精品解析：四川省泸州市古蔺县茅溪镇初级中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

茅溪中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B 2. 将方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 通过移项即可整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 3. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【详解】根据中心对称的性质，得点关于原点的对称点的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 4. 方程配方成的形式后，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行配方即可． 本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， ， 则， 故选：A． 5. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，令从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 令，则 抛物线与y轴的交点坐标是 故选：D 6. 已知二次函数，则其顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一般式转化为顶点式，即可得出结果． 本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为：， 故选：C． 7. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由m，n是方程的两个实数根 ，得，，将所求式子变形后整体代入即可． 【详解】解∶∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选∶C． 8. 已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是, 故选：C． 9. 如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　） A. B. C. 点A的对称点是点 D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据中心对称的性质解决问题即可． 解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 10. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11. 如图，菱形的对角线交于原点O，，将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键． 首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点在第三象限，过点作轴于点，延长到点，使，过点作轴于点，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】解：将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，， 旋转4次后回到原来的位置， ， 第2023次旋转结束时，点在第三象限， 如图：过点作轴于点，延长到点，使，过点作轴于点， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 12. 二次函数，线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及其性质、线段平移规律，根据线段平移特点求出坐标，再讨论二次函数与线段一个交点的情况，利用排除法即可求解． 【详解】解：，，线段向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴直线解析式为， 二次函数， 当图象过点时，将坐标代入函数式，得，解得， 此时联立解得， ∵， ∴与抛物线有两个交点，故不符合条件； 故排除D选项； 当图象过点时，将坐标代入函数式，得，解得， 此时联立解得， ∵， ∴与抛物线只有一个交点，故符合条件； 故排除A选项； 当时，联立解得， ∵， ∴与抛物线只有一个交点，故符合条件； 故排除B选项． 故选：C． 二、填空题（12分） 13. 如果关于x的函数是二次函数，则m＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，可得且，即可求解． 【详解】解：由题意得：且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式为是解题的关键． 14. 点与点关于原点对称，则 __________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中，正确的结论有 _____ 个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，则可判断①符合题意；由当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意． 【详解】解：观察图象，可知， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①结论正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴当时，，即，故②结论正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③结论正确； 当时，函数有最大值， 若m为任意实数，则， ∴，故④结论不正确， 综上，正确的结论有3个． 故答案为：3． 16. 如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ， 18. ，是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系作答即可； （2）将化为，进而计算即可． 【小问1详解】 解：对于，其中，， ， ； 【小问2详解】 解：． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出点B1的坐标； （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出的坐标． 【答案】（1） 如图所示：即为所求，点B1的坐标为 （2） 如图所示：即为所求，点B2的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据平移方式可确定对应点的坐标，即可完成作图； （2）关于原点对称的各点：横、纵坐标均互为相反数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平移和中心对称作图．确定对应点的坐标是解题关键． 20. 如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A，M，C三点的抛物线．其中A点离地面2米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面米，离守门员的水平距离为4米，点C是球落地时的第一点．求足球第一次落地点C距守门员的水平距离． 【答案】足球第一次落地点C距守门员的水平距离为10米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由顶点，则可设抛物线的顶点式为：，结合抛物线过，从而，可得，进而求出解析式，又令，从而可以计算得解． 【详解】解：由题意，顶点， 可设抛物线的顶点式为： 又抛物线过， 又令，代入解析式得，， 或不合题意，舍去 足球第一次落地点C距守门员的水平距离为10米． 21. 如图，有一段长的旧围墙，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用长的篱笆围成一块长方形场地． （1）怎样围成一个面积为的长方形场地？ （2）长方形场地面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）能围成一个长，宽的长方形场地 （2）长方形场地面积不能达到，理由： 设，则，依题意得 整理得   故方程没有实数根， 答：长方形场地面积不能达到． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意数形结合思想的运用，同学们要加强训练． （1）首先设垂直于墙的一边的长为x 米，然后根据题意可得方程，即可求得x的值，又由墙长，可得，则问题得解； （2）设，则，进而表示出长方形场地面积，利用根的判别式得出即可． 【小问1详解】 解：设，则，依题意得： ， 整理得  ， 解得  ，， 当时，， 当时    （不合题意，舍去） 答：能围成一个长，宽的长方形场地； 【小问2详解】 略 22. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）m的值为3或 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 23. 如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：在正方形中，有，，， 根据旋转的性质，可知：， ∴，，， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明即可得解； （2）设，可得，，进而可得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，有， ∴， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 24. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出4瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量为y瓶，利润为w元． （1）写出每天销售量y与x之间的函数关系式． （2）若这款洗手液的日销售利润w达到312元，则销售单价应上涨多少元？ （3）当销售单价上涨多少元时(物价部门规定销售单价不得高于24元)，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应上涨2元或9元 （3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利润为352元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据“销售单价每上涨1元，则每天少售出4瓶”可知每天的销售量为瓶，据此即可解答； （2）利用这款洗手液的日销售利润等于每瓶洗手液的利润乘以每天的销售量，据此得出关于x的一元二次方程求解； （3）先求出的取值范围，利用这款洗手液的日销售利润等于每瓶洗手液的利润列出每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值即可． 【小问1详解】 解：设这款洗手液的销售单价上涨x元， 根据题意得：， 即每天销售量y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：这款洗手液的日销售利润w达到312元时，依题意得： ， 整理得：， 解得：，． 答：销售单价应上涨2元或9元； 【小问3详解】 解：∵物价部门规定销售单价不得高于24元， ∴， ∴， 即， 由题意得：， ∵，， ∴当时，w最大，最大值为352． 答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利为352元． 25. 如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，M点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，即可作答； （2）设与x轴交于E，得到，求得，解方程组，即可得到结论； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程，求出M点的横坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． ∴将代入 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：依题意，设与x轴交于E， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，则， 即， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得或（不合题意舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：依题意，设，， 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 由（2）得， ∵ ∴ 整理得， 解得（舍去）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 ∴， 整理得， 解得（舍）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 同理得， 解得或， 把代入，得； 把代入，得； ∴或 综上所述：M点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形的综合，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茅溪中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 方程配方成的形式后，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，则其顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 8. 已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　） A. B. C. 点A的对称点是点 D. 10. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 11. 如图，菱形的对角线交于原点O，，将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数，线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（12分） 13. 如果关于x的函数是二次函数，则m＝_____． 14. 点与点关于原点对称，则 __________． 15. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中，正确的结论有 _____ 个． 16. 如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是__________． 三、解答题（72分） 17. 解方程： （1）； （2） 18. ，是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出点B1的坐标； （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出的坐标． 20. 如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A，M，C三点的抛物线．其中A点离地面2米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面米，离守门员的水平距离为4米，点C是球落地时的第一点．求足球第一次落地点C距守门员的水平距离． 21. 如图，有一段长的旧围墙，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用长的篱笆围成一块长方形场地． （1）怎样围成一个面积为的长方形场地？ （2）长方形场地面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 22. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 23. 如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 24. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出4瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量为y瓶，利润为w元． （1）写出每天销售量y与x之间的函数关系式． （2）若这款洗手液的日销售利润w达到312元，则销售单价应上涨多少元？ （3）当销售单价上涨多少元时(物价部门规定销售单价不得高于24元)，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利润为多少元？ 25. 如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $