专题03 直线和圆锥曲线的位置关系及其综合应用（期末复习讲义，13大题型精讲+过关分层验收）高二数学上学期人教B版

该高中数学复习讲义通过表格系统梳理直线与圆锥曲线位置关系的六大核心考点，按基础必考点、高频解答考点等层级划分，明确复习目标与考情规律，结合易错点分析和常考结论，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“题型+模板”设计，如弦长问题强调先验证判别式的解题规范，中点弦问题提供点差法与韦达定理双解法，培养数学思维。分层练习覆盖基础到综合拓展，助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题03 直线和圆锥曲线的位置关系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆锥曲线位置关系的判定（基础必考点） 基础目标：能熟练联立方程，准确用判别式判定椭圆、抛物线与直线的位置关系，准确率达100%. 能力目标：主动考虑“直线斜率不存在”“双曲线渐近线”等特殊场景，避免漏判、误判. 题型分布：选择题/填空题（1题，5分）+解答题第一问（铺垫作用，3-4分），总分值8-9分. 考查频率：期末必考点，无试卷例外 命题陷阱：常设“直线垂直x轴”“双曲线与渐近线平行”的干扰项，考查细节处理能力 载体偏好：椭圆（基础判定）、双曲线（特殊情况）、抛物线（斜率范围求解）. 弦长问题（高频解答考点） 基础目标：能根据曲线类型选择弦长公式，代入数据准确计算（计算失误率≤5%） 能力目标：结合三角形面积公式，解决综合计算问题. 题型分布：解答题第二问（核心得分点，4-5分），少数情况出现在填空题 考查频率：高频考点，90%以上试卷会涉及 载体偏好：椭圆（最主要，计算量适中）、抛物线（焦点弦特例常考） 得分难点：计算过程中忽略“先验证”（弦长存在的前提），导致步骤不完整扣分. 中点弦问题（中频考点） 基础目标：能独立用两种方法求解“已知中点求直线”“已知直线求中点”的基础问题 能力目标：主动验证中点弦的存在性（如判断中点是否在椭圆内部），避免“不存在的弦”的错误结论. 题型分布：选择题/填空题（1题，5分）或解答题第一问（3-4分） 考查频率：中频，60%-70%试卷会考查. 命题特点：常给出“中点坐标”“弦过定点”等条件，直接套用方法即可求解，难度中等. 易错陷阱：双曲线中点弦中，忽略“中点与原点连线平行于渐近线时无弦”的情况. 定点/定值问题（压轴高频考点） 基础目标：掌握“参数分离”“特殊值验证”的核心思路，能在提示下完成证明. 能力目标：独立分析含参数的表达式，规范书写“设参→化简→求解”的步骤，突破压轴问. 题型分布：解答题压轴问（最后1问，5-6分） 考查频率：高频，80%以上试卷以压轴形式考查 载体偏好：椭圆（最主要，性质稳定易化简）、抛物线（焦点相关定值常考） 难度梯度：前半步骤（设参、联立）较基础，后半步骤（化简消参）需技巧，区分度高. 最值/范围问题（选考压轴考点） 基础目标：能针对单一类型问题（如长度最值），选择一种方法求解 能力目标：根据题目条件灵活选择最优方法（如“面积范围”优先用函数法，“距离最值”优先用几何法），规范书写范围推导过程. 题型分布：仅部分试卷（约40%-50%）的解答题压轴问考查 考查频率：选考，非必考点 载体偏好：椭圆（最主要，几何性质易结合）、抛物线（参数范围问题常考） 得分关键：明确变量的取值范围（如椭圆上点的横坐标），避免函数求最值时忽略定义域. 综合应用（辅助考点） 基础目标：能将向量、斜率条件转化为代数等式（如转化为） 能力目标：结合弦长、中点弦等考点，解决“向量条件+长度/面积”的综合问题. 题型分布：不单独出题，作为其他考点的“附加条件”考查（如“弦长问题+向量垂直”“定点问题+斜率乘积”） 考查频率：辅助高频，几乎所有综合题都会涉及 命题特点：通过向量、斜率条件增加题目综合性，但转化难度低，核心仍在基础考点 载体偏好：椭圆（向量结合最频繁）、抛物线（斜率相关较简单）. 一、考点1：位置关系的判定（基础必考点） 1.基础知识点 判定核心逻辑：通过“直线方程与圆锥曲线方程联立→消去一个变量（如）→得到整式方程（一元一次/一元二次）→分析方程解的个数”判断位置关系. 三类整式方程处理： 一元一次方程（如联立后得，）：1个解→直线与曲线相交（特殊：双曲线中可能是与渐近线平行）. 一元二次方程（，）：通过判别式判断解的个数. 无实数解的整式方程：直线与曲线相离. 特殊场景： 直线斜率不存在（垂直轴，方程为）：直接代入曲线方程，看的解是否存在及个数. 双曲线（如）：直线与渐近线（）平行时，联立得一元一次方程，仅有1个交点（仍属相交，非相切）. 2.核心概念与公式 判别式公式（仅一元二次方程）： ：2个不同实数解→直线与曲线相交. ：1个实数解（重根）→直线与曲线相切. ：无实数解→直线与曲线相离. 双曲线渐近线方程（标准式）：的渐近线为；的渐近线为. 3.易错点 联立方程后未先判断整式方程类型（一元一次/二次），直接用判别式（如直线与双曲线渐近线平行时，得一元一次方程，无判别式，易误判为“无交点”或“相切”）. 忽略直线斜率不存在的情况（如判断“与椭圆的位置关系”，易漏代入直接用斜率分析，导致错判）. 计算判别式时符号错误（如展开时，误算为，正确应为）. 4.常考结论 椭圆（，）与直线相交的条件：（联立后化简结果，可直接用）. 抛物线（，）与直线相切的条件：（联立后化简结果）. 双曲线（）与直线有两个交点的条件：且（排除与渐近线平行的情况）. 二、考点2：弦长问题（高频解答考点） 1.基础知识点 弦长定义：直线与曲线相交，两个交点间的线段长度. 核心计算思路： 方法1：先求两交点坐标、，再用距离公式（计算量大，少用）. 方法2：联立方程得一元二次方程，用韦达定理和判别式简化计算（通用方法，必掌握）. 焦点弦特殊情况：过圆锥曲线焦点的弦（如抛物线的焦点，椭圆的右焦点），有专属简化公式. 2.核心概念与公式 通用弦长公式（直线斜率为，联立后一元二次方程，）： 推导依据：，. 公式：. 若直线斜率不存在（）：弦长（代入曲线方程得的两个解，作差取绝对值）. 抛物线焦点弦公式（，）： 若焦点弦端点为、，则. 若焦点弦斜率为，则（垂直轴时不存在，弦长，即通径）. 韦达定理公式：，（用于计算，避免求交点）. 3.易错点 计算弦长前未验证（弦长存在的前提是直线与曲线相交，无交点则无弦长，步骤不写会扣分）. 混淆“直线斜率存在/不存在”的公式（如直线与抛物线的弦长，误代入公式，正确应为直接求）. 抛物线焦点弦公式记错开口方向（如（）的焦点弦长，误用，正确应为）. 根号内计算错误（如，误算为，漏乘5到）. 4.常考结论 椭圆（）的通径（垂直长轴的焦点弦）长度：（常考最短焦点弦）. 抛物线的焦点弦性质：，（可快速计算焦点弦长或斜率）. 直线过定点与椭圆相交，弦长最大值为椭圆长轴长（当直线过椭圆中心时）. 三、考点3：中点弦问题（中频考点） 1.基础知识点 中点弦定义：过某点且以该点为中点的圆锥曲线的弦（如“以为中点的椭圆弦”）. 两种核心求解方法： 方法1：联立方程+韦达定理（普适性强，适用于所有曲线） 步骤：设直线方程（如）→联立曲线方程→得一元二次方程→用韦达定理→解出→得直线方程. 方法2：点差法（计算量小，适用于椭圆、双曲线、抛物线，需验证） 步骤：设弦端点、，中点→代入曲线方程→两式相减→用，和→推导与的关系→得直线方程. 关键验证：点差法求出直线后，需联立曲线方程验证（避免“不存在的弦”，如中点在椭圆外时无弦）. 2.核心概念与公式 点差法推导的斜率公式（核心）： 椭圆：中点弦斜率（为中点，）. 双曲线：中点弦斜率（）. 抛物线：中点弦斜率（，为中点）. 韦达定理与中点关系：，（为联立后一元二次方程二次项系数，为一次项系数）. 3.易错点 点差法求出直线后，未验证（如“求以为中点的椭圆的弦”，用点差法得直线，但代入椭圆无解，实际无此弦，漏验证会错答）. 忽略中点在曲线内部的隐含条件： 椭圆中点弦：中点需满足（在椭圆内部），否则无弦. 抛物线中点弦：中点需满足（在抛物线内部）. 点差法中分母为0的情况（如中点，椭圆点差法斜率公式分母，此时直线垂直轴，需单独设求解）. 4.常考结论 椭圆中，若中点弦过原点，则弦为椭圆直径，此时弦的斜率与端点坐标满足（为弦的一个端点坐标），且弦长最大值为（长轴）. 抛物线（）的中点弦：若弦过定点，则中点满足（推导自点差法，可直接用于求中点轨迹方程）. 双曲线中点弦不存在的特殊情况：当中点与原点连线的斜率（即平行于渐近线）时，无满足条件的中点弦. 四、考点4：定点/定值问题（压轴高频考点） 1.基础知识点 定点定义：直线或曲线在参数（如斜率、截距）变化时，始终经过的固定点（坐标与参数无关）. 定值定义：含变量（如交点坐标、直线斜率）的表达式，其值始终为常数（与变量无关）. 核心处理思路： 定点问题：设含参数的方程（如直线，其中与存在关联）→整理为“参数×+=0”的形式→令且，解方程组得定点坐标. 定值问题：设变量（如直线斜率、交点横坐标）→用韦达定理或曲线方程化简目标表达式→消去变量，证明结果为常数. 常用辅助技巧：特殊值法（先取2个特殊参数值，求对应直线/曲线的交点，即为疑似定点；定值可先算特殊情况的值，再证明一般情况）. 2.核心概念与公式 参数分离通用形式（以直线含参数为例）： 若直线方程整理为，则定点满足. 示例：直线可整理为，定点为. 定值化简常用公式： 韦达定理：，（联立后一元二次方程）. 椭圆/抛物线方程代入：如椭圆上点满足，可用于替换化简. 向量相关定值转化：若涉及（为原点），则，可结合韦达定理化简为定值. 3.易错点 参数分离不彻底（如直线，误整理为，未消去分母，正确应为，再按和分离参数）. 特殊值法仅取1个特殊情况（如仅取求直线，无法确定定点，需取和，求两直线交点）. 定值化简时忽略曲线方程代入（如椭圆中未用替换，导致无法消去变量）. 忘记验证“一般情况”（特殊值法求出定点/定值后，需证明对任意参数/变量均成立，否则步骤不完整）. 4.常考结论 椭圆中，过定点的直线与椭圆交于两点，若（定点在椭圆上），则直线恒过定点（即定点本身）. 抛物线（）的焦点弦：（定值，与焦点弦斜率无关）. 椭圆中，若在椭圆上且（为原点），则原点到直线的距离（定值）. 五、考点5：最值/范围问题（选考压轴考点） 1.基础知识点 常见类型： 长度最值：椭圆/双曲线上一点到定直线的距离最值、过定点的直线与曲线相交的弦长最值. 面积范围：以曲线弦为底、定点为顶点的三角形面积范围（如，为原点）、曲线内接四边形面积范围. 参数范围：直线斜率/截距的取值范围（如直线与曲线有交点时）、曲线交点横/纵坐标的范围. 核心求解方法： 函数法：设变量（如点的横坐标、直线斜率）→将目标量（如距离、面积）表示为变量的函数→求函数在定义域内的最值/范围. 不等式法：用基本不等式（，）或二次不等式（判别式）求范围. 几何法：数形结合，利用曲线几何性质（如椭圆的范围、）或圆的半径/距离性质. 2.核心概念与公式 长度最值相关公式： 点到直线的距离：（椭圆上点到定直线的距离最值，可设点坐标为椭圆参数形式，，转化为三角函数最值）. 弦长公式：（弦长最值可结合判别式或函数单调性求解）. 面积范围相关公式： 三角形面积：（底为弦长，高为定点到直线的距离）. （，）面积：（避免求距离，直接用坐标计算）. 函数最值公式：二次函数（）在上的最值：若对称轴，则最值在顶点或端点；若对称轴不在区间内，最值在端点. 3.易错点 函数法中忽略变量定义域（如椭圆上点的横坐标，求二次函数的最值时，误按全体实数求顶点最值，未结合的范围）. 基本不等式应用不满足“三相等”条件（如求的最大值，误直接用，但未验证即是否在定义域内）. 几何法中误解最值的几何意义（如椭圆上点到定点的距离最值，误认为是定点到椭圆中心的距离加减半径，正确应为结合椭圆参数方程或函数法求解）. 面积范围计算时漏乘系数（如面积公式误写为，遗漏）. 4.常考结论 椭圆上一点到定直线的最短距离：（当直线与椭圆相离时，若相交则最短距离为0）. 过椭圆中心的弦（直径）为底时，椭圆内接三角形面积最大值：（高最大为短半轴或长半轴，取决于底的方向）. 抛物线（）上一点到定点的距离最小值：当时，最小值为；当时，最小值为. 六、考点6：综合应用（辅助考点） 1.基础知识点 向量与圆锥曲线结合：通过向量条件（垂直、共线、数量积定值）转化为代数关系，结合弦长、中点弦等考点求解. 斜率与圆锥曲线结合：利用斜率乘积/和为定值的条件，推导直线过定点或弦的性质. 核心转化逻辑：将几何条件（向量、斜率）转化为代数等式→联立曲线方程→用韦达定理或基础考点方法（如弦长、中点弦）求解. 2.核心概念与公式 向量条件转化公式： 向量垂直：. 向量共线：（为实数）且. 向量数量积定值：（为常数）. 斜率相关转化公式： 斜率乘积定值：（为常数）. 斜率和定值：（为常数）. 3.易错点 向量垂直转化错误（如误写为，正确应为）. 斜率计算忽略“分母为0”的情况（如时，不存在，需单独讨论在轴上的情况）. 综合题中思路混乱（未拆解考点，如“向量垂直+弦长”问题，应先转化向量条件得，再结合韦达定理求弦长，分步求解）. 代入曲线方程时符号错误（如双曲线方程，代入点坐标时误写为，导致后续计算全错）. 4.常考结论 椭圆中，若（为原点），则弦长的最小值为，最大值为（长轴）. 抛物线（）中，若直线过定点且，则（定点为抛物线的准线与轴交点的对称点）. 双曲线中，若（渐近线斜率平方），则直线恒过原点. 题型一 直接判定直线与曲线的位置关系（选择/填空/解答第一问，基础必考） 解｜题｜技｜巧 1.联立方程：设直线方程（如，若斜率可能不存在，需单独讨论）与圆锥曲线方程，消去（或）得整式方程（或）. 2.判断方程类型： 若为一元一次方程（二次项系数为0）： →有1个解→相交（双曲线中需注明“与渐近线平行”）. 若为一元二次方程（二次项系数）： →计算判别式（为方程的系数）. 3.下结论： →相交；→相切；→相离. 4.特殊情况补充：若直线斜率不存在（如），直接代入曲线方程得的解，解的个数对应位置关系. 【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； 【详解】（1）圆心，半径， 线段的垂直平分线交半径于点 点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为 （2） 直线过，斜率为，直线， 联立， 可得，即，只有一个解， 直线与椭圆相切. 【典例2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【详解】（1）由题意可得，因为，解得. （2）因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【变式1】（24-25高二上·内蒙古兴安盟·月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，． (1)求的值； (2)求直线与C的公共点个数. 【详解】（1）易知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，与联立得， ，所以． （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即，与联立得，解得， 所以直线与C只有1个公共点A． 【变式2】（2024·上海闵行·一模）已知圆，双曲线，直线，其中． (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； 【详解】（1）由题意，，所以，， 因此，双曲线的离心率. （2）由直线与圆相切，得，即， 联立得， 即， 该一元二次方程的判别式， 因此有两个不相等的实数根， 且两根之积为，因此两根一正一负， 即与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； 【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，所以， 又因为椭圆的离心率为，得，∴， 所以椭圆方程为. （2）如图：    由得直线的斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程，得，∵， ∴所以直线与椭圆相切，且， 即线段的垂直平分线与恰有一个公共点. 题型二 求直线与曲线有交点时参数（斜率/截距）的范围（解答第一问，基础必考） 答｜题｜模｜板 1.设参数：设直线参数（如斜率、截距），写出直线方程（斜率不存在时单独讨论）. 2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程（，否则无两个交点）. 3.列不等式：由“有交点”得（相交2个点用，相切1个点用），代入整理不等式. 4.求解范围：解不等式得参数范围，若有特殊情况（如双曲线需排除与渐近线平行的斜率），补充排除条件. 5.综上：写出参数的最终取值范围. 【典例1】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围； 【详解】（1）由题设，则，故椭圆； （2）联立，则，即， 由直线l与椭圆C有两个公共点，则，得. 【典例2】（2025高二上·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； 【详解】（1）   由题意可知，因为，所以. 设，则，所以， 又，所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：，解得或；    【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. 【变式2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率 （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程C； (2)若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值. 【详解】（1）如图：    设圆的半径为，因为圆与圆内切，与圆外切， 由已知，圆心，半径为5，圆心，半径为1， 所以，两式相加得：. 所以点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，， 所以. 所以圆心的轨迹方程为. （2）将代入， 得：， 整理得：. 因为直线与C有且只有一个公共点， 所以，即， 即，解得或. 题型三 求通用弦长（直线与椭圆/双曲线/抛物线相交的弦长，解答第二问，高频） 答｜题｜模｜板 1.前置判定：先联立直线与曲线方程，验证（确保弦存在，步骤必写，避免扣分）. 2.用韦达定理：设弦端点、，由一元二次方程得： ，，计算. 3.代弦长公式： 若直线斜率存在：. 若直线斜率不存在（）：（代入曲线方程得，作差取绝对值）. 4.计算结果：代入数据化简，得弦长具体数值或含参数的表达式. 【典例1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，求线段的长． 【详解】（1）设点，则直线的斜率为，直线的斜率为， 根据题意有：，化简得， 由于时斜率不存在，故曲线的方程为. （2）设，， 联立，消去并整理得， ， 所以， ， 直线斜率为1，弦长公式为， 因此 【典例2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 【详解】（1）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 当时，即时，，满足直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点； 当时，即时，则，即，解得， 综上可知，直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，或； （2）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 直线l：与双曲线C相交于A，B两点， 设，则， . 【变式1】（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 【详解】（1）由点在抛物线上，得， 由，可得，得， 所以抛物线的方程； （2）当斜率不存在时，方程为：， 此时， 则， ，不符合题意， 当斜率存在时，设直线方程为：， 联立抛物线方程消去可得： ， 设， 又，则， 代入， 可得： 代入 得： 化简可得：， 即或， 当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去， 当，直线方程为， 所以 由弦长公式得： 【变式2】（25-26高二上·上海松江·期中）已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【详解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 【变式3】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，， 解得：，，， 则椭圆的方程为：， 椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为， 顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为； （2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 由可得， 设的横坐标分别为， 可得，， 则 ， 所以线段的长为. 题型四 求抛物线焦点弦长（解答第二问，高频，结合焦点性质） 答｜题｜模｜板 1.确定抛物线与焦点：明确抛物线方程（如，焦点），判断直线是否过焦点. 2.选公式： 已知端点坐标：用（或，若抛物线开口向上/向下）. 已知直线斜率：用（垂直轴时不存在，弦长）. 3.补全计算：若未知或，联立焦点弦方程与抛物线方程，用韦达定理求，再代入公式. 4.得结果：化简计算，写出焦点弦长. 【典例1】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上的动点到直线距离的最小值为. (1)求的值； (2)过焦点的直线与交于两点，若，试说明直线与的位置关系. 【详解】（1）解法一：设， ∴点到的距离， 即， 当时，的最小值为0，不符合题意； 当，即时， 显然时取得最小值，为， 由，得. 解法二：当点到的距离最小时，点为与平行的的切线的切点， 设该切线方程为， ， 解得或， 当时，在上方，不合题意，， 将中，整理得， 由解得或（舍）. （2）由（1）得，抛物线.设， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 代入中整理得， ， 则， 解得，即， 当时，， 当时，. 【典例2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程； (2)求的最小值． 【详解】（1），，． （2）由于直线与抛物线交于A，B两点，则直线不与x轴平行，设直线：，设，， 则，， 所以 ， 联立得， ，则，， 代入可得， 所以最小值为，此时． 【变式1】（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 【详解】（1）由抛物线的性质，，故抛物线. （2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 【变式2】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，求直线的倾斜角. 【详解】（1）由题意得，由抛物线的定义得，解得， 将代入抛物线，得到， 且，所以(负根舍去)，故抛物线的方程为. （2）由（1）知，当直线斜率不存在时（不合题意）， 如图，故设， 联立，化简得， 则 又，得，则， 所以直线的倾斜角为或. 题型五 已知直线求弦的中点坐标（选择/填空，中频） 答｜题｜模｜板 1.设直线方程：已知直线斜率或截距，写出直线方程（如）. 2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程，验证. 3.用韦达定理求中点横坐标：. 4.求中点纵坐标：将代入直线方程，得. 5.写中点：最终中点坐标为. 【典例1】（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【详解】（1）因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为.    【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为． （2）设点、，设点， 设直线的方程为，联立可得， 则， 由韦达定理可得，可得， 则，即点的轨迹方程为． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）求直线被抛物线截得线段的中点坐标． 【详解】解法一：设直线与抛物线交于， 中点为，由题意得 消去得，即， 所以，即中点坐标为． 解法二：设直线与抛物线交于， 中点为，由题意得两式相减得， 所以， 所以，即， 即中点坐标为． 解法三：设中点坐标为，由结论易得：． 由题目已知，，所以有， 代入直线中，求得，即中点坐标为． 【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为. 【变式3】（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    题型六 已知中点求弦所在直线方程（解答第一问，中频） 答｜题｜模｜板 1.设点：设弦端点、，中点（已知条件给出）. 2.代入曲线：将代入圆锥曲线方程，得两个等式： 椭圆：，； 抛物线：，. 3.作差推导斜率：两式相减，整理得： 椭圆：， 代入，，，得（椭圆）； 抛物线：（抛物线）. 4.写直线方程：用点斜式，整理为一般式. 5.验证：联立直线与曲线方程，计算，确认弦存在（若，说明无此弦）. 【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【详解】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0， 设点、，因为为线段的中点， 所以 ， 所以直线的方程为即. 【典例2】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 【变式1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 【详解】（1）圆的方程可化为，故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即， 所以直线的斜率. 因为点是弦的中点，所以，所以， 所以直线的方程为，即.    【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于点，且点是线段的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由. 【详解】设存在被点平分的弦，且，则， 两式相减，得. 又点为弦的中点，∴，，. ∴直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 此时，所以直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）为椭圆内一定点，过点作一弦，使此弦被点平分，求此弦所在直线的方程． 【详解】解法1 如图，设所求直线方程为． 由方程组 消去，得．由题可得判别式大于0. 设弦的两端点为，由韦达定理． 又是弦的中点，所以， 所以，解得． 所以弦所在的直线方程是，即． 解法2 设弦的两端点为，弦所在直线的斜率为， 则，两式相减整理得：. 由题，则，又直线过点， 则弦所在的直线方程为，即． 题型七 求直线斜率的取值范围 答｜题｜模｜板 1.设直线方程：设直线为（已知或与有关）. 2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程（）. 3.列不等式：由“直线与曲线有交点”（或题目条件，如“弦长≥2”）得（或对应不等式），代入，整理为关于的不等式. 4.解不等式：求解一元二次不等式（或分式不等式），得的取值范围. 5.补充特殊情况：若直线斜率不存在时符合条件，需加入范围 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点． (1)求椭圆E的方程． (2)直线与椭圆E相交于A，B两点，O为原点，在OA，OB上分别存在异于点的点M，N，使得点O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围． 【详解】（1）依题意，可设概圆E的方程为． 由，， ∵椭圆经过点，∴， 解得，则，． ∴椭圆E的方程为． （2）联立方程组消去y整理，得， ∵直线与椭圆E有两个交点， ∴，解得．① ∵原点O在以MN为直径的圆外，∴为锐角，即． 而点M，N分别在OA，OB上且异于O点，即． 设A，B两点坐标分别为，，则 ， ∴ ， 化简得，解得，② 综合①②可知. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据原点O在以MN为直径的圆外，得为锐角，转化为，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 【典例2】（24-25高二上·江西·期中）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点． (1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围； (2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线方程可知，，，，， 因为，所以，解得， 即实数的取值范围是； （2）由（1）可知，，解得，所以双曲线方程为， 设，，过点的直线方程为， 由，消去整理得， ，， 由，，，解得， 所以该直线斜率的取值范围是． 【变式1】（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点，求该直线斜率的取值范围. 【详解】（1）由题意双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为2， 可设双曲线方程为，且 ， 则双曲线标准方程为； （2）由题意可知过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点， 故该直线斜率一定存在，且不和双曲线渐近线平行， 故设直线方程为， 联立，整理得， 需满足，解得 ， 即该直线斜率的取值范围为. 【变式2】（2025·福建厦门·三模）焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率； (3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围. 【详解】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为， 故，解得，所以双曲线的方程为. （2）由题意，过点的直线斜率存在且不为，可设其方程为， 设、，联立，整理得， 由题意可得，解得， 由韦达定理得：，，所以或， 设线段的中点为， 则，， 即点，，， 因为，所以，解得， 经验证均满足题意，所以直线的斜率为. （3）点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数， 由，得， 所以，则，则， 由，得， 所以，则， 又因为直线交两支两点，故直线的斜率，所以. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知，为双曲线：的左、右焦点，在抛物线的准线上，且点在的一条渐近线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若，求直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得， 又在的渐近线上，则，即， 又，解得， 所以的方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立，消去得，令， 解得，又与的右支交于两点， 则，， 联立解得，故， 又，所以， 又，，则， 整理得， 将，代入，得， 解得， 综上可知，的取值范围是． 题型八 求椭圆/双曲线/抛物线上一点到定直线的距离最值（解答压轴问，选考） 答｜题｜模｜板 1.设参数坐标：用椭圆参数方程设点，如椭圆上一点为（为参数）. 2.写距离公式：代入点到直线距离公式，得： . 3.化简三角函数：将分子整理为（其中，为辅助角）. 4.求最值：利用，得： 最大值：； 最小值：（若直线与椭圆相离，最小值为）. 【典例1】（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为 ． 【详解】方法一：设，即， 与椭圆C的方程联立，得． ，∴， 当时，点P到直线l的距离为， 即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为． 方法二：设， 由点到直线距离公式 ∵，∴ ∴，∴． 故答案为：. 【典例2】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为 . 【详解】不妨设点，则点到直线的距离为， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·浙江·月考）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为 ． 【详解】设为曲线上一点，则， 则到直线的距离为， 当且仅当令，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】不妨设点，其中， 则点到直线的距离为， 故当时，取最小值，此时点的坐标为. 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【详解】椭圆，即，又为上的一动点， 设， 则点到直线距离， 又， 所以当时有最大值， 即点到直线距离的最大值为． 故选： D． 题型九 求的面积范围（解答压轴问） 答｜题｜模｜板 1.设直线方程：设直线为（斜率不存在时单独讨论），联立与曲线方程，验证. 2.求弦长与高： 弦长； 原点到直线的距离. 3.写面积表达式：. 4.转化为单变量函数：利用联立方程中与的关系（如椭圆中），消去一个变量（如），得关于的函数. 5.求范围：根据变量定义域（如），结合二次函数或基本不等式求的取值范围. 【典例1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于A、B两点，求（为原点）面积的最大值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4，得，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设其方程为，， 由消去得， ，， ，原点到直线的距离， 因此的面积， 当且仅当时取等号，此时，符合题意； 当直线斜率不存在时，设其方程为， 由，得，， 因此的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为1.    【典例2】（2025·山东济南·一模）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【详解】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为； （2）①证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. (1)求的渐近线方程： (2)求面积S的最小值： (3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点， 将，代入得：，解得， ，的渐近线方程为； （2）设，，则， 由于，则， 显然，可得，且，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为16； （3）显然，直线， 即， 其中，， 即，， 故点到直线的距离为 ， 存在定圆与直线相切. 【变式2】（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足． (1)化简曲线的方程； (2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值． 【详解】（1）记点、， 则， 所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设双曲线的方程为，则，，可得，， 所以，， 因此，曲线的方程为. （2）由图可知，直线的斜率存在且不为. 设、，直线的方程为，    则直线的方程为，即． 因为直线与圆相切，所以，则． 由消去，化简得． 由题意，且（因为）， ，所以或， 又原点到直线的距离为， 所以． 由或得，设， ， 因为，当且仅当时等号成立， 且，当且仅当时等号成立， 所以当时，． 所以当，即时，. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【变式3】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知椭圆离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 【详解】（1）由题意离心率，所以， 又在椭圆C上，所以， 与上式联立，解得，则椭圆的方程为. （2）由（1）得，则，所以. 如图： 当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C的方程可得， 所以， 所以； 当直线l不垂直x轴时，设斜率为（时，），则方程为， 联立，可得， ， 则， 所以， 则， 令，则，所以 则， 因为，所以， 因为在上单调递减， 所以， 综上，的最大面积，此时直线l的方程为. 题型十 证明表达式为定值（解答压轴问，高频） 答｜题｜模｜板 1.设变量：设目标表达式中的变量（如直线斜率、交点坐标），写出目标表达式（如）. 2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程，用韦达定理得，. 3.化简目标表达式：将、（或曲线方程）代入目标表达式，如： . 4.消去变量：展开并代入韦达定理结果，化简后消去、等变量，得到常数（如）. 5.下结论：说明表达式的值与变量无关，即为定值. 【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和． (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线和直线的斜率分别为和都存在时，证明：为定值； (3)若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值． 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：过 ； （2）设，则，， 则， 两式作差可得， 所以； （3）①当直线斜率不存在时，则直线的方程为， 根据对称性，取直线的方程为， 则，解得，即， 此时； ②当直线斜率不存在时，直线的方程为， 同理可得； ③当直线斜率存在时，设直线的方程为， ， 因为 所以， 在椭圆上， 所以，即， 设到直线的距离为，则， ， 所以. 【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且. （1）求的方程. （2）是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求点的坐标（用表示）； （ii）证明：为定值. 【详解】（1）由题意得，，，，得， 则的方程为； （2）（i），直线， 联立，得，得或， 则，代入中得，， 故； （ii）因，则由（i）可得，， 则直线的方程为，则， 因，则直线， 联立，得，即， 则， 则. 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【详解】（1）由题意可得：. 所以双曲线的标准方程为：. （2）设，， 则， 两式相减得：， 又线段的中点为，所以， 所以，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； （3）如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又，， 所以 ，为定值. 【变式2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)点为双曲线的左右顶点，为双曲线上异于的点，求的值； (3)点在双曲线上，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 【详解】（1）由，因为在双曲线上， 所以有； （2）由题意可知，设， 则有， 所以； （3）因为，所以直线的斜率存在， 因此设直线的方程为，设， ， ，且 ， ，或， 当时，， 直线过点，不符合题意； 当时，， 因为， 所以是直角三角形，且， 当定点为斜边中点时，， 即存在定点，使得为定值. 【变式3】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点. （i）当时，求； （ii）求点与点的纵坐标的比值. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，     又由点在双曲线上，有, 代入,有,可得,, 故双曲线的标准方程为. （2）设，两点的坐标分别为,    联立方程,消去后整理为, 则，即，可得,. （i）当时，有,,     可得, 故. （ii）由,,可得直线的方程为,代入,可得点的纵坐标. 同理可得直线的方程为,点的纵坐标为, 又由,有, 则 . 故点与点的纵坐标的比值为. 题型十一 证明直线/曲线过定点（解答压轴问，高频） 答｜题｜模｜板 1.设含参方程：设直线方程（如，其中与有关联，或设参数的直线方程）. 2.联立化简：联立直线与曲线方程，利用韦达定理或曲线性质，推导与的关系（如）. 3.参数分离：将直线方程整理为“参数×表达式1+表达式2=0”，如整理为. 4.求定点：令两个表达式均为0，解方程组：，得定点. 5.验证：取2个特殊参数值（如、），求对应直线的交点（如时直线为，时直线为，交点为），与步骤4求得的定点一致，证明直线恒过该定点. 【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 【详解】（1）由题意得：，解得，椭圆方程为： （2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 设直线，代入，可得， 设，，则，， 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. （3），， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即  ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 【典例2】（25-26高二上·河南·期中）已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【详解】（1）由双曲线经过点两点， 得，解得， 故的方程为． （2）因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． （3）由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点．      【变式1】（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 【详解】（1）由题意可得，则， 当直线平行于轴时，，联立，则， 故，解得，则， 即椭圆的方程为； （2）设，若直线与椭圆仅有交点，则直线与椭圆仅有交点， 且平行轴，不符，故可设直线与椭圆另一交点为， 由直线，关于轴对称且直线不平行轴，则， 且两直线斜率存在，设， 联立，消去得， ，即， 有、， 则， 由对称性可得，若直线过定点，则定点必在轴上， 令，则 ， 故直线过定点. 【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）①由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由消去得，， 则， 则由题意，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为，所以， 所以直线方程为，恒过点. 题型十二 向量垂直（）结合弦长/面积（解答综合问，高频） 答｜题｜模｜板 1.转化向量条件：由得核心等式（必写推导依据：向量垂直则数量积为0）. 2.联立与韦达：设直线方程为（斜率不存在时单独讨论），联立与圆锥曲线方程（如椭圆），得一元二次方程，验证（确保交点存在），由韦达定理得： ，. 3.代入向量等式化简：将、代入，展开整理： →， 代入韦达定理结果，得到与的关系式（如，椭圆场景）. 4.结合目标考点计算： 若求弦长：代入通用弦长公式，将步骤3中与的关系代入，化简得弦长（可能为定值或含参数表达式）. 若求面积：先求原点到直线的距离，再用面积公式，代入和的表达式，结合与的关系化简（常为定值或可求范围）. 5.补充特殊情况：若直线斜率不存在（），代入曲线方程得，由得，结合曲线方程求解，验证是否符合条件，避免漏解. 6.总结结果：写出弦长或面积的最终值（或范围），明确是否需舍去不符合的情况. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）设为坐标原点，若椭圆与直线交于两点，且，圆过点． (1)求的方程及圆的半径； (2)若点在上，且，判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）设， 联立，得，， 则， 即，解得， 故的方程为． 设圆的方程为，又圆过点，代入可得，故圆的半径为2． （2）    直线的斜率不存在时，设直线的方程为，联立， 不妨令， 由，得，解得， 此时圆心到直线的距离为，故直线与圆相交． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 则， 由得，即， 即， 故，解得， 设圆心到直线的距离为， 则，故直线与圆相交． 综上，直线与圆相交． 【典例2】（24-25高二上·辽宁·月考）“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线.设函数，若将其图象看成双曲线. (1)求双曲线的焦点坐标； (2)将双曲线绕着坐标原点O顺时针旋转，使焦点落到x轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，当时，求直线l的方程. 【详解】（1）设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为， （倾斜角为）与（倾斜角为）为渐近线， 故直线（倾斜角为）为双曲线的一条对称轴， 设直线与函数图象交于，两点， 联立可得，， 则，即， 又，所以，， 设双曲线的焦点分别为，，则  . （2）由（1）可得双曲线的方程为，右焦点， 设直线l的方程为，与的方程联立可得， 设，，易知，， 则①，②， ， 化简可得，解得， 此时均满足 此时直线l的方程为或. 【变式1】（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由实轴长为2可得，即； 再由离心率为可得，即， 所以， 可得双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 联立，整理可得， 显然，且，解得且； 设，可得， 所以 ， 即，解得，不满足且，不合题意； 因此不存在满足. 【变式2】（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积. 【详解】（1）由题可知原点到直线距离.因为椭圆的离心率为，所以，所以. 所以椭圆C的方程为：. （2）过定点斜率为的直线方程为：.设. 由，得.所以. 因为，所以，所以， 整理得：，所以. 所以.所以， 所以的面积. 【变式3】（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； 【详解】（1）由已知椭圆的长轴长为，即， 又椭圆的离心率，则， 所以， 故椭圆方程为； （2）由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为， 设，， 联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则， 则， 解得； 题型十三 斜率乘积/和为定值结合定点（解答压轴综合问，中频） 答｜题｜模｜板 1.明确斜率条件：设题目给出的斜率定值（如，为常数，椭圆中常为），转化为代数等式： →. 2.设直线方程：设直线的方程为（或斜截式，避免讨论斜率不存在），联立与曲线方程得一元二次方程（或），验证，得韦达定理结果. 3.代入斜率等式化简：将、（或、）代入，展开后代入韦达定理，整理得参数关系（如，为常数）. 4.分析定点/定值： 若证直线过定点：将参数关系代入直线方程，整理为“参数×表达式1+表达式2=0”（如），令表达式1和2为0，解得定点（如）. 若证其他定值：结合步骤3的参数关系，代入目标表达式（如、，为定点），化简得常数. 5.验证特殊情况：当直线斜率为0（或垂直x轴）时，代入验证是否符合结论，确保通用性. 6.下结论：明确直线过定点或表达式为定值，完整书写解题结果. 【典例1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，半焦距， 所以离心率. （2）如图：    设，， 由直线l与椭圆C交于异于P的两点、，得， 由，得，则， ，即， 整理得，而，于是， 此时直线，过定点，所以直线过定点. 【典例2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【详解】（1）因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 【变式1】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点. (1)求C的方程； (2)设直线AM，BN的斜率分别为，，若，求证：直线MN恒过定点. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以C的方程为. （2）（方法一）由题意得，MN的斜率不为0，    设MN的方程为，，. 由，消去，可得， 由可得， 由可得. 由韦达定理，，. 因为，，，所以. 又，即，则有， 因为，，， 故有， 整理得， 所以， 化简得，解得或2. 当时，MN的方程为，此时MN过点，不合题意， 当时，MN的方程为，此时MN过点，符合题意， 所以MN恒过定点. （方法二）①若MN的斜率不存在，设MN为（），，. 因为，，，所以， 由对称性知，，则，解得， 所以MN的方程为，此时MN过点. ②若MN的斜率存在，设MN的方程为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或. 当时，MN为，此时MN过点，不合题意， 当时，MN为，此时MN过点，符合题意. 综上，MN恒过定点 （方法三）因为，，AM，BN的斜率分别为，， 所以AM，BN的方程分别为，. 由，得， 所以，又，所以， 所以，即. 由，得， 所以，又，所以， 又，即，所以， 所以，即. ①若MN的斜率不存在，则，即，解得， 则，所以MN为，此时MN过点. ②若MN的斜率存在，则， 所以MN的方程为，即， 化简得，即，此时MN过点. 综上，MN恒过定点. 【变式2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【详解】（1）设，则中点， 以为直径的圆半径为：， 因为以为直径的圆与轴相切， 所以， 化简可得：， 即曲线的轨迹方程是； （2）设点,,直线的方程为：, 联立,得,所以,所以 因为, 即, 即 所以, 所以或 当时,直线的方程：过定点,舍去； 当时,直线的方程：过定点, 所以直线过定点． 【变式3】（25-26高三上·湖北·期中）已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. (1)设直线、的斜率分别为、，求的值； (2)求证：直线过定点； (3)设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 【详解】（1）因为，则，故点的轨迹方程为， 设点，则，易知点、， 因为，，所以， 所以 . （2）设点、，设直线的方程为， 设直线的方程为，则， 则直线的方程为，则， 易知，则， 由得， 可得， 即①， 联立得， 由韦达定理可得，， 代入①式得，即， 解得（舍去）或，即直线的方程为， 故直线过定点. （3）易知直线、的斜率都存在，设线段的中点为， 设直线的方程为，设直线的方程为， 联立得， 由韦达定理可得，， 则 ， 同理可得， 因为为线段的中垂线，且，记， 在中，，所以， 所以四点、、、共圆，且， 则，化简得， 又因为，故. 期末基础通关练（测试时间：45分钟） 一、解答题 1．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由，借助于韦达定理代入计算即得. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率 （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【详解】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 4．（25-26高二上·安徽·期中）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点. (1)求的方程； (2)设直线与的斜率分别为，，. ①证明：直线的斜率为定值； ②若的面积为6，求所在直线方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）， 或，或 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）①根据直线斜率公式进行运算证明即可； ②根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以， 所以抛物线的方程为； （2）①设，，，， 所以， 同理可得 因为，所以， 因为， 所以直线的斜率为定值； ②因为直线的斜率为定值，故设所在直线方程为， 联立方程消掉得， 设，，所以，， ， 点的直线的距离， 所以， 得，故，， 所以直线的方程为，或，或.    5．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）依题意，所以，则， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 6．（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【详解】（1）由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. （2）设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或. 7．（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 8．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 期末重难突破练（测试时间：120分钟） 一、解答题 1．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得. (1)求抛物线C的方程； (2)已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据，联立方程组，求得的值，代入抛物线的方程，求得，即可求解； （2）设直线，联立方程组，得到，利用的面积为，列出方程求得，进而确定圆的圆心和半径，即可求解. 【详解】（1）解：设点，且， 由，可得，解得， 代入抛物线，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：由抛物线，可得其焦点，设直线， 联立方程组，整理得，可得， 则的面积为， 即，解得， 设的中点为，可得，则， 所以 中点坐标，半径， 所以所求圆方程为.    2．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右顶点，若直线与椭圆有唯一的公共点(在第一象限)，直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点(为原点)，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依题意可得、的值，从而求出，即可得到椭圆方程与离心率； （2）根据截距式设得直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据相切判别式得，，再联立直线与的方程得坐标，即可根据面积比例关系求解. 【详解】（1）依题意可得，所以，则， 所以椭圆的方程为，离心率； （2）如图所示： 由题可知，直线的斜率存在且为负数，设直线：. 则有，，所以直线的方程为， 将与椭圆方程联立，消去并整理得，，由题意直线与椭圆相切于点，则，即，所以 ，， 即点的坐标为， 所以直线的方程为，将其与直线的方程联立，解得，，即点的坐标为，由题意得，整理得.又，且，解得，，即满足题意的直线的方程为. 3．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 【答案】(1)椭圆的方程为； (2)直线恒过定点，该定点为点. 【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）先由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求出韦达定理，接着利用点D写出直线AD的方程为，令，求出x为定值即可得解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的方程为； （2）证明：由题可得直线的斜率存在，设， 联立， 则， 设，则，， 则直线AD斜率为， 所以直线AD的方程为， 令，则 ， 所以直线恒过定点，该定点为点. 4．（25-26高三上·河北承德·期中）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆上的动点，求的取值范围; (3)若点在椭圆上，点在直线上，且 (O为坐标原点)，判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1) (2) (3)直线与圆相切，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求出，再根据的关系及椭圆的标准方程求解即可； （2）将取值范围问题转化为直线与椭圆有公共点问题，联立方程，结合判别式求的取值范围即可； （3）设点到直线的距离为，则，根据点在椭圆上化简前者可得，故直线与圆相切. 【详解】（1）由题可得，， 所以椭圆的方程为. （2）令，则直线与椭圆有公共点， 由，得， 则，解得， 所以的取值范围为. （3）设，若，则， 此时即为轴，此时不在直线上，舍； 若，则，此时，故，， 设到的距离为，则， 故，此时直线与圆相切. 若，则直线，故， 故直线，故， 故，， 故， 而，故，故 故即，故直线与圆相切.    5．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【详解】（1）设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． （2）依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点．    6．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，使得为定值，定值为. 【分析】（1）由题列得关于的方程组，求解可得椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理写.根据向量数量积的运算性质，求得.假设存在点，使得为定值，并由此得到点的坐标 【详解】（1）由题可知，，化简得，解得. 所以椭圆的方程为. （2）设，存在点满足题意. 由，得. 所以. . . 若为定值，则， 所以，解得. 所以存在点，使得为定值，定值为. 7．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)1；或 【分析】（1）先求出，根据椭圆的定义求得，最后根据平方关系求得； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【详解】（1）因为椭圆与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点是，即， 即， 因为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意过点的直线与曲线交于两点， 显然直线斜率是存在的，否则三点共线，此时不是三角形， 所以设直线的方程为， 联立与，所以， 即，或， 设， 有. 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积.    设， 则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为1， 此时直线的方程为或. 8．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）代入点，再根据右焦点可得椭圆的方程； （2）的最大值可转化为点到圆心的距离加半径，然后求的最大值即可； （3）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式计算出，再联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式计算出，利用为定值，可得答案. 【详解】（1）由题意得             解得所以的方程为. （2）设，由题意知，，，，     所以， 因为，所以当时，，         所以. （3）由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为，，，，， 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以，，，     所以.     联立直线与双曲线的方程，得 消去并整理，得， 由题意知，，，， 因为过且与双曲线的右支交于两点，所以，所以， 所以，     所以，     若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值.    9．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由短轴长求出，由点到直线的距离得到，再结合，求出、，即可得解； （2）方法一：设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由则，从而得到，即可得到，再由基本不等式计算可得；方法二：设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，依题意可得，列出韦达定理得到，再表示出及点到的距离，最后由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由椭圆短轴长为，得， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 即，解得， 又，解得，， 椭圆的标准方程为； （2）方法一：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，，， 联立，消去整理得， 显然，，， ，，则，， 代入可得，所以， 的面积， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为. 方法二：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，， ，， 联立，消去整理得， 所以，. ，， ，， 则， 可得， 又 ， 设原点到直线的距离为，则， 的面积， 当且仅当时取等号， 面积的最大值为1.    10．（25-26高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点三角形的周长可得标准方程； （2）设的直线方程代入椭圆方程，再由根与系数关系及斜率公式可得定值. 【详解】（1）因椭圆的两个焦点，，所以， 由的周长等于8，得， 即，得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知，设直线的方程为，. 将方程代入椭圆方程，得， 化简整理得，， . 所以，同理. 所以， 若，则，代入根与系数关系得， 即，再消去得，得无解， 故. 所以. 故为定值. 期末综合拓展练（测试时间：120分钟） 一、解答题 1．（25-26高二上·上海松江·期中）由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比；如图1，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为A，B的椭圆；如图2，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为，的椭圆；若与相似，则称椭圆，是“相似椭圆”，三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”；若是，求出相似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆的一个“相似椭圆”； (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (3)若椭圆与椭圆相似，相似比是，直线与椭圆，交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上． 【答案】(1)不是，理由见解析； （答案不唯一）； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出两椭圆的焦顶三角形的三边，根据三边是否对应成比例即可判断；根据“相似椭圆”定义利用比例关系即可求解； （2）利用的关系依次证明必要性和充分性成立即可得证； （3）首先根据相似比求出椭圆的方程，然后将直线方程分别代入和的椭圆方程，利用韦达定理求出根与系数的关系，进而得到弦长公式，再结合题设向量关系推导出弦长之间的比例关系，通过等式化简得到关于k和m的关系式，从而确定点所在的定曲线. 【详解】（1）椭圆不是“相似椭圆”，理由如下： 椭圆中，，，， 椭圆中，，，， 因为，所以椭圆的“焦顶三角形”不相似， 所以这两个椭圆不是“相似椭圆”； 假设椭圆的一个“相似椭圆”为， 该椭圆焦距为， 则由“相似椭圆”定义得，取， 则椭圆的一个“相似椭圆”为； （2）不妨令两个椭圆均为焦点在轴上的椭圆， 且椭圆方程分别为和, 必要性：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其“焦顶三角形”的三个对应角相等， 由题中图知若， 因为，，所以， 又因为，， 所以； 充分性：若离心率相等，则，所以， 则，，则； 同理，，， 则，所以， 所以椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”， 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）由题可得与椭圆的相似比为的相似椭圆的方程为， 设，，，各点坐标依次为，，，， 将代入椭圆方程得， ， ，， ； 同理将代入椭圆的方程得， 得，，， ，线段，中点相同， ，由，可得线段的中点是点N，=， ，所以， ，化简得，满足式， ，即点在定曲线上． 2．（2025·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)（i），；（ii）证明见解析 【分析】（1）设，再利用新定义求出的坐标即可求解； （2）（i）双曲线上任取一点，根据新定义得出其旋转过后的点坐标，再将其坐标代入中即可求得双曲线的标准方程，进而求得离心率； （ii）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，再分别用点坐标求出线段的中垂线方程，设，将点坐标代入两条中垂线方程中，再利用同构思想得出是方程的两个根，再根据两次韦达定理建立关系式，即可求出，进而得出为定值. 【详解】（1）设，则，， 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到， 则， 则，解得，，因此点的坐标是. （2）（i）在双曲线上任取一点， 将绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 则 又点在曲线上，则， 化简得双曲线的标准方程为：， 则，，，故离心率. （ii）由（i）可知，，由题意可知直线的斜率存在不为0， 故设直线方程为：，，， 联立，得， 则，，，， 因线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线为， 即， 又，， 则线段的垂直平分线为， 同理线段的垂直平分线为， 设， 因点是的外心，则有， 则是方程， 即的两个根， 则，， 故，， 两式作商得，， 得，则， 即直线与直线的斜率之积为定值. 3．（2025·湖北·模拟预测）对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用A，B关于点P“-共轭”的定义计算得解. （2）利用A，B为点P的“-共轭点对”的定义列出方程组，再判断方程组有解即可. （3）利用（2）的信息求出直线方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理、结合三角形面积公式求出函数关系，借助对勾函数单调性求出最大值. 【详解】（1）依题意，， 则，，而， 因此，，所以点. （2）设，，，并记， 则，因此， 即， 于是，即， 因此只要证明方程组有解即可，令，，，， 则只要证明方程组有解即可，而点P在椭圆外，则，即， 圆的圆心到直线的距离， 因此直线和圆相交，即方程组有解， 所以存在点A，B使得它们关于点P构成“-共轭点对”. （3）设，，，由（2）知直线的方程为， 由消去得，， 又，则 ，令，函数在上单调递增， 当时，，即当时，， 所以面积的最大值为.    4．（2025·山东滨州·二模）在平面直角坐标系中，设，规定：点叫做点的仿射对应点．已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设是曲线上的两点，的仿射对应点分别为．和的面积分别记为．求； (3)设是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）点的的仿射对应点为，根据仿射点的关系得，代入即得椭圆方程； （2）设，则，利用向量法及三角形面积公式求得，及，即可求解； （3）设的仿射对应点分别为，根据（2）的结论得的面积为，设，然后利用三角形面积求得，进而有，结合得，进而利用仿射点的关系得，得证. 【详解】（1）设为上任意一点，点的的仿射对应点为， 则，所以，又因为在上，从而得， 所以点Q的轨迹方程为； （2）设，则， 因为，所以 ， 同理，所以； （3）设的仿射对应点分别为， 由（2）可知：由的面积为得的面积为，设， 从而的面积为，所以， 又，所以， 又因为均在上，所以， 又，所以，所以， 所以，又， 所以. 5．（24-25高二下·浙江·月考）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似. (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆与椭圆的相似比为，当时，求椭圆的方程； (3)当时，设椭圆的左顶点为，右顶点为，且椭圆过点作两条斜率为的直线分别交椭圆于（异于）两点，设在轴的上方，过点作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆和椭圆的方程，求两椭圆的长轴长，短轴长，焦距，根据两椭圆相似，结合椭圆相似的定义列方程求关系，由此可得椭圆的离心率； （2）由（1）结合相似比列方程可求，由此可得椭圆方程； （3）设，直线的方程为，联立方程组消可得关系，再求，再求的值. 【详解】（1）对于椭圆，则长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率. （2）因为， 由（1），可得， 解得， 所以为； （3）设，由对称性可得， 设，则 由消得，， 方程的判别式， 由已知为方程的根， 所以， 所以， ，， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式； （5）代入韦达定理求解. 6．（2025·江西萍乡·一模）如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据等差椭圆的定义，结合构造齐次式即可得解； （2）（ⅰ）设切线方程，分别联立椭圆方程和抛物线方程，利用判别式求解即可；（ⅱ）利用点差法求，利用韦达定理求出点坐标，然后可解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c， 因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以， 又，所以，则， 两边同时除以，得，解得（舍去）. 所以“等差椭圆”的离心率为. （2）（ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且， 则由，得，则，，解得. 故，. 易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：. 联立消去y得， 则，得；① 联立消去得， 则，得，② 联立①②，解得或 故和都相切的直线方程为或. （ⅱ）证明：设l与相交于，， 线段CD的中点，则，， 两式相减，得， 所以，即， 由已知，，所以， 即，则 联立得， 又，则， 故， 所以中点的坐标为，可得， 所以，为N定值. 【点睛】关键点睛：本题关键在于灵活利用点差法求出，降低计算量，再由中点坐标公式和韦达定理求点N坐标即可得解. 13 / 120 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线和圆锥曲线的位置关系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆锥曲线位置关系的判定（基础必考点） 基础目标：能熟练联立方程，准确用判别式判定椭圆、抛物线与直线的位置关系，准确率达100%. 能力目标：主动考虑“直线斜率不存在”“双曲线渐近线”等特殊场景，避免漏判、误判. 题型分布：选择题/填空题（1题，5分）+解答题第一问（铺垫作用，3-4分），总分值8-9分. 考查频率：期末必考点，无试卷例外 命题陷阱：常设“直线垂直x轴”“双曲线与渐近线平行”的干扰项，考查细节处理能力 载体偏好：椭圆（基础判定）、双曲线（特殊情况）、抛物线（斜率范围求解）. 弦长问题（高频解答考点） 基础目标：能根据曲线类型选择弦长公式，代入数据准确计算（计算失误率≤5%） 能力目标：结合三角形面积公式，解决综合计算问题. 题型分布：解答题第二问（核心得分点，4-5分），少数情况出现在填空题 考查频率：高频考点，90%以上试卷会涉及 载体偏好：椭圆（最主要，计算量适中）、抛物线（焦点弦特例常考） 得分难点：计算过程中忽略“先验证”（弦长存在的前提），导致步骤不完整扣分. 中点弦问题（中频考点） 基础目标：能独立用两种方法求解“已知中点求直线”“已知直线求中点”的基础问题 能力目标：主动验证中点弦的存在性（如判断中点是否在椭圆内部），避免“不存在的弦”的错误结论. 题型分布：选择题/填空题（1题，5分）或解答题第一问（3-4分） 考查频率：中频，60%-70%试卷会考查. 命题特点：常给出“中点坐标”“弦过定点”等条件，直接套用方法即可求解，难度中等. 易错陷阱：双曲线中点弦中，忽略“中点与原点连线平行于渐近线时无弦”的情况. 定点/定值问题（压轴高频考点） 基础目标：掌握“参数分离”“特殊值验证”的核心思路，能在提示下完成证明. 能力目标：独立分析含参数的表达式，规范书写“设参→化简→求解”的步骤，突破压轴问. 题型分布：解答题压轴问（最后1问，5-6分） 考查频率：高频，80%以上试卷以压轴形式考查 载体偏好：椭圆（最主要，性质稳定易化简）、抛物线（焦点相关定值常考） 难度梯度：前半步骤（设参、联立）较基础，后半步骤（化简消参）需技巧，区分度高. 最值/范围问题（选考压轴考点） 基础目标：能针对单一类型问题（如长度最值），选择一种方法求解 能力目标：根据题目条件灵活选择最优方法（如“面积范围”优先用函数法，“距离最值”优先用几何法），规范书写范围推导过程. 题型分布：仅部分试卷（约40%-50%）的解答题压轴问考查 考查频率：选考，非必考点 载体偏好：椭圆（最主要，几何性质易结合）、抛物线（参数范围问题常考） 得分关键：明确变量的取值范围（如椭圆上点的横坐标），避免函数求最值时忽略定义域. 综合应用（辅助考点） 基础目标：能将向量、斜率条件转化为代数等式（如转化为） 能力目标：结合弦长、中点弦等考点，解决“向量条件+长度/面积”的综合问题. 题型分布：不单独出题，作为其他考点的“附加条件”考查（如“弦长问题+向量垂直”“定点问题+斜率乘积”） 考查频率：辅助高频，几乎所有综合题都会涉及 命题特点：通过向量、斜率条件增加题目综合性，但转化难度低，核心仍在基础考点 载体偏好：椭圆（向量结合最频繁）、抛物线（斜率相关较简单）. 一、考点1：位置关系的判定（基础必考点） 1.基础知识点 判定核心逻辑：通过“直线方程与圆锥曲线方程联立→消去一个变量（如）→得到整式方程（一元一次/一元二次）→分析方程解的个数”判断位置关系. 三类整式方程处理： 一元一次方程（如联立后得，）：1个解→直线与曲线相交（特殊：双曲线中可能是与渐近线平行）. 一元二次方程（，）：通过判别式判断解的个数. 无实数解的整式方程：直线与曲线相离. 特殊场景： 直线斜率不存在（垂直轴，方程为）：直接代入曲线方程，看的解是否存在及个数. 双曲线（如）：直线与渐近线（）平行时，联立得一元一次方程，仅有1个交点（仍属相交，非相切）. 2.核心概念与公式 判别式公式（仅一元二次方程）： ：2个不同实数解→直线与曲线相交. ：1个实数解（重根）→直线与曲线相切. ：无实数解→直线与曲线相离. 双曲线渐近线方程（标准式）：的渐近线为；的渐近线为. 3.易错点 联立方程后未先判断整式方程类型（一元一次/二次），直接用判别式（如直线与双曲线渐近线平行时，得一元一次方程，无判别式，易误判为“无交点”或“相切”）. 忽略直线斜率不存在的情况（如判断“与椭圆的位置关系”，易漏代入直接用斜率分析，导致错判）. 计算判别式时符号错误（如展开时，误算为，正确应为）. 4.常考结论 椭圆（，）与直线相交的条件：（联立后化简结果，可直接用）. 抛物线（，）与直线相切的条件：（联立后化简结果）. 双曲线（）与直线有两个交点的条件：且（排除与渐近线平行的情况）. 二、考点2：弦长问题（高频解答考点） 1.基础知识点 弦长定义：直线与曲线相交，两个交点间的线段长度. 核心计算思路： 方法1：先求两交点坐标、，再用距离公式（计算量大，少用）. 方法2：联立方程得一元二次方程，用韦达定理和判别式简化计算（通用方法，必掌握）. 焦点弦特殊情况：过圆锥曲线焦点的弦（如抛物线的焦点，椭圆的右焦点），有专属简化公式. 2.核心概念与公式 通用弦长公式（直线斜率为，联立后一元二次方程，）： 推导依据：，. 公式：. 若直线斜率不存在（）：弦长（代入曲线方程得的两个解，作差取绝对值）. 抛物线焦点弦公式（，）： 若焦点弦端点为、，则. 若焦点弦斜率为，则（垂直轴时不存在，弦长，即通径）. 韦达定理公式：，（用于计算，避免求交点）. 3.易错点 计算弦长前未验证（弦长存在的前提是直线与曲线相交，无交点则无弦长，步骤不写会扣分）. 混淆“直线斜率存在/不存在”的公式（如直线与抛物线的弦长，误代入公式，正确应为直接求）. 抛物线焦点弦公式记错开口方向（如（）的焦点弦长，误用，正确应为）. 根号内计算错误（如，误算为，漏乘5到）. 4.常考结论 椭圆（）的通径（垂直长轴的焦点弦）长度：（常考最短焦点弦）. 抛物线的焦点弦性质：，（可快速计算焦点弦长或斜率）. 直线过定点与椭圆相交，弦长最大值为椭圆长轴长（当直线过椭圆中心时）. 三、考点3：中点弦问题（中频考点） 1.基础知识点 中点弦定义：过某点且以该点为中点的圆锥曲线的弦（如“以为中点的椭圆弦”）. 两种核心求解方法： 方法1：联立方程+韦达定理（普适性强，适用于所有曲线） 步骤：设直线方程（如）→联立曲线方程→得一元二次方程→用韦达定理→解出→得直线方程. 方法2：点差法（计算量小，适用于椭圆、双曲线、抛物线，需验证） 步骤：设弦端点、，中点→代入曲线方程→两式相减→用，和→推导与的关系→得直线方程. 关键验证：点差法求出直线后，需联立曲线方程验证（避免“不存在的弦”，如中点在椭圆外时无弦）. 2.核心概念与公式 点差法推导的斜率公式（核心）： 椭圆：中点弦斜率（为中点，）. 双曲线：中点弦斜率（）. 抛物线：中点弦斜率（，为中点）. 韦达定理与中点关系：，（为联立后一元二次方程二次项系数，为一次项系数）. 3.易错点 点差法求出直线后，未验证（如“求以为中点的椭圆的弦”，用点差法得直线，但代入椭圆无解，实际无此弦，漏验证会错答）. 忽略中点在曲线内部的隐含条件： 椭圆中点弦：中点需满足（在椭圆内部），否则无弦. 抛物线中点弦：中点需满足（在抛物线内部）. 点差法中分母为0的情况（如中点，椭圆点差法斜率公式分母，此时直线垂直轴，需单独设求解）. 4.常考结论 椭圆中，若中点弦过原点，则弦为椭圆直径，此时弦的斜率与端点坐标满足（为弦的一个端点坐标），且弦长最大值为（长轴）. 抛物线（）的中点弦：若弦过定点，则中点满足（推导自点差法，可直接用于求中点轨迹方程）. 双曲线中点弦不存在的特殊情况：当中点与原点连线的斜率（即平行于渐近线）时，无满足条件的中点弦. 四、考点4：定点/定值问题（压轴高频考点） 1.基础知识点 定点定义：直线或曲线在参数（如斜率、截距）变化时，始终经过的固定点（坐标与参数无关）. 定值定义：含变量（如交点坐标、直线斜率）的表达式，其值始终为常数（与变量无关）. 核心处理思路： 定点问题：设含参数的方程（如直线，其中与存在关联）→整理为“参数×+=0”的形式→令且，解方程组得定点坐标. 定值问题：设变量（如直线斜率、交点横坐标）→用韦达定理或曲线方程化简目标表达式→消去变量，证明结果为常数. 常用辅助技巧：特殊值法（先取2个特殊参数值，求对应直线/曲线的交点，即为疑似定点；定值可先算特殊情况的值，再证明一般情况）. 2.核心概念与公式 参数分离通用形式（以直线含参数为例）： 若直线方程整理为，则定点满足. 示例：直线可整理为，定点为. 定值化简常用公式： 韦达定理：，（联立后一元二次方程）. 椭圆/抛物线方程代入：如椭圆上点满足，可用于替换化简. 向量相关定值转化：若涉及（为原点），则，可结合韦达定理化简为定值. 3.易错点 参数分离不彻底（如直线，误整理为，未消去分母，正确应为，再按和分离参数）. 特殊值法仅取1个特殊情况（如仅取求直线，无法确定定点，需取和，求两直线交点）. 定值化简时忽略曲线方程代入（如椭圆中未用替换，导致无法消去变量）. 忘记验证“一般情况”（特殊值法求出定点/定值后，需证明对任意参数/变量均成立，否则步骤不完整）. 4.常考结论 椭圆中，过定点的直线与椭圆交于两点，若（定点在椭圆上），则直线恒过定点（即定点本身）. 抛物线（）的焦点弦：（定值，与焦点弦斜率无关）. 椭圆中，若在椭圆上且（为原点），则原点到直线的距离（定值）. 五、考点5：最值/范围问题（选考压轴考点） 1.基础知识点 常见类型： 长度最值：椭圆/双曲线上一点到定直线的距离最值、过定点的直线与曲线相交的弦长最值. 面积范围：以曲线弦为底、定点为顶点的三角形面积范围（如，为原点）、曲线内接四边形面积范围. 参数范围：直线斜率/截距的取值范围（如直线与曲线有交点时）、曲线交点横/纵坐标的范围. 核心求解方法： 函数法：设变量（如点的横坐标、直线斜率）→将目标量（如距离、面积）表示为变量的函数→求函数在定义域内的最值/范围. 不等式法：用基本不等式（，）或二次不等式（判别式）求范围. 几何法：数形结合，利用曲线几何性质（如椭圆的范围、）或圆的半径/距离性质. 2.核心概念与公式 长度最值相关公式： 点到直线的距离：（椭圆上点到定直线的距离最值，可设点坐标为椭圆参数形式，，转化为三角函数最值）. 弦长公式：（弦长最值可结合判别式或函数单调性求解）. 面积范围相关公式： 三角形面积：（底为弦长，高为定点到直线的距离）. （，）面积：（避免求距离，直接用坐标计算）. 函数最值公式：二次函数（）在上的最值：若对称轴，则最值在顶点或端点；若对称轴不在区间内，最值在端点. 3.易错点 函数法中忽略变量定义域（如椭圆上点的横坐标，求二次函数的最值时，误按全体实数求顶点最值，未结合的范围）. 基本不等式应用不满足“三相等”条件（如求的最大值，误直接用，但未验证即是否在定义域内）. 几何法中误解最值的几何意义（如椭圆上点到定点的距离最值，误认为是定点到椭圆中心的距离加减半径，正确应为结合椭圆参数方程或函数法求解）. 面积范围计算时漏乘系数（如面积公式误写为，遗漏）. 4.常考结论 椭圆上一点到定直线的最短距离：（当直线与椭圆相离时，若相交则最短距离为0）. 过椭圆中心的弦（直径）为底时，椭圆内接三角形面积最大值：（高最大为短半轴或长半轴，取决于底的方向）. 抛物线（）上一点到定点的距离最小值：当时，最小值为；当时，最小值为. 六、考点6：综合应用（辅助考点） 1.基础知识点 向量与圆锥曲线结合：通过向量条件（垂直、共线、数量积定值）转化为代数关系，结合弦长、中点弦等考点求解. 斜率与圆锥曲线结合：利用斜率乘积/和为定值的条件，推导直线过定点或弦的性质. 核心转化逻辑：将几何条件（向量、斜率）转化为代数等式→联立曲线方程→用韦达定理或基础考点方法（如弦长、中点弦）求解. 2.核心概念与公式 向量条件转化公式： 向量垂直：. 向量共线：（为实数）且. 向量数量积定值：（为常数）. 斜率相关转化公式： 斜率乘积定值：（为常数）. 斜率和定值：（为常数）. 3.易错点 向量垂直转化错误（如误写为，正确应为）. 斜率计算忽略“分母为0”的情况（如时，不存在，需单独讨论在轴上的情况）. 综合题中思路混乱（未拆解考点，如“向量垂直+弦长”问题，应先转化向量条件得，再结合韦达定理求弦长，分步求解）. 代入曲线方程时符号错误（如双曲线方程，代入点坐标时误写为，导致后续计算全错）. 4.常考结论 椭圆中，若（为原点），则弦长的最小值为，最大值为（长轴）. 抛物线（）中，若直线过定点且，则（定点为抛物线的准线与轴交点的对称点）. 双曲线中，若（渐近线斜率平方），则直线恒过原点. 题型一 直接判定直线与曲线的位置关系（选择/填空/解答第一问，基础必考） 解｜题｜技｜巧 1.联立方程：设直线方程（如，若斜率可能不存在，需单独讨论）与圆锥曲线方程，消去（或）得整式方程（或）. 2.判断方程类型： 若为一元一次方程（二次项系数为0）： →有1个解→相交（双曲线中需注明“与渐近线平行”）. 若为一元二次方程（二次项系数）： →计算判别式（为方程的系数）. 3.下结论： →相交；→相切；→相离. 4.特殊情况补充：若直线斜率不存在（如），直接代入曲线方程得的解，解的个数对应位置关系. 【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； 【典例2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【变式1】（24-25高二上·内蒙古兴安盟·月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，． (1)求的值； (2)求直线与C的公共点个数. 【变式2】（2024·上海闵行·一模）已知圆，双曲线，直线，其中． (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； 题型二 求直线与曲线有交点时参数（斜率/截距）的范围（解答第一问，基础必考） 答｜题｜模｜板 1.设参数：设直线参数（如斜率、截距），写出直线方程（斜率不存在时单独讨论）. 2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程（，否则无两个交点）. 3.列不等式：由“有交点”得（相交2个点用，相切1个点用），代入整理不等式. 4.求解范围：解不等式得参数范围，若有特殊情况（如双曲线需排除与渐近线平行的斜率），补充排除条件. 5.综上：写出参数的最终取值范围. 【典例1】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围； 【典例2】（2025高二上·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； 【变式2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程C； (2)若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值. 题型三 求通用弦长（直线与椭圆/双曲线/抛物线相交的弦长，解答第二问，高频） 答｜题｜模｜板 1.前置判定：先联立直线与曲线方程，验证（确保弦存在，步骤必写，避免扣分）. 2.用韦达定理：设弦端点、，由一元二次方程得： ，，计算. 3.代弦长公式： 若直线斜率存在：. 若直线斜率不存在（）：（代入曲线方程得，作差取绝对值）. 4.计算结果：代入数据化简，得弦长具体数值或含参数的表达式. 【典例1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，求线段的长． 【典例2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 【变式1】（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 【变式2】（25-26高二上·上海松江·期中）已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【变式3】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 题型四 求抛物线焦点弦长（解答第二问，高频，结合焦点性质） 答｜题｜模｜板 1.确定抛物线与焦点：明确抛物线方程（如，焦点），判断直线是否过焦点. 2.选公式： 已知端点坐标：用（或，若抛物线开口向上/向下）. 已知直线斜率：用（垂直轴时不存在，弦长）. 3.补全计算：若未知或，联立焦点弦方程与抛物线方程，用韦达定理求，再代入公式. 4.得结果：化简计算，写出焦点弦长. 【典例1】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上的动点到直线距离的最小值为. (1)求的值； (2)过焦点的直线与交于两点，若，试说明直线与的位置关系. 【典例2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程； (2)求的最小值． 【变式1】（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 【变式2】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，求直线的倾斜角. 题型五 已知直线求弦的中点坐标（选择/填空，中频） 答｜题｜模｜板 1.设直线方程：已知直线斜率或截距，写出直线方程（如）. 2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程，验证. 3.用韦达定理求中点横坐标：. 4.求中点纵坐标：将代入直线方程，得. 5.写中点：最终中点坐标为. 【典例1】（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）求直线被抛物线截得线段的中点坐标． 【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【变式3】（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 题型六 已知中点求弦所在直线方程（解答第一问，中频） 答｜题｜模｜板 1.设点：设弦端点、，中点（已知条件给出）. 2.代入曲线：将代入圆锥曲线方程，得两个等式： 椭圆：，； 抛物线：，. 3.作差推导斜率：两式相减，整理得： 椭圆：， 代入，，，得（椭圆）； 抛物线：（抛物线）. 4.写直线方程：用点斜式，整理为一般式. 5.验证：联立直线与曲线方程，计算，确认弦存在（若，说明无此弦）. 【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【典例2】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【变式1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于点，且点是线段的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）为椭圆内一定点，过点作一弦，使此弦被点平分，求此弦所在直线的方程． 题型七 求直线斜率的取值范围 答｜题｜模｜板 1.设直线方程：设直线为（已知或与有关）. 2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程（）. 3.列不等式：由“直线与曲线有交点”（或题目条件，如“弦长≥2”）得（或对应不等式），代入，整理为关于的不等式. 4.解不等式：求解一元二次不等式（或分式不等式），得的取值范围. 5.补充特殊情况：若直线斜率不存在时符合条件，需加入范围 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点． (1)求椭圆E的方程． (2)直线与椭圆E相交于A，B两点，O为原点，在OA，OB上分别存在异于点的点M，N，使得点O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围． 【典例2】（24-25高二上·江西·期中）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点． (1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围； (2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围． 【变式1】（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点，求该直线斜率的取值范围. 【变式2】（2025·福建厦门·三模）焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率； (3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知，为双曲线：的左、右焦点，在抛物线的准线上，且点在的一条渐近线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若，求直线斜率的取值范围． 题型八 求椭圆/双曲线/抛物线上一点到定直线的距离最值（解答压轴问，选考） 答｜题｜模｜板 1.设参数坐标：用椭圆参数方程设点，如椭圆上一点为（为参数）. 2.写距离公式：代入点到直线距离公式，得： . 3.化简三角函数：将分子整理为（其中，为辅助角）. 4.求最值：利用，得： 最大值：； 最小值：（若直线与椭圆相离，最小值为）. 【典例1】（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为 ． 【典例2】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为 . 【变式1】（24-25高二下·浙江·月考）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为 ． 【变式2】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 题型九 求的面积范围（解答压轴问） 答｜题｜模｜板 1.设直线方程：设直线为（斜率不存在时单独讨论），联立与曲线方程，验证. 2.求弦长与高： 弦长； 原点到直线的距离. 3.写面积表达式：. 4.转化为单变量函数：利用联立方程中与的关系（如椭圆中），消去一个变量（如），得关于的函数. 5.求范围：根据变量定义域（如），结合二次函数或基本不等式求的取值范围. 【典例1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于A、B两点，求（为原点）面积的最大值. 【典例2】（2025·山东济南·一模）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. (1)求的渐近线方程： (2)求面积S的最小值： (3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 【变式2】（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足． (1)化简曲线的方程； (2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值． 【变式3】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知椭圆离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 题型十 证明表达式为定值（解答压轴问，高频） 答｜题｜模｜板 1.设变量：设目标表达式中的变量（如直线斜率、交点坐标），写出目标表达式（如）. 2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程，用韦达定理得，. 3.化简目标表达式：将、（或曲线方程）代入目标表达式，如： . 4.消去变量：展开并代入韦达定理结果，化简后消去、等变量，得到常数（如）. 5.下结论：说明表达式的值与变量无关，即为定值. 【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和． (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线和直线的斜率分别为和都存在时，证明：为定值； (3)若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值． 【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且. （1）求的方程. （2）是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求点的坐标（用表示）； （ii）证明：为定值. 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【变式2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)点为双曲线的左右顶点，为双曲线上异于的点，求的值； (3)点在双曲线上，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 【变式3】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点. （i）当时，求； （ii）求点与点的纵坐标的比值. 题型十一 证明直线/曲线过定点（解答压轴问，高频） 答｜题｜模｜板 1.设含参方程：设直线方程（如，其中与有关联，或设参数的直线方程）. 2.联立化简：联立直线与曲线方程，利用韦达定理或曲线性质，推导与的关系（如）. 3.参数分离：将直线方程整理为“参数×表达式1+表达式2=0”，如整理为. 4.求定点：令两个表达式均为0，解方程组：，得定点. 5.验证：取2个特殊参数值（如、），求对应直线的交点（如时直线为，时直线为，交点为），与步骤4求得的定点一致，证明直线恒过该定点. 【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 【典例2】（25-26高二上·河南·期中）已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【变式1】（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 题型十二 向量垂直（）结合弦长/面积（解答综合问，高频） 答｜题｜模｜板 1.转化向量条件：由得核心等式（必写推导依据：向量垂直则数量积为0）. 2.联立与韦达：设直线方程为（斜率不存在时单独讨论），联立与圆锥曲线方程（如椭圆），得一元二次方程，验证（确保交点存在），由韦达定理得： ，. 3.代入向量等式化简：将、代入，展开整理： →， 代入韦达定理结果，得到与的关系式（如，椭圆场景）. 4.结合目标考点计算： 若求弦长：代入通用弦长公式，将步骤3中与的关系代入，化简得弦长（可能为定值或含参数表达式）. 若求面积：先求原点到直线的距离，再用面积公式，代入和的表达式，结合与的关系化简（常为定值或可求范围）. 5.补充特殊情况：若直线斜率不存在（），代入曲线方程得，由得，结合曲线方程求解，验证是否符合条件，避免漏解. 6.总结结果：写出弦长或面积的最终值（或范围），明确是否需舍去不符合的情况. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）设为坐标原点，若椭圆与直线交于两点，且，圆过点． (1)求的方程及圆的半径； (2)若点在上，且，判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【典例2】（24-25高二上·辽宁·月考）“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线.设函数，若将其图象看成双曲线. (1)求双曲线的焦点坐标； (2)将双曲线绕着坐标原点O顺时针旋转，使焦点落到x轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，当时，求直线l的方程. 【变式1】（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式2】（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积. 【变式3】（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； 题型十三 斜率乘积/和为定值结合定点（解答压轴综合问，中频） 答｜题｜模｜板 1.明确斜率条件：设题目给出的斜率定值（如，为常数，椭圆中常为），转化为代数等式： →. 2.设直线方程：设直线的方程为（或斜截式，避免讨论斜率不存在），联立与曲线方程得一元二次方程（或），验证，得韦达定理结果. 3.代入斜率等式化简：将、（或、）代入，展开后代入韦达定理，整理得参数关系（如，为常数）. 4.分析定点/定值： 若证直线过定点：将参数关系代入直线方程，整理为“参数×表达式1+表达式2=0”（如），令表达式1和2为0，解得定点（如）. 若证其他定值：结合步骤3的参数关系，代入目标表达式（如、，为定点），化简得常数. 5.验证特殊情况：当直线斜率为0（或垂直x轴）时，代入验证是否符合结论，确保通用性. 6.下结论：明确直线过定点或表达式为定值，完整书写解题结果. 【典例1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【典例2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【变式1】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点. (1)求C的方程； (2)设直线AM，BN的斜率分别为，，若，求证：直线MN恒过定点. 【变式2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【变式3】（25-26高三上·湖北·期中）已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. (1)设直线、的斜率分别为、，求的值； (2)求证：直线过定点； (3)设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 期末基础通关练（测试时间：45分钟） 一、解答题 1．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 4．（25-26高二上·安徽·期中）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点. (1)求的方程； (2)设直线与的斜率分别为，，. ①证明：直线的斜率为定值； ②若的面积为6，求所在直线方程. 5．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 6．（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 8．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 期末重难突破练（测试时间：120分钟） 一、解答题 1．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得. (1)求抛物线C的方程； (2)已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程. 2．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右顶点，若直线与椭圆有唯一的公共点(在第一象限)，直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点(为原点)，且，求直线的方程. 3．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 4．（25-26高三上·河北承德·期中）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆上的动点，求的取值范围; (3)若点在椭圆上，点在直线上，且 (O为坐标原点)，判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 5．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 6．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 7．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 8．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 9．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 10．（25-26高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 期末综合拓展练（测试时间：120分钟） 一、解答题 1．（25-26高二上·上海松江·期中）由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比；如图1，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为A，B的椭圆；如图2，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为，的椭圆；若与相似，则称椭圆，是“相似椭圆”，三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”；若是，求出相似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆的一个“相似椭圆”； (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (3)若椭圆与椭圆相似，相似比是，直线与椭圆，交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上． 2．（2025·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 3．（2025·湖北·模拟预测）对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 4．（2025·山东滨州·二模）在平面直角坐标系中，设，规定：点叫做点的仿射对应点．已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设是曲线上的两点，的仿射对应点分别为．和的面积分别记为．求； (3)设是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值． 5．（24-25高二下·浙江·月考）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似. (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆与椭圆的相似比为，当时，求椭圆的方程； (3)当时，设椭圆的左顶点为，右顶点为，且椭圆过点作两条斜率为的直线分别交椭圆于（异于）两点，设在轴的上方，过点作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点，求的值. 6．（2025·江西萍乡·一模）如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $