专题7 第2讲 新情境、新定义问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P203] 1．(多选)(2025·山东日照一模)已知点集C＝{(x，y)|(x－cos θ)2＋(y－sin θ)2＝4，0≤θ≤φ)}，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分(空白区域)，下列说法正确的是(　　) A．图形内部空白区域的面积最小值为π B．图形上的点到原点的最小距离为 C．当φ＝时，图形关于y＝－x对称 D．当φ＝π时，图形内外边界的长度和为8π 解析　对于A，由题知点集C是以(cos θ，sin θ)，2为半径的圆， 如图1，当φ≥2π时，内部空白区域是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，此时空白区域面积最小， 即内部空白区域的面积最小值为π，所以命题A正确； 对于B，因为图形上点(x，y)到原点距离为r＝， 由构成该图形的动圆Oi中，圆心到原点距离|OOi|＝1，半径ri＝2， 故每个圆到原点最小距离均为2－1＝1，故图形上到原点的最小距离为1，所以B错误； 对于C，当φ＝时，设点P(x0，y0)，存在参数θ1满足(x0－cos θ1)2＋(y0－sin θ1)2＝4， 则点P′(－y0，－x0)与点P关于直线y＝－x对称，由0≤θ1≤，取θ2＝－θ1∈， 代入2＋2＝2＋2 ＝(y0－sin θ1)2＋(x0－cos θ1)2＝4， 即点P′(－y0，－x0)也在C中，故φ＝时，图形关于直线y＝－x对称，所以C正确； 对于D，φ＝π时，如图2，内边界的长度＋＋＋＋， 其中为圆，半径为2－1＝1， ，为圆半径为2外边界＋＋， 而由＝，＝，＋为半圆，半径为2， ＋为半圆，半径为2，为圆，半径为2＋1＝3， 为圆，半径为2－1＝1， 故内外边界和为·1＋2··2＋2·π·2＋·3＝8π，所以D正确． 答案　ACD 2．(多选)(2025·山师附中一模)函数f(x)的定义域为I，若存在a∈I满足：f(x)≤2f(a)对任意的x∈I恒成立，则称f(x)为I上的La函数，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x)是上的La函数，则f为上的L－a函数 B．∀a≥ln 3，f(x)＝是R上的La函数 C．若f(x)＝sin 是R上的L0函数，则f(0)＝ D．命题“f(x)＝是上的La函数”的一个必要条件为“b≥－” 解析　若f(x)是上的La函数，则有f(x)≤2f(a)，x∈. 设g(x)＝f，则g＝f(a)， 由x∈得，－x∈， ∴g(x)＝f≤2f(a)＝2g， ∴g(x)为上的L－a函数，故A正确． 由题意得，f(x)＝＝1－<1， ∵对∀a≥ln 3，ea＋1≥4，∴f(a)＝1－≥，即2f(a)≥1≥f(x)， ∴∀a≥ln 3，f(x)＝是R上的La函数，故B正确． 若f(0)＝1，则f(x)＝sin ≤1≤2f(0)恒成立，即f(x)是L0函数，故C错误． 由f(x)＝是上的La函数， 得f(x)＝≤2f(a)＝0在上恒成立， 当x∈(0，a)时，a－x>0，x∈时，a－x<0， 故x∈时，x2－a2x＋b≤0，x∈时，x2－a2x＋b≥0， 根据二次函数的性质可知，a是函数y＝x2－a2x＋b的零点， 即a2－a3＋b＝0，故b＝a3－a2. 记h＝a3－a2，h′＝3a2－2a， 由h′>0得a>，由h′<0得0<a<， ∴h在上为减函数，在上为增函数， 故h≥h＝－＝－，即b≥－，故D正确． 故选ABD. 答案　ABD 3．(2025·山东烟台二模)已知项数为m的数列{an}满足ai∈，若数列{an}中存在连续三项ar－1，ar，ar＋1(r＝2，3，…，m－1)，使得ar－1＋ar＝ar＋1成立，则称数列{an}为“友好数列”．①当m＝3时，“友好数列”的个数为________；②当m＝4时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为________． 解析　对于①：当m＝3时，数列共有33＝27种可能． 需满足a1＋a2＝a3，分情况讨论： a1＝0：a2可取0，1，2，对应a3＝0，1，2，共3种； a1＝1：a2可取0，1，共2种； a1＝2：a2可取0，共1种； 总数为3＋2＋1＝6. 对于②：当m＝4时，数列共有34＝81种可能． 需满足存在至少一个三元组满足条件： 计算满足前三个条件的数列数目： 前三个元素满足a1＋a2＝a3，有6种可能，a4任意，共有6×3＝18种． 计算满足后三个条件的数列数目： 后三个元素满足a2＋a3＝a4，有6种可能，a1任意，共有6×3＝18种． 计算同时满足两个条件的数列数目： 需满足a1＋a2＝a3，a2＋a3＝a4，有4种可能． 根据容斥原理，总数为18＋18－4＝32， 所以概率为. 答案　①6　② 4．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R.A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设O0，表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆O3，O2的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形．若设二面角C ­OA ­B，A ­OB ­C，B ­OC ­A分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为S球面△ABC＝R2. (1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； (2)若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3.则 ①求证：cos θ1＋cos θ2－cos θ3＝1； ②延长AO与球O交于点D.若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，＝λ，λ∈(0，1]，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积． 解析　(1)若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有α＝β＝γ＝， 所以球面三角形ABC面积为S球面△ABC＝R2＝R2. (2)①证明　由余弦定理有 且AC2＋BC2＝AB2， 消掉R2，可得cos θ1＋cos θ2－cos θ3＝1. ②由AD是球的直径，则AB⊥BD，AC⊥CD， 且AC⊥BC，CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面BCD， 所以AC⊥平面BCD，且BD⊂平面BCD， 则AC⊥BD， 且AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，可得BD⊥平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，所以∠DAB＝，∠DCB＝， 不妨先令R＝，则AD＝2，AB＝BD＝，BC＝，AC＝2， 由AC⊥BC，AC⊥BD，BC⊥BD， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设BE＝t，t∈(0，]，则A(0，2，0)，B(，0，0)，C(0，0，0)，D(，0，)， 可得S，T，E(，0，t)，O， 则＝(，0，0)，＝，＝，＝ 设平面OBC的法向量m＝(x1，y1，z1)，则 取z1＝－2，则y1＝，x1＝0， 可得m＝， 设平面EST的法向量n＝，则 取x2＝t，则y2＝t，z2＝－1，可得n＝(t，t，－1)， 要使sin θ取最小值时，则取最大值， 因为|cos θ|＝|cos 〈m，n〉|＝ ＝＝× ＝× ＝× ， 令m＝2t＋1，m∈，则t＝，3t2＝， 可得＝＝＝≤＝2， 当且仅当m＝3，t＝时等号成立． 则取最大值，sin θ＝＝为最小值， 此时点E，可得＝，＝， 设平面AEC中的法向量k＝(x，y，z)，则k·＝x＋z＝0， k·＝2y＝0， 取x＝1，则y＝0，z＝－2，可得k＝(1，0，－2)， 可得球心O到平面AEC距离为d＝＝， 设平面AEC截球O圆的半径为r， 则r2＝R2－d2＝， 所以截面圆面积为πr2＝π＝πR2. 5．(2025·山东烟台二模)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(Artificial Intelligence，简称AI)已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A＝“学生报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计P(A)＝，P(B|A)＝，P＝. (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 答题活动 合计 未报名参加 报名参加 男生 女生 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置m道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*)，求Pn的最大值． 参考公式与数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解析　(1)因为P(A)＝，所以报名参加答题活动人数为100×＝45， 又因为P(B|A)＝，所以报名参加答题活动的男生人数为45×＝30， 报名参加答题活动的女生人数为45－30＝15， 又P＝，所以样本中男生人数为30÷＝50，女生人数为50， 得到2×2列联表为 性别 答题活动 合计 未报名参加 报名参加 男生 20 30 50 女生 35 15 50 合计 55 45 100 零假设为H0：学生报名参加答题活动与性别无关， 则χ2＝＝≈9.091>7.879＝x0.005， 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. (2)①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为1，2，3，…，m， 其中P(ξ＝i)＝×i-1(i＝1，2，3，…，m－1)，P(ξ＝m)＝， 所以E＝＋2××＋3××2＋…＋××m-2＋×m-1. E＝×＋2××2＋3××3＋…＋××m-1＋×m， 以上两式错位相减得 E＝＋×＋×2＋…＋×m-2＋×m-1－×m， 所以E＝1＋＋2＋…＋m-2＋m-1－m·m＝－m·m＝3－·m. ②每轮比赛甲得1分的概率为×＝，得2分的概率为1－＝， 依题意可得P1＝，P2＝＋2＝， 当n≥3时，则Pn＝Pn－1＋Pn－2， 因为Pn－Pn－1＝－， 且P2－P1＝， 所以，数列是首项为，公比为－的等比数列， 故Pn＋1－Pn＝·n-1＝n+1， 又Pn＋Pn－1＝Pn－1＋Pn－2且P2＋P1＝1， 所以数列是各项均为1的常数列，则Pn＋1＋Pn＝1， 所以 解得Pn＝－n+1. 当n为奇数时，n+1>0，Pn＝－n+1<， 当n为偶数时，n+1<0，Pn＝－n+1>， 所以Pn的最大值在n为偶数时产生， 又当n为偶数时，Pn＝－n+1＝＋n+1随着n的增大而减小， 所以当n＝2时，Pn的最大值为P2＝. 6．(2025·湖州、衢州、丽水一模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y＝kx＋1表示过点的直线族(不包括直线y轴)，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线． (1)圆M：x2＋2＝4是直线族mx＋ny＝1的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)若点N不在直线族Ω：y＝tx－t2(t∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围及直线族Ω的包络曲线E的方程； (3)在(1)(2)的条件下，过曲线E上动点P向圆M做两条切线PA，PB，交曲线E于点A，B，求△PAB面积S的最小值． 解析　(1)由题可得，直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)为圆M的切线， 故满足d＝＝2，所以m，n满足5n2－4m2－6n＋1＝0. (2)将点N代入y＝tx－t2(t∈R)，可得关于t的方程t2－x0t＋y0＝0， 因为点N不在直线族y＝tx－t2(t∈R)上，故方程t2－x0t＋y0＝0无实数解， 所以Δ＝x－4y0<0，那么y0>，故y0>0， 因为区域y0>的边界为抛物线x2＝4y， 下证：x2＝4y是y＝tx－t2(t∈R)的包络曲线． 证明　联立直线y＝tx－t2(t∈R)与x2＝4y，可得x2－4tx＋4t2＝0，所以Δ＝0， 故直线族Ω：y＝tx－t2(t∈R)为抛物线x2＝4y的切线． 因此直线族Ω的包络曲线E的方程为x2＝4y. (3)设A，B，P， 则kPA＝＝， 故PA：x－4y－2ux1＝0. 由直线PA与⊙M相切，所以d＝＝2， 整理得y1＋2ux1＋5－u2＝0，① 同理可得，y2＋2ux2＋5－u2＝0，② 由①②可得直线AB：y＋2ux＋5－u2＝0. 直线AB与C：x2＝4y联立得(显然u2≠1) 可得x2＋＋＝0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1·x2＝. 因此＝， 由于点P到直线AB的距离d＝， 所以△PAB面积为S△PAB＝×， 令u2－1＝m， 则S△PAB＝f(m)＝2 ， 由f′(m)＝2×＝0，解得m＝4， 当m∈，f′(m)<0，当m∈，f′(m)>0， 所以f(m)在上单调递减，在上单调递增， 那么min＝f(4)＝10(当且仅当u2＝5时取到)， 所以△PAB面积S的最小值是10. 学科网（北京）股份有限公司 $