天津实验中学津南学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

天津实验中学津南学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．b4•b4＝2b4 C．x5+x5＝x10 D．y7•y＝y8 2．下列图形不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A．7cm，4cm，2cm B．5cm，5cm，6cm C．3cm，4cm，8cm D．2cm，3cm，5cm 4．如图，△ABC中，∠A＝40°，点D为延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 5．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 6．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　） A．PO B．PQ C．MO D．MQ 7．如果（9n）2＝312，则n的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是（　　） A． B． C． D． 9．点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（　　） A．（﹣5，﹣3） B．（﹣3，5） C．（5，3） D．（3，5） 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 11．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A．18° B．20° C．30° D．36° 12．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝120°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形；⑥OC是∠MON的平分线．其中，正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13．计算：x2y•（﹣xy）＝　 　 ． 14．如图，AB，CD相交于点O，连接AD，BC．若∠A＝43°，∠D＝57°，∠C＝37°，则∠B的度数为 　 　 ． 15．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝105°，则∠EAD＝　 　 ． 16．已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝　 　 ． 17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，则△APC的周长的最小值为 　 　 ． 18．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D． （1）若设AP＝x，则PC＝ 　 　 ；（用含x的式子表示） （2）当∠BQD＝30°时，求CQ＝ 　 　 ； （3）在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由 　 　 ． 三、解答题：本题共7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．（8分）先化简，再求值： 2x2y•（﹣2xy2）3+（2xy）3•（﹣xy2）2，其中x＝4，y＝． 20．（8分）先化简，再求值：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3），其中a＝2． 21．（10分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 22．（10分）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF． 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数； （2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE． 24．（10分）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（0，5），C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E． （1）若点C的坐标为（3，0），则点E的坐标为　 　 ； （2）连接DO，求证：DO平分∠ADC； （3）若点C在x轴正半轴上运动，当OC+CD＝AD时，求∠OBC的度数． 2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B C A B B D A B A 题号 12 答案 D 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．b4•b4＝2b4 C．x5+x5＝x10 D．y7•y＝y8 【分析】根据合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加解答． 【解答】解：A、应为a3•a2＝a5，故本选项错误； B、应为b4•b4＝b8，故本选项错误； C、应为x5+x5＝2x5，故本选项错误； D、y7•y＝y8，正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法与合并同类项的法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键． 2．下列图形不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【解答】解：根据三角形的稳定性可得，B、C、D都具有稳定性．不具有稳定性的是A选项． 故选：A． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 3．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A．7cm，4cm，2cm B．5cm，5cm，6cm C．3cm，4cm，8cm D．2cm，3cm，5cm 【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断． 【解答】解：A、2+4＜7，不能组成三角形； B、5+5＞6，能组成三角形； C、3+4＜8，不能组成三角形； D、2+3＝5，不能组成三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 4．如图，△ABC中，∠A＝40°，点D为延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 6．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　） A．PO B．PQ C．MO D．MQ 【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案． 【解答】解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起． 7．如果（9n）2＝312，则n的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】把左边的数化成底数是3的幂的形式，然后利用利用相等关系，可得出关于n的相等关系，解即可． 【解答】解：∵（9n）2＝{[（3）2]n}2＝34n ∴34n＝312， ∴4n＝12， ∴n＝3． 故选：B． 【点评】本题利用了幂的乘方，以及解一元一次方程的知识． 8．如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D， 纵观各图形，A、B、C都不符合高线的定义， D符合高线的定义． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图． 9．点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（　　） A．（﹣5，﹣3） B．（﹣3，5） C．（5，3） D．（3，5） 【分析】由点P在第二象限，可得横纵坐标的符号，再由点P到x轴、y轴的距离是3和5，可得纵坐标的绝对值为3，横坐标的绝对值为5，可求出点P的坐标，再求出点P关于x轴的对称点坐标即可． 【解答】解：∵点P在第二象限，P点到x轴、y轴的距离是3和5， ∴P点的坐标为（﹣5，3）， ∴P点关于x轴的对称点坐标是（﹣5，﹣3）． 故选：A． 【点评】本题考查各象限内的点的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握各个知识点的具体意义． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接AE，先求出∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，再根据线段垂直平分线的性质得，BE＝AE，由此得∠B＝∠DAE＝30°，进而利用直角三角形的性质得AE＝2DE＝4，然后求出∠CAE＝90°，再利用直角三角形的性质即可求出CE的长． 【解答】解：连接AE，如图： 在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°， ∵点D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∴∠B＝∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝2， ∴AE＝2DE＝4， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CAE中，∠C＝30°，AE＝4， ∴CE＝2AE＝8． 故选：B． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键． 11．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A．18° B．20° C．30° D．36° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣∠C＝90°﹣∠B＝∠BAD+∠B， ∵∠B＝2∠BAD， ∴4∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∴∠BAD＝18°， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝120°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形；⑥OC是∠MON的平分线．其中，正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB＝120°，可得③正确；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM＝CN，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判断定理即可求出⑥正确． 【解答】解：∵△ACD和△BCE都是等边三角形， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°，AC＝CD，BC＝CE， ∴∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝60°+60°＝120°＝∠BCD， 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴∠EAC＝∠BDC，AE＝DB，∠CBD＝∠AEC， 故①正确，符合题意； ∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC， ∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°， 故③正确，符合题意； 在△ACM和△DCN中， ， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴AM＝DN，∠AMC＝∠DNC，CM＝CN， 故②④正确，符合题意； ∵∠MCN＝60°， ∴△CMN是等边三角形， 故⑤正确，符合题意； 作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，如图所示： 则∠AGC＝∠DHC＝90°， 在△ACG和△DCH中， ， ∴△ACG≌△DCH（AAS）， ∴CG＝CH， 又∵CG⊥AE于G，CH⊥BD于H， ∴OC是∠MON的平分线， 故⑥正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13．计算：x2y•（﹣xy）＝　﹣x3y2 ． 【分析】根据单项式乘单项式是指把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式计算． 【解答】解：x2y•（﹣xy）＝﹣x3y2， 故答案为：﹣x3y2． 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式的运算，题目比较简单，注意计算要细心． 14．如图，AB，CD相交于点O，连接AD，BC．若∠A＝43°，∠D＝57°，∠C＝37°，则∠B的度数为 　63°　 ． 【分析】证明∠A+∠D＝∠C+∠B，可得结论． 【解答】解：∵∠AOD＝∠COB， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B， ∴43°+57°＝37°+∠B， ∴∠B＝63°． 故答案为：63°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是发现∠A+∠D＝∠C+∠B． 15．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝105°，则∠EAD＝　45°　 ． 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角，进而得出答案． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝105°， ∴∠CAB＝180°﹣30°﹣105°＝45°， 又△ABC≌△ADE， ∴∠EAD＝∠CAB＝45°． 故答案为：45°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键． 16．已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝　﹣10　 ． 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【解答】解：∵点A（a，﹣2）和B（8，b）关于y轴对称， ∴a＝﹣8，b＝﹣2， 那么a+b＝﹣8﹣2＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握对称点的坐标规律是关键． 17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，则△APC的周长的最小值为 　13　 ． 【分析】连接BP，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，得BP＝CP，即当AB与m的交点为P时，AP+BP最小． 【解答】解：连接BP， ∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴BP＝CP， ∴AP+PC＝AP+BP， ∴当AB与m的交点为P时，AP+BP最小， ∴△APC的周长的最小值为AB+AC＝8+5＝13， 故答案为：13． 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，以及轴对称﹣最短路线问题等知识，明确两点之间，线段最短是解题的关键． 18．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D． （1）若设AP＝x，则PC＝ 　6﹣x ；（用含x的式子表示） （2）当∠BQD＝30°时，求CQ＝ 　8　 ； （3）在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由 　线段DE的长不发生变化，始终等于3　 ． 【分析】（1）根据等边三角形性质得AB＝AC＝BC＝6，∠A＝∠C＝60°，再根据AP＝x即可得出PC的长； （2）依题意得设AP＝BQ＝a，则PC＝6﹣a，CQ＝6+a，由三角形内角和定理得∠CPQ＝180°﹣（∠C+∠BQD）＝90°，则△CPQ是直角三角形，进而得CQ＝2PC，则6+a＝2（6﹣a），由此解出a＝2，继而可得CQ的长； （3）过点P作PH∥BC，交AB于点H，则∠APH＝∠C＝60°，∠HPD＝∠BQD，∠PHD＝∠QBD，由此得△APH是等边三角形，则AP＝PH＝BQ，AH＝2HE，由此证明△PHD和△QBD全等得HD＝DB，则BH＝2HD，然后根据AB＝AH+BH＝2HE+2HD＝6得DE＝HE+HD＝3． 【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6，∠A＝∠C＝60°， ∵AP＝x， ∴PC＝AC﹣AP＝6﹣x， 故答案为：6﹣x； （2）依题意得：AP＝BQ， 当∠BQD＝30°时，设AP＝BQ＝a， ∴PC＝AC﹣AP＝6﹣a，CQ＝BC+BQ＝6+a， 在△CPQ中，∠CPQ＝180°﹣（∠C+∠BQD）＝180°﹣（60°+30°）＝90°， ∴△CPQ是直角三角形， ∴CQ＝2PC， ∴6+a＝2（6﹣a）， 解得：a＝2， ∴CQ＝6+a＝8， 故答案为：8； （3）线段DE的长不发生变化，始终等于3，理由如下： 过点P作PH∥BC，交AB于点H，如图所示： ∴∠APH＝∠C＝60°，∠HPD＝∠BQD，∠PHD＝∠QBD， ∴∠APH＝∠A＝60°， ∴△APH是等边三角形， ∴AP＝PH， ∵PE⊥AB于点E， ∴AE＝HE， ∴AH＝AE+HE＝2HE， 又AP＝BQ， ∴PH＝BQ， 在△PHD和△QBD中， ， ∴△PHD≌△QBD（ASA）， ∴HD＝DB， ∴BH＝HD+DB＝2HD， ∵AB＝AH+BH＝2HE+2HD＝6， ∴HE+HD＝3， 即DE＝HE+HD＝3， 故答案为：线段DE的长不发生变化，始终等于3． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．（8分）先化简，再求值： 2x2y•（﹣2xy2）3+（2xy）3•（﹣xy2）2，其中x＝4，y＝． 【分析】先算乘方，再算乘法，合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：原式＝2x2y•（﹣8x3y6）+8x3y3•x2y4 ＝﹣16x5y7+8x5y7 ＝﹣8x5y7， 当x＝4，y＝时，原式＝﹣8×45×（）7＝﹣． 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的混合运算法则进行化简是解此题的关键． 20．（8分）先化简，再求值：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3），其中a＝2． 【分析】先利用整式的乘法计算，合并后代入求得数值即可． 【解答】解：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3） ＝3a3﹣6a2+3a﹣2a3+6a2 ＝a3+3a 当a＝2时， 原式＝8+6＝14． 【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，掌握整式的混合运算方法是解决问题的关键． 21．（10分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 【分析】（1）先根据AD＝BE得AB＝DE，由此可依据“SSS”判定△ABC和△DEF全等； （2）由△ABC≌△DEF得∠A＝∠FDE＝55°，进而根据三角形内角和定理可得∠F的度数． 【解答】（1）证明：∵AD＝BE， ∴AD+BD＝BE+BD， 即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）； （2）解：∵∠A＝55°，∠E＝45°， 由（1）可知：△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠FDE＝55°， ∴∠F＝180°﹣（∠FDE+∠E）＝180°﹣（55°+45°）＝80°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 22．（10分）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF． 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6， ∵EF∥BC，∴∠2＝∠3，∠4＝∠6， ∴∠1＝∠3，∠4＝∠5， 根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE＝ED，DF＝FC，故EF＝ED+DF＝BE+CF． 【点评】本题综合考查等腰三角形的性质及平行线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结论．进行等量代换是解答本题的关键． 23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数； （2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠F，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°， 又∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°； （2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AC， ∴∠F＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠F， ∴AE＝FE． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 24．（10分）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长． 【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，根据AD＝4，BC＝1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可． 【解答】解：延长AD、BC交于E， ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠E＝60°， ∵∠ADC＝120°， ∴∠EDC＝60°， ∴△EDC是等边三角形， 设CD＝CE＝DE＝x， ∵AD＝4，BC＝1， ∴2（1+x）＝x+4， 解得；x＝2， ∴CD＝2． 【点评】此题考查了含30度角的直角三角形，用到的知识点是30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（0，5），C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E． （1）若点C的坐标为（3，0），则点E的坐标为　（0，3）　 ； （2）连接DO，求证：DO平分∠ADC； （3）若点C在x轴正半轴上运动，当OC+CD＝AD时，求∠OBC的度数． 【分析】（1）证明△AOE≌△BOC，由全等三角形的性质可得OE＝OC＝3，即可获得答案； （2）过点O作OM⊥DA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，根据全等三角形的性质可得AE＝BC，S△AOE＝S△BOC，易得OM＝ON，即可证明结论． （3）延长DC至F，是CF＝OC，从而得出△ADO≌△FDO，进而得出∠OBC＝∠F＝∠COF，在△BOF中，根据三角形内角和求得结果． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC，AO⊥OB， ∴∠AOE＝∠BDE＝∠BOC＝90°， ∵∠AEO＝∠BED， ∴∠OAE＝∠OBC， ∵A（﹣5，0），B（0，5）， ∴OA＝OB＝5， 在△AOE和△BOC中， ， ∴△AOE≌△BOC（ASA）， ∴OE＝OC， ∵C（3，0）， ∴OE＝OC＝3， ∴E（0，3）； 故答案为：（0，3）； （2）证明：过点O作OM⊥DA于点M，过点O作ON⊥BC于点N， ∵△AOE≌△BOC， ∴AE＝BC，S△AOE＝S△BOC， ∴， ∴OM＝ON， 又∵OM⊥DA，ON⊥BC， ∴DO平分∠ADC． （3）解：（方法一）如图3，在DA上截取DP＝DC，连接OP， 又∠PDO＝∠CDO，OD＝OD， ∴△OPD≌△OCD（SAS）， ∴OC＝OP，∠OPD＝∠OCD， ∵OC+CD＝AD， ∴OC＝AD﹣CD， ∴AD﹣DP＝OP， 即AP＝OP， ∴∠PAO＝∠POA， ∴∠OPD＝∠PAO+∠POA＝2∠PAO＝∠OCB， 又∵∠PAO+∠OCD＝90°， ∴3∠PAO＝90°， ∴∠PAO＝30°， ∵∠OAP＝∠OBC， ∴∠OBC＝∠PAO＝30°； （方法二）如图4， 延长DC至F，是CF＝OC， ∴∠F＝∠COF， ∴∠DCO＝∠F+∠COF＝2∠F， ∵OC+CD＝AD， ∴CF+CD＝AD， 即DF＝AD， 由（2）知， ∠ADO＝∠ODC， ∵OD＝OD， ∴△ADO≌△FDO（SAS）， ∴∠F＝∠OAE， ∵∠OAE＝∠OBC， ∴∠F＝∠OBC， 在△BOF中， ∠F+∠BOF+∠OBC＝180°， ∴∠OBC+（90°+∠OBC）+∠OBC＝180°， ∴∠OBC＝30°． 【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，角平分线判定等知识，解决问题的关键是作常见辅助线，构造全等或基本定理的条件． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $