出、，从而求出离心率. 【详解】首先证明椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离，（焦半径公式）； 证明：因为、， 所以 ； 同理可得； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，； 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得，故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率. 故选：D 【典例2】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则， 同理， 因为，则， 故答案为：. 【典例3】【多选题】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 【变式1】【多选题】（25-26高二上·河南新乡·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（    ） A． B． C．的面积是 D． 【答案】ABD 【分析】根据焦点坐标计算求解得出进而判断A，D，再应用圆的性质及三角形面积计算判断B，C. 【详解】由题意知，，，直线l的方程为，直线AB的方程为. 由消去y，整理得，解得或. 因为圆F与准线l相交，所以，所以点A的横坐标，所以，， 所以，，，故A正确. 因为，所以由圆的对称性可知，，所以，，故B正确. 由圆的对称性可知，点，所以. 因为，所以点B到直线l的距离， 所以的面积，故C错误. 由以上分析可知，，所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【答案】8 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 故答案为：8. 【变式3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 题型十一 圆锥曲线性质的综合应用 答｜题｜模｜板 适用场景：选择题/填空题，考查圆锥曲线性质辨析、最值速算、参数范围/求值（无需复杂联立） 核心思路：优先用定义、几何意义、第三定义、参数方程，规避大题复杂步骤 答题模板： 1.定位考点：快速判断考查核心（如离心率、渐近线、最值、参数关系）； 2.选解题技巧： 性质辨析：直接套用核心概念（椭圆、双曲线，渐近线与关系）； 最值/范围：椭圆用参数方程（）转化为三角函数有界性，抛物线用“到焦点距离=到准线距离”转化； 参数求值：第三定义（斜率乘积定值）、焦点三角形面积公式、通径公式直接代入； 3.简化计算：小题不纠结过程，优先用特殊值（如）、极端情况（如弦垂直焦点轴）验证； 4.验证结果：结合曲线固有范围（如椭圆）排除错误选项. 易错点提醒： 用特殊值时忽略“特殊情况是否通用”（如双曲线仅右支的参数范围）； 混淆不同曲线的核心性质（如椭圆与双曲线的离心率范围）. 二、跨模块综合类（直线与圆+平面向量+圆锥曲线） 子题型1：直线与圆+圆锥曲线 适用场景：涉及圆的切线、圆心距、圆与圆锥曲线交点，结合直线斜率/截距考查 核心思路：先利用圆的性质转化条件，再关联圆锥曲线公式 答题模板： 1.提取圆的关键信息：圆心、半径，明确圆的条件（如切线：圆心到直线距离；弦长：）； 2.转化直线条件：将圆的条件转化为直线参数（斜率、截距）的方程（如切线：）； 3.关联圆锥曲线： 若考离心率：用直线参数（如渐近线与圆相切）推导齐次关系，求； 若考最值：用圆心距、圆锥曲线范围联合求（如圆上点到椭圆焦点的距离最值）； 4.简化计算：小题优先用几何意义（如“圆心-焦点-曲线上点”三点共线求最值）. 易错点提醒： 忽略直线斜率不存在的情况（如垂直x轴的切线）； 圆心距公式代入坐标错误. 子题型2：平面向量+圆锥曲线 适用场景：向量共线、数量积、中点向量，结合圆锥曲线点坐标、斜率、范围考查. 核心思路：将向量条件转化为坐标关系，再结合圆锥曲线性质解题. 答题模板： 1.向量条件转化： 数量积：（垂直）；坐标代入化简； 共线：（斜率相等）； 中点：（关联点差法）. 2.结合圆锥曲线： 代入曲线方程：将坐标关系代入椭圆/双曲线/抛物线方程，提取的关系； 求斜率/范围：用第三定义、点差法快速求中点弦斜率，或用判别式求参数范围； 3.小题速算：优先用特殊点（如原点、焦点）验证，避免联立方程. 易错点提醒： 向量坐标转化时符号错误（如误写为）； 数量积为0与“垂直”等价关系混淆（仅平面直角坐标系中成立）. 子题型3：椭圆/双曲线/抛物线跨曲线综合 适用场景：不同圆锥曲线的交点、性质关联（如椭圆与抛物线共焦点，双曲线与椭圆共渐近线）. 核心思路：抓共通条件（焦点、参数、交点），联立核心公式求解. 答题模板： 1.找共通条件： 共焦点：椭圆与双曲线相等；椭圆与抛物线（抛物线开口右）； 共参数：双曲线与椭圆共或，抛物线与双曲线共渐近线斜率； 共交点：联立两曲线方程，求交点坐标（小题可代特殊值）； 2.联立公式求解： 共焦点问题：用建立的关系，求离心率或标准方程； 共交点问题：联立方程后用判别式判断交点个数，或代入其中一条曲线的性质求参数； 3.验证合理性：结合各曲线参数限制（如椭圆、抛物线）排除无效解。 易错点提醒： 跨曲线联立方程时计算错误（优先消去二次项简化）； 忽略不同曲线的参数定义差异（如双曲线为虚半轴，与椭圆意义不同）. 【典例1】【多选题】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 【答案】BCD 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故B正确；    对于C，在中，， 若，则， 当为通径时，，当为长轴时，， 所以，此时满足，故C正确； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BCD. 【典例2】【多选题】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（    ）． A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意作图，利用双曲线性质和给定条件，解出，利用三角形边角关系解出；从而依次对各选项内容进行计算和判断，选项A，B，根据双曲线性质，实轴长为，离心率；选项C:根据面积等于的面积减去的面积计算；选项D：根据三角形边角关系得出，且共线且方向相同，得出. 【详解】 已知H是过作C的一条渐近线的垂线l的垂足，其渐近线方程为：，， 根据点到直线距离公式，，. 过点向做垂线，垂足为Q，因为，所以， 又O为中点且，则. 由，可得，， 在中，，解得， 又 所以：实轴长，故A对；离心率，故B错； 的面积， ， 所以，故C对. 中，，，为中点， 为中点，即， 又，， ，又共线且方向相同，，故D对. 故选：ACD. 【典例3】【多选题】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知抛物线的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当点P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 【答案】BCD 【分析】通过圆心到准线的距离来判断A；联立直线与抛物线的方程，根据弦长公式求解判断B；求出P的坐标，进而得出切线长判断C；设出点P的坐标，建立方程并确定其解的情况判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为， 的圆心到直线的距离为1，大于圆的半径， 因此准线和相离，故A错误； 对于B，由，，则直线的方程为，即， 联立，得， 设直线与抛物线相交于点， 则，所以过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为，故B正确； 对于C，当三点共线时，即，则的纵坐标，横坐标， 即，此时切线长，故C正确； 对于D，设，由可得，又，， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，故D正确. 故选：BCD. 【变式1】【多选题】（2025·江苏·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 【变式2】【多选题】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 【变式3】【多选题】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．直线的斜率为 D．的面积为 【答案】ABC 【分析】利用双曲线的定义求出、，可判断A选项；在中，应用余弦定理可得出关于、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断D选项；利用点差法求出直线的斜率，可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，所以， 由双曲线的定义可得，所以，，所以选项A正确； 对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为钝角且， 由可得，则， 在中，由余弦定理得， 即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，所以选项B正确； 对于D选项，因为，则为锐角， 所以， ，所以选项D错误； 对于C选项，设，，则，可得， 因为，则， 由，得， 所以，则， 则直线的斜率为，所以选项C正确； 故选：ABC． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据结合抛物线方程得到点，进一步得到点，然后可得直线方程. 【详解】由题可知：抛物线的准线方程为，设， 由，，所以，所以或， 所以或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：A 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线定义，可得进而求得点的坐标，得点坐标，利用斜率公式得解. 【详解】由题，，则，代入抛物线方程得， ，又， . 故选：C. 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 4．（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得，然后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题设得，所以. 故选：B． 5．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，进而求离心率. 【详解】由题设，且，则， 所以. 故选：B 6．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 7．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 8．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 9．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， 故选：D 二、多选题 10．（2024·山东济南·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 三、填空题 11．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 【答案】12 【分析】原条件转换为取得最小值10，由此即可列方程求解. 【详解】设点M在C的准线上的射影为D，则，要使取最小值，即取得最小值， 当D，M，P三点共线时，取得最小值，由，得. 故答案为：12. 12．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程. 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 期末重难突破练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答. 【详解】双曲线的渐近线，右焦点， 依题意，解得，因此抛物线的焦点也为， 所以，解得，所以抛物线的方程为，其准线为， 由，消去并整理得：，， 即直线与抛物线相离， 过点作于点交抛物线于点， 过作于点，交直线于点， 则有 ， 在抛物线上任取点，过作于点，作于点， 交准线于点，连，如图， 显然，， 当且仅当点与点重合时取等号， 所以抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可. 2．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为第一象限的交点，，，由椭圆、双曲线定义可得，，结合余弦定理、离心率公式可得，由不等式及其取等条件即可求解. 【详解】设为第一象限的交点，，， 则，，解得，， 在中，由余弦定理得， ，， ，，， ，即， 当且仅当，即，时等号成立，此时， 故选：D． 3．（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解. 【详解】 根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以， 所以，由是的中位线， 可得，所以，解得， 所以的离心率为. 故选：B. 二、多选题 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点的坐标，根据抛物线的定义可得可判断C的真假；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将条件转化成坐标代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图， 对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为， 所以，，抛物线，焦点，故A正确； 对于B，根据抛物线的定义，，所以， 当三点共线时等号成立，取得最小值，故B正确； 对于C，记准线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以. 根据抛物线的定义：，，所以，故C错误； 对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即. 代入抛物线得，整理得. 设则， 由，点在第一象限，得.解得，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高三下·广西·期中）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（    ） A． B．当时， C．若点的坐标为，则周长的最小值为8 D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据题意得抛物线的焦点的坐标，求得的值即可判断A；联立直线与抛物线由韦达定理求得，再根据焦点弦公式可求得即可判断B；过点作准线的垂线，垂足为，先求得，再利用抛物线的定义结合“三角形两边之和大于第三边”得周长即可判断C；设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义结合相似三角形知识得到，从而得到即可判断D. 【详解】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确； B选项，当时，联立得，所以B选项错误； C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确； D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，， 根据三角形相似得，所以， 所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确. 故选：ACD. 6．（24-25高二上·福建宁德·期末）已知A为双曲线上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（   ） A．若，则 B．若，则的面积为2 C． D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】由，可得四边形为矩形，进而可判断选项A；结合双曲线的定义、勾股定理和三角形面积公式即可判断选项B；在中，得到的表达式，结合渐近线方程即可判断选项C；易知，当且仅当时，取到最小值，最小值为4，此时可判断选项D. 【详解】 设双曲线右焦点为，根据双曲线是中心对称图形可知四边形为平行四边形， 因为双曲线C的方程为，所以，，， 对于选项A：因为，所以， 即四边形为矩形，则，故选项A正确； 对于选项B：由双曲线定义可知：，又， 若，此时四边形为矩形， 则，所以， 即，解得，所以， 则，故选项B错误； 对于选项C：在中，， 易知双曲线的渐近线方程为，所以， 此时，即，故选项C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当时，取到最小值，最小值为4，故选项D正确． 故选： 7．（24-25高二下·云南红河·期末）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为的中点，为上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为6 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，由离心率计算公式即可判断，对于B，求出椭圆上的点对两焦点张角的最大值，即可判断，对于C，由两点间距离公式结合二次函数即可判断，对于D，，再结合C即可判断. 【详解】 对于A，由题知，，所以椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，设上顶点为，，即，所以， 所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，设，由题知，，所以， 所以， 所以当时，，故C正确； 对于D，， 由C选项得， 所以当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以，解得，A正确． 因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确． 的最小值为，C错误． 因为， 当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确． 故选：ABD 三、填空题 9．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点且与轴垂直的直线与在第一象限交于点，直线与的渐近线在第一象限交于点，若是的中点，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线方程求得，，利用中点坐标公式求得，结合点在渐近线方程上，可求得离心率. 【详解】由双曲线，可得右焦点，右顶点， 过过点且与轴垂直的直线方程为，代入双曲线方程可得， 解得，又因为点在第一象限，故， 因为是的中点，所以由中点坐标公式可得， 直线与的渐近线交于点，又渐近线方程， 所以，所以，两边平方得， 所以，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意与的中点重合，若且，，结合已知有，，进而有，再应用点差法得到，联立所得各式求参数，即可得直线方程. 【详解】由，易知与的中点重合，若且， 令，则，即， 所以且， 令，则，作差得， 所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】由题设易得，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值，进而得解. 【详解】因为短轴长是长轴长的，故， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，， 则的周长等于， 其中， 则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，得， 又，故， 设，则， 故， 解得，故， 则的周长为． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把问题转化成抛物线上的点到焦点的距离与到定直线的距离之和的最小值问题，再结合抛物线的定义求解. 【详解】如图： 根据题意，的几何意义为点与点之间的距离， 分析可得点在抛物线上，点在直线上， 抛物线的焦点，准线为，过作轴的垂线，交轴于点，交与点. 所以的几何意义为. 由. 过作直线的垂线，垂足为，交抛物线与点. 则（当与点重合，与点重合时取等号） 故选：B 2．（24-25高二上·江苏泰州·期末）图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线（其中为正数）的一部分（图2）．若是曲线上的一点，且，过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1．若，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由整理可得，所以曲线可由双曲线和双曲线组成，分别将过点斜率为和的直线与双曲线方程联立，解出点坐标，再根据两点的距离公式求解即可. 【详解】由整理可得，所以， 所以曲线可由双曲线和双曲线组成，且这两个双曲线的渐近线斜率均为， 因为是曲线上的一点，且，所以点在第一或第三象限， 根据对称性，不妨设点在双曲线上，且在第一象限，此时， 因为过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1， 所以另一条直线的斜率为，点在双曲线上，不妨令，， 过点斜率为的直线方程为， 与联立得，解得， 将代入整理得，所以，即， 过点斜率为的直线方程为， 与联立得，解得， 将代入整理得，所以，即， 所以 ， 解得， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将曲线转换成熟悉的双曲线方程，再根据点坐标和斜率设出直线方程与双曲线方程联立，解出坐标，进而即可求解. 3．（24-25高二上·四川乐山·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解. 【详解】如图： 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 所以椭圆的蒙日圆C的半径为. 因为，所以为蒙日圆的直径， 所以，所以. 因为， 当时，等号成立. 所以面积的最大值为：. 由面积的最大值为25，得，得， 进而有，， 故椭圆的长轴长为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于借助基本（均值）不等式分析在何时取得最大值. 二、多选题 4．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知曲线C：，直线，，，为C上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为2 B．当时，C上有且仅有两个点到的距离为1 C．若曲线C与有两个不同的交点，则 D．当时， 【答案】ACD 【分析】分析得到曲线C的轨迹，并画出图形，数形结合依次分析四个选项，得到答案. 【详解】A选项，若，则， 此时曲线为焦点在轴上的双曲线的一部分，其中为其渐近线， 若，则，此时曲线为单位圆的一部分， 若，则，无解，此时不合要求， 当则， 此时曲线为焦点在轴上的双曲线的一部分，其中为其渐近线， 画出曲线C：如下： 由于，与平行， 故取的中点，直线与垂直，且与（）交于点， 此时点与点重合时，到的距离最大，所以面积的最大， 其中直线为， 联立与（）得，故， 点到直线的距离为， 又，故的面积最大值为，A正确； B选项，当时，， 由A知，到的距离为， 由于为到的距离最大，所以C上有且仅有1个点到的距离为1，B错误； C选项，当过点时，， 且此时与相切，只有1个交点， 又为曲线C的渐近线，此时， 结合图形，可知若曲线C与有两个不同的交点，则，C正确； D选项，当时，此时位于（）上， 故到焦点的距离减去到焦点的距离差为， 故，D正确. 故选：ACD 5．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”．其来源于雅各•伯努利仿照椭圆的定义稍做改动．他是这样定义双纽线的：在平面内，设两定点、之间距离为，则到两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做双纽线．按照如图所示坐标系研究此曲线，下列说法正确的是（   ）      A．若，则的方程为 B．若上的点到两定点、的距离之积为，则点在上 C．若点在上，则 D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 【答案】ACD 【分析】求出曲线的方程，可判断A选项；求出的值，可得出曲线的方程，利用点与曲线方程的关系可判断B选项；由可判断C选项；化简曲线的方程，利用三角形的面积公式求出的值，然后代入曲线的方程可求出点的轨迹方程，可判断D选项. 【详解】在曲线上任取一点，易知、， 由，即， 整理可得， 即，化简得， 对于A选项，若，则， 此时，曲线的方程为，即，A对； 对于B选项，若上的点到两定点、的距离之积为，则， 此时，曲线的方程为， 因为，故点不在曲线上，B错； 对于C选项，若点在上，则，可得，故，C对； 对于D选项，当时，则，设点，由题意可得，， 则，可得， 曲线的方程为， 将点的坐标代入曲线的方程可得， 整理可得，可得，因为，解得， 故当时，上第一象限内的点满足的面积为，则，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 三、填空题 6．（24-25高二上·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 . 【答案】 【分析】作出图形，延长、交于点，连接，由光线反射可得出，且为的中点，结合中位线的性质和椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出该椭圆的焦距. 【详解】如下图所示： 不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接， 延长、交于点， 由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点， 又因为为的中点，则， 所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用光线反射结合椭圆的定义、中位线的性质计算出的值，结合已知条件以及、、的关系求解. 7．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的 ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 【答案】②③ 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标法或直接运用几何定义法来研究动点轨迹，然后再进行判断即可. 【详解】 对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为， 对于A，，，，则 ，则，即 此时仅有，所以的轨迹是一个点，故①错误； 对于②，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为， 过向作垂线，垂足为，由于， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 若到直线，距离相等，即， 因为，所以， 则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确， 对于③，若到直线，距离相等，面， 面， 所以，所以到直线的距离为到点的距离， 则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故③正确； 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解. 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合对称性分析可知，则的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支，进而可得面积. 2 / 101 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $