1.2.1 二次函数的图象 课件 2025-2026学年 浙教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过复习正比例、一次、反比例函数的图象导入，搭建知识支架，引导学生从已有函数认知自然过渡到二次函数学习。 其亮点在于以描点法为核心，结合列表、描点、连线步骤培养几何直观，通过对比不同a值抛物线的开口特征发展推理意识，例题与练习强化模型应用。学生能提升画图与性质分析能力，教师可借助清晰结构高效教学。

1.2.1 二次函数的图象 浙教版 1 一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。 二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。 正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点的直线。 一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线。 三、反比例函数 （k ≠ 0）其图象又是什么。 反比例函数（k ≠ 0）其图象是双曲线。 导入新课 2 铅球推出以后沿着怎样的一条曲线运动？你能用二次函数的表达式来描述这条曲线吗？ 想一想： 新知讲解 3 新知讲解 x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 … y … 0 1 … 按下列步骤用描点法画二次函数y＝的图象 1.完成自变量与函数的对应值表 12.25 9 4 1 4 9 12.25 注意：列表时自变量 取值要均匀和对称。 4 新知讲解 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 2、建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。 3、用光滑曲线顺次连结各点 5 归纳总结 画二次函数的图象一般用描点法，分为以下三步： (1)列表：观察y＝ax2(a≠0)的表达式，选择适当的自 变量x的值，并计算相应的函数值y，为了计算方便， x一般取整数． (2)描点：在直角坐标系中描出各点； (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点． 函数图象画法 列表 描点 连线 描点法 6 新知讲解 观察： 1、二次函数的图象像什么？ 2、图象是否是对称图形，对称轴是什么？ 3、什么是图象的顶点？ 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 7 归纳总结 二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。 8 自主练习 在同一直角坐标系中，画出函数y= x2 ，y=2x2 的图象 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· 8 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 4.5 x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 4.5 8 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 9 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 2、在坐标图中找出各点坐标，然后连结各点 函数，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？ 相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴 不同点：a 要越大，抛物线的开口越小． x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 在同一个坐标系中画出二次函数 和的图象。 1. 列自变量y与函数x的对应值表. 想一想 2. 描点， 并用光滑曲线顺次连结各点， 即可得到函数与 的图象 想一想 二次函数的图象与的图象关于什么对称？如果已知的图象，你认为可怎样更方便地得到的图象？ 抛物线 y=x2 y=-x2 对称轴 顶点坐标 位置 开口方向 最值 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外） 向上 向下 当x=0时，最小值为0 当x=0时，最大值为0 填一填 归纳总结 二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 二次函数的性质： 例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式. (2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置. 例题解析 解：(1)把点(-2，-3)的坐标代入，得-3=， 解得：a=- 这个二次函数的表达式是 (2)顶点为(0,0)，对称轴为y轴 因为a=-,所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方(除顶点外)。 拓展提升 直线y＝kx＋b经过点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2(a≠0)相交于B，C两点，已知C(－2，4)． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)在同一坐标系中画出它们的图象； (3)求S△AOC. 例2、已知函数的图象是抛物线 (1)求m的值； (2)当m为何值时，抛物线的开口向下？ (3)当m为何值时，抛物线有最低点？并写出它的顶点坐标和对称轴。 解：(1)因为函数是抛物线，所以此函数是二次函数 即：且m+3≠0 解得：m=-4，m=1 (2)抛物线开口向下，即m+3<0，所以m<-3，即m=-4 (3)抛物线有最低点，开口向上，即m+3>0，所以m>-3，即m=1 顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴。 课堂练习 2.下列各点在抛物线y＝2x2上的是(　　) A．(2，1) 　　 B．(1，2) C．(1，－2) 　　D．(－1，－2) 1.如图所示的函数图象所表示的表达式有可能是(　　) A．y＝－x2 　　 B．y＝x2 C．y＝x D． B B 20 课堂练习 3.函数y＝-x2的对称轴是___________________，顶点坐标是_________，开口________，顶点是抛物线的__________，抛物线在x轴的________(除顶点外)． 4.抛物线y＝ax2与y＝2x2形状相同，则a＝_______． 直线x＝0(或y轴) (0，0) 向下 最高点 下方 ±2 21 课堂练习 5、已知抛物线经过点A(-2，-8)。 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上。 (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 22 解：(1)将点A(-2，-8)代入中，即：-8=4a ∴a=-2 ∴抛物线的解析式为： (2)将点B(-1，-4)代入-4=-2，不成立 ∴点B不在抛物线上。 (3)将-6代入解析式，即-6=-2 解得：x= ± 课堂练习 课堂练习 6．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，求a的值． 24 课堂练习 课堂小结 1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴. 2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展； 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展. 26 THANK YOU 汇报人：WPS 27 解：(1)∵直线y＝kx＋b经过点A(2，0)，C(－2，4)， ∴解得 ∴直线的表达式为y＝－x＋2. ∵抛物线y＝ax2(a≠0)经过点C(－2，4)， ∴4＝4a，则a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝x2； 解：如答图，连结OB，过点B作BD⊥x轴于点D， 则∠BOC＝45°，∠BOD＝30°， 已知正方形的边长为1，则OB＝，在Rt△OBD中，OB＝，∠BOD＝30°， 则BD＝OB＝，OD＝OB＝， 故 B，代入抛物线的表达式中，得a＝－，解得a＝－. $