期末测试卷（一）2025-2026学年湘教版九年级数学上册期末综合测试试卷

九年级上册期末测试卷（一） （时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷：选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 2.（3分）下列各式中，不成立的是（　　） A．cos60°＝2sin30° B．sin15°＝cos75° C．tan30°•tan60°＝1 D．sin230°+cos230°＝1 3．（3分）已知反比例函数y，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限内 D．若1＜x＜2，则﹣2＜y＜﹣1 4．（3分）线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（　　） A．44 B．88 C．88 D．44 5.（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 6.（3分）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（　　） A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2 7.（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝2米，AE＝0.5米，则水面以上深度CD为（　　） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 第7题图 第8题图 8.如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F， 则下列等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 9.（3分）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα•cosα＝（　　） A． B． C． D． 第9题图 第10题图 10.（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②ODOG；③tan∠CDE；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 第II卷：选择题 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是　 　． 12．（3分）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB米，背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为　 　米． 第12题图 第13题图 13.（3分）如图，线段BC的两端点的坐标分别为B（3，8），C（6，3），以点A（1，0） 为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为　 ． 14.（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数（k为 常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为　 　． 15.（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则关于x的不等式kx+b的解集是　 　． 16.（3分）为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为　 　．（列出方程即可，不化简，不要解方程） 17.（3分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数． 例如：min{1，2，3}＝1，． 结合上述材料，可求得min{3tan45°，2sin60°，4cos60°}＝　 　． 18.（3分）已知，如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD，以下结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF；⑤△ABE∽△AEF；其中正确结论是　 　 （填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26每题10分，共66分） 19.（6分）解方程： （1）2x2+7x+4＝0（配方法）； （2）5x（x﹣3）＝3﹣x． 20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B的坐标． 21.（8分）如图，是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上． （1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1（不包含全等）； （2）请说明△A2B2C2∽△A1B1C1． 22.（8分）2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款T恤4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？ 23.（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值． 24.（9分）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC＝∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm． （1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离； （2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？ （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 25.（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． （1）点P、Q出发几秒后，△PCQ的面积为△ACB面积的； （2）经过几秒后，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似？ （3）如图2，D为AB上一点，且AD＝AC，当运动时间t为多少时，CD⊥PQ？ 26.（10分）如图，已知在菱形ABCD中，AB＝5，cosB，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长线交BC的延长线于点G，且∠EAF∠BAD． （1）求证：AE2＝EC•EG； （2）如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值． （3）延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册期末测试卷（一） （时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷：选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 解：把x＝1代入方程x2+kx﹣3＝0得1+k﹣3＝0，解得k＝2．故选：B． 2.（3分）下列各式中，不成立的是（　　） A．cos60°＝2sin30° B．sin15°＝cos75° C．tan30°•tan60°＝1 D．sin230°+cos230°＝1 解：A、cos60°＝sin30°，错误； B、sin15°＝cos75°，正确； C、tan30°•tan60°＝1，正确； D、sin230°+cos230°＝1，正确；故选：A． 3．（3分）已知反比例函数y，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限内 D．若1＜x＜2，则﹣2＜y＜﹣1 解：A、图象必经过点（﹣1，2），故原题说法正确； B、当x＜0时，y随x的增大而增大，故原题说法错误； C、图象在第二、四象限内，故原题说法正确； D、若1＜x＜2，则﹣2＜y＜﹣1，故原题说法正确；故选：B． 4．（3分）线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（　　） A．44 B．88 C．88 D．44 解：∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP， ∴BPAB8＝44． 故选：A． 5.（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2）， ∴将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2．故选：A． 6.（3分）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（　　） A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2 解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2， ∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．故选：B． 7.（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝2米，AE＝0.5米，则水面以上深度CD为（　　） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 解：∵AC＝2米，AE＝0.5米， ∴CE＝AC﹣AE＝1.5（米）， 由题意得：∠BAC＝∠ACD＝90°， ∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴， ∴，解得：CD＝3米，故选：B． 8.如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 解：∵DE∥BC，∴，故A正确； ∵△EDF∽△BCF，∴，故B正确； ∵△ADE∽△ABC，∴，故C错误； ∵，，∴，故D正确，故选：C． 9.（3分）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα•cosα＝（　　） A． B． C． D． 解：如图， ∵小正方形面积为49，大正方形面积为169， ∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即AC2+（7+AC）2＝132，整理得，AC2+7AC﹣60＝0， 解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去），∴BC12， ∴sinα，cosα，∴sinα•cosα，故选：B． 10.（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②ODOG；③tan∠CDE；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴O是BD中点， ∵点F是DE的中点，∴OF是△DBE的中位线，∴OF∥BE，OFBE， ∵CE＝4，OF＝6，∴GFCE＝2，故①正确；BE＝2OF＝12， ∵正方形ABCD中，∴△DBC是等腰直角三角形， 而OF∥BE，∴△DOG是等腰直角三角形，∴ODOG，故②正确； ∵BC＝BE﹣CE＝8，正方形ABCD，∴DC＝8，∠DCE＝90°， Rt△DCE中，tan∠CDE，故③正确， ∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，∴CF＝DFDE，∴∠DCF＝∠FDC≠45°， ∵∠ACD＝∠BDC＝45°，∴∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确； Rt△DCE中，DE4，∴CFDE＝2， ∵△CDE的面积为CE•DC4×8＝16，F是Rt△DCE斜边DE的中点， ∴△DCF面积为8， 设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，∴•x×28，解得x， ∴点D到CF的距离为，故⑤正确； ∴正确的有①②③⑤， 故选：C． 第II卷：选择题 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是　 　． 解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，∴Δ＜0，即62﹣4a＜0， 解得：a＞9，故答案为：a＞9． 12．（3分）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB米，背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 　12　米． 解：∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB米，∴AE＝6sin45°＝6（m）， ∵背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），∴tan∠C， ∴∠C＝30°，则DC＝2DF＝2AE＝12m，故答案为：12． 13.（3分）如图，线段BC的两端点的坐标分别为B（3，8），C（6，3），以点A（1，0） 为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为　（2，4）　． 解：∵将线段BC缩小为原来的后得到线段DE， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴点D是线段AB的中点， ∵A（1，0），B（3，8）， ∴点D的坐标为（2，4）， 故答案为：（2，4）． 14.（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 　y3＞y1＞y2　． 解：∵k2+1＞0，∴反比例函数（k为常数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，∴点A（﹣2，y1）、点B（﹣1，y2）位于第三象限，C（2，y3）位于第一象限， ∴y2＜y1＜0，y3＞0，∴y3＞y1＞y2，故答案为：y3＞y1＞y2． 15.（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则关于x的不等式kx+b的解集是　x＜﹣1或0＜x＜2　． 解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2， ∴不等式kx+b的解集是x＜﹣1或0＜x＜2， 故答案为：x＜﹣1或0＜x＜2． 16.（3分）为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为 　200+200（1+x）+200（1+x）2＝728　．（列出方程即可，不化简，不要解方程） 解：∵第一个月进馆200人次，且进馆人次的月增长率为x， ∴第二个月进馆200（1+x）人次，第三个月进馆200（1+x）2人次． 根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728． 故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728． 17.（3分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数． 例如：min{1，2，3}＝1，． 结合上述材料，可求得min{3tan45°，2sin60°，4cos60°}＝　　． 解：∵tan45°＝1，sin60°，cos60°， ∴3tan45°＝3×1＝3，2sin60°＝2，4cos60°＝42， ∵2＜3，∴min{3tan45°，2sin60°，4cos60°}，故答案为：． 18.（3分）已知，如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD，以下结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF；⑤△ABE∽△AEF；其中正确结论是　②③⑤　 （填序号）． 解：在正方形ABCD中， ∵AB＝BC，E是BC的中点，∴，∴， ∴∠BAE≠30°；故①错误； ∵，，∴， ∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，故②正确； ∴∠AEB＝∠CFE，∴∠AEB+∠CEF＝∠CFE+∠CEF＝90°，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，故③正确； ∵，，∴，∴△ADF和△ECF不相似，故④错误； ∵△ABE∽△ECF，∴，∴，且∠ABE＝∠AEF＝90°， ∴△ABE∽△AEF，故⑤正确； 综上可知正确的为：②③⑤， 故答案为：②③⑤． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26每题10分，共66分） 19.（6分）解方程： （1）2x2+7x+4＝0（配方法）； （2）5x（x﹣3）＝3﹣x． 解：（1）2x2+7x+4＝0， 2x2+7x＝﹣4， ， ， ， ， 解得：，； （2）5x（x﹣3）＝3﹣x， 5x（x﹣3）+（x﹣3）＝0， 5x（x﹣3）+（x﹣3）＝0， （5x+1）（x﹣3）＝0， 5x+1＝0，x﹣3＝0， 解得：，x2＝3． 20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B的坐标． 解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由A（n，6），C（﹣2，0）可得， OD＝n，AD＝6，CO＝2 ∵tan∠ACO＝2，∴2，即2 ∴n＝1，∴A（1，6） 将A（1，6）代入反比例函数，得m＝1×6＝6 ∴反比例函数的解析式为 将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y＝kx+b，可得 ，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+4 （2）由可得， 解得x1＝1，x2＝﹣3 ∵当x＝﹣3时，y＝﹣2 ∴点B坐标为（﹣3，﹣2） 21.（8分）如图，是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上． （1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1（不包含全等）； （2）请说明△A2B2C2∽△A1B1C1． 解：（1）如图所示： （2）根据网格图可得：A2C2＝2， C2A2B2＝135°，A2B2， ∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2， ∴2，∠C2A2B2＝∠C1A1B1， ∴△A2B2C2∽△A1B1C1． 22.（8分）2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款T恤4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？ 解：（1）设4月份到6月份销售量的月平均增长率为a， 则192（1+a）2＝300， 解得：，（舍去）， 答：4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%． （2）设定价为x元，利润为y元， 则y＝（x﹣40）[300+20（60﹣x）]＝﹣20x2+2300x﹣60000， 对称轴为， ∵销售利润不超过30%， ∴定价不能超过40×（1+30%）＝52元， ∵﹣20＜0，当x＜57.5时，y随x的增大而增大， ∴当x＝52时，利润最大，最大为5520元． 23.（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值． 解：（1）∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0， ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x1、x2是原方程的两根，∴x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1， ∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝8， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝8， ∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）＝8， ∴m1＝1，m2＝﹣3． 24.（9分）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC＝∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm． （1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离； （2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？ （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 解：（1）过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N，则CD＝MN＝40cm， AM＝BN＝cos∠DAB•AD ≈0.77×30 ＝23.1（cm）， ∴AB＝23.1×2+40＝86.2（cm）， 答：AB的距离约为86.2cm； （2）由题意得，桌子要抬高34.8﹣30＝4.8（cm）， 即DM要变为sin∠DAB×30+4.8＝24（cm）， ∴AM ＝18（cm）， 即点A要向内移动23.1﹣18＝5.1（cm）， 答：向内移动5.1cm． 25.（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． （1）点P、Q出发几秒后，△PCQ的面积为△ACB面积的； （2）经过几秒后，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似？ （3）如图2，D为AB上一点，且AD＝AC，当运动时间t为多少时，CD⊥PQ？ 解：设P，Q运动的时间为t，则PC＝3﹣t，CQ＝2t， （1）由PC•CQS△ABC得，，∴t， ∴点P，Q出发秒后，△PCQ的面积为△ACB面积的； （2）∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，∴△CPQ∽△ACB或△CPQ∽△CBA， 当△CPQ∽△ACB时，，∴，∴t， 当△CPQ∽△CBA时，，∴，∴t， 综上所述：t或； （3）如图，作AE⊥CD，交BC于E，作EF⊥AB于F， ∵AD＝AC，∴AE平分∠CAB，∴CE＝EF， ∵PQ⊥CD，∴PQ∥AE，∴△PCQ∽△ACE， ∴， ∵∠B＝∠B，∠BFE＝∠BCA＝90°， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∴，∴CE，∴，∴t． 26.（10分）如图，已知在菱形ABCD中，AB＝5，cosB，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长线交BC的延长线于点G，且∠EAF∠BAD． （1）求证：AE2＝EC•EG； （2）如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值． （3）延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE的长． 解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∠BAC＝∠CAD∠BAD， 又∵∠EAF∠BDA，∴∠CAD＝∠EAF，∴∠EAC＝∠DAF， ∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，∴∠EAC＝∠G， 又∵∠AEC＝∠GAE，∴△AEC∽△GAE，∴， 即AE2＝EC•EG； （2）解：过点A作AH⊥BC交CB于点H， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝5，AD∥BC， ∵AD∥BC，点F是CD的中点， ， ∴CG＝AD＝5， 设BE＝x，则EC＝5﹣x，EG＝EC+CG＝5﹣x+5＝10﹣x， 则AE2＝EC•EG＝（5﹣x）（10﹣x）， 在Rt△ABH中，cosB，而AB＝5，则HB＝3，AH＝4， 则EH＝3﹣x， 在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2，即AE2＝（3﹣x）2+42， ∴（3﹣x）2+42＝（5﹣x）（10﹣x），解得xBE， 则S△ABEBE×AH4； （3）解：由（1）知，∠EAC＝∠DAF，则∠BAE＝∠CAG， ∴∠BAC＝∠EAF， ∴当或时，△AGH与△ABC相似， 当时， ∵∠BAC∠BAD，∠EAF∠BAD， ∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAG， ∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠AHC，∴∠CAG＝∠AHC， 又∵∠EAC＝∠AGC，∴△AHC∽△GAC， ∴， 又， ∴CH＝AB， ∵AB∥CD， ∴， ∴BE＝ECBC； 当时， 同理可得：△AHC∽△GAC， ∴， 又∵， ∴CG＝AB， 由（2）知，此时BE， 综上，BE或． 学科网（北京）股份有限公司 $