专题6 重难突破16 导数中常见的放缩应用(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 专题集训·课时练 [对应学生用书P20] 1.当m≥1时，证明：nx十mex-sinx>1恒成立. 证明由题意可知，设函数gx)=lnx十mex-sinx-l,定义域为rc)Aavs4 alcol(0, 十o, 先证明lnx十exx-sinx-l>0, 令hx)=ex+lnx-sinx-l, h(x)=ex-m x-Ircv)naws4lallcol(x-In x+1)+x-sinx, 令fx)=e-x-1,其中x∈R,则fx)=e-1, 当x<0时，x)<0,此时函数x)单调递减， 当x>0时，fx)>0,此时函数x)单调递增， 所以，f)≥0)=0，即e-x-1≥0， 所以，e-血x-rcy(aws-4 allcol(c-lnx+l)=ex-血x-rey(aws-4 allcol(-lnx划-1≥0， 设px)=x-sinx,其中x>0,则p'x)=1一cosx≥0且p'(x)不恒为零， 所以，px)在rc)0aws4 allcol(0,十oo)上为增函数，故当>0时，px)>p(O)=0, 所以，e-血x-x+nx-1+x-sinx>0, 因为m≥1，故gx)≥hx)>0,故原不等式得证， 2.已知函数fx)=(x+1)(e-2)+1x-sinx (1)试结合e≥x+1和lnx≤x-l,证明：xe>x-1x+2; (2)求证：x∈(0，+∞)，fx)>0 证明(I)xe=ex+lnx≥x十lnx+l,当且仅当x+nx=0时等号成立. 由lnx≤x一1，得ln1x≤1x一1，即lnx≥一1x+1,当且仅当x=1时等号成立.故xe >x-1x+2 (2)因为e≥x+1,xe>x-lx+2, 所以x+1)e>2x-1x+3. 因为sinx≤1，所以2x-1x+3≥2x+2-lx+sinx,即x+1)ex>2x+2-lx+sinx, 从而x+1)(ex-2)+1x-sinx>0,即fx)>0. 3.已知函数fw)=xlnx十a+b在(1,1)处的切线为2x-2y-1=0 (1)求x)的单调区间与最小值： (2)求证：er+lnx>cosx十simx-lx 解析(1)fx)=1+lnx十a,则有f(1)=1+a=1,得a=0. 又2-21)-1=0，所以f1)=a+b=12, 得b=12 fx)=x Inx+12,f(x)=1+Inx, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 当x∈laws4 alcol(0,f1e)时，(x)≤0，fx)单调递减： 当x∈lavs4 alcol(f1e,+oo时，fx)>0,fx)单调递增， 所以fx)的单调递减区间为aws4 allcol(0,f1e》,单调递增区间为aws4 allcol(f1e, +oo),fx)min-=falvs4\alcol((le))=12-1e (2)证明令gx)=x-sinx,x>0,g')=1-cosx≥0，gx)单调递增，所以g)>g(0) =0, 所以当x>0时，x>sinx. 令h(x)=ex-x-l,x>0,h'(x)=ex-1>0,hx)单调递增，所以h(x)>h(O)=0,所以当x >0时，e>x十1 要证e+lnx>cosx+sinx一lx,由-1≤cosx≤l,x>sinx,及e>x+l,得e+lnx >x+1+Inx,cosx+sinx-lx<1+1-Ix=2-Ix, 故要证原不等式成立，只需证x+1+lnx>2-lx, 即证x2-x+1+xlnx>0. 由(1)可得xlnx≥-1e,且x2-x+1≥34， 所以x2-x十1+xlnx>34-le>0,则原不等式成立. 4.已知函数fx)=ln(1+x),g(x)=ax2+x (1)当x>一1时，x)≤gx),求实数a的取值范围； (2)己知n∈N*,证明：sin In+1+sin In+2++sin12<ln2 解析(1)令h(x)=ln(c+1)-x(x>-1),则h)=1x+1-1=-xx十1， 当一1<x<0时，h(x)>0,则函数h(x)在（一1,0）上单调递增， 当x>0时，h(x)<0,则函数h(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以hx)max=h(O)=0,即ln(c+1)≤x, 所以当a≥0时，lnc+1)≤x≤ac2+x, 即x)≤g), 当a<0时，取xo=-1a>0, 由于ln(1+xo)>n1=0,而ax20+xo=aavs4 alcol(-f1a)2-1a=0,得n(co+1) >ax20+xox 故fo)>gco),不合乎题意. 综上所述，a的取值范围为[0，十∞)， (2)证明当a=0时，由(1)可得ln(c+1)≤x,则lnx≤x一1， 可得lnlx≤Ix-l,即-lnx≤lx-l, 即lnx≥1-lx(x>1), 令lt=1-lx,所以x=t-1,所以nt-1≥lt, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 即lnt-ln(t-l)≥l(t>l), 所以ln+k≤lnn+-lnn+k-1),k∈{0，l,2,…,n}, 令g)=x-sinx(x>0),则gx)=1-cosx≥0， 且g(x)不恒为零， 所以函数gx)在(0，+∞)上单调递增，故gx)>g(O)=0,则sinx<x(c>0), 所以sin In-+k<ln+k≤ln(n+-ln(n+k-1),k∈{0，l,2,,n}, 所以sin In-+1+sin In-+2++sin12m<[ln(n+l)-nn]+[n(n+2)-n(n+1)]+…+ [In (2n)-In (2n-1)]=In (2n)-In n=In 2nn=In 2 #独家授权侵权必究