专题6 重难突破15 导数中的同构问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

西学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 专题集训·课时练 [对应学生用书P1] l.已知函数fx)=xlnx一x-lnx+1的导函数为fx): (1)证明：函数)有且只有一个极值点： (2)若xf6x)-fx)≤一3一xe恒成立，求实数m的取值范围. 解析(1)证明由题意知fx)的定义域为(0，+oo),且fx)=nx+1-1-=lnx-, 令p(x)=lnx-,则p'(x)=+=>0(x>0), 所以p(x)即f(x)在(0，+∞)上单调递增， 又f1)=-1<0,fe)=1->0, 所以f(x)在(1，e)上有唯一零点xo, 当0<<x时，fx)0,当x>x时，fx)>0, 所以x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,+o∞)上单调递增， 所以函数fx)有且只有一个极值点x. (2)xf)-)≤-3-mxe*恒成立，即(clnx-I)-(xlnx-x-lnx+1)≤-3-mxe恒成 立， 即lnx+x+l≤-mxe*恒成立，即lnxe)+1≤-mxe恒成立. 令t=xe>0,则lnt+1≤-mt, 所以-m≥， 令g()=(>0),则g()=, 令g(00,得P1,令g(0>0,得0<K1, 所以g()在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以g()max=g(1)=1,所以-m≥1，解得m≤-1， 即实数m的取值范围为(-∞，-1]. 2.已知函数fx)=x(ae-l),a∈R (1)若曲线y=fx)在x=一1处的切线1与直线x一y十2=0垂直，求1的方程： (2)若g(x)=fx)十(2-lnx-x)e3+x,求证：当a>1时，gx)>0. 解析(1)由题意知，fx)=ae(x+1)-1,则f(-1)=-1,即%=-1. 因为切线1与直线x-ay+2=0垂直， 所以直线x-y+2=0的斜率为1，得a=1, 则-1)=-1×(e-1)=1-, 故1的方程为y-=-1×(c+1), 即x+y+=0. 独家授权侵权必究 西学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 (2)证明由题知g(x)=axe+(2-lnx-x)e3, 当a>1时，gx)>xe+(2-lnx-x)e3, 故只需证xe*+(2-lnx-x)e3≥0， 即证enx+r≥(lnx+x-2)e3, 即证ehx+x3≥nx+x-3+1. 令F)=e'-(t+1),则F(0=e-1, 当t>0时，F()>0,Ft)单调递增； 当t0时，F()<0,F(t)单调递减. 所以F(0mim=F(O)=0,即e≥t+1,当且仅当t=0时取等号. 易知函数y=lnx+x-3的值域为R, 所以ex*3≥nx+x-3+1， 当且仅当lnx+x-3=0时取等号， 故当a心1时，g(x)>0. 3.己知函数x)=+alnx-b(r>0),gx)=lnx+x. (1)若曲线y=fx)在x=1处的切线方程为y=2x十e一3，求a,b的值： (2)在(1)的条件下，若m)=g(n),比较m与n的大小并证明. 解析(1fx)=+(>0),1)=e-b,f(1)=a,所以y=x)在x=1处的切线方程为y= ax+e-b-a,比较系数可得a=2,b=1. (2)m≤n.证明如下：设p(x)=e-x-1,则p'(x)=e-1,令p'(x)>0,则x>0;令p (x)0,则x<0,则x=0是(x)的极小值点也是最小值点，故(x)≥(0)=0，即e≥x+1(当 且仅当x=0时等号成立).令hx)=x)-g),则h()=+lnx-x-1=eax-(c-lnx) 1≥0，当且仅当x-nx=0时取“=”，所以)≥g),则有m)≥gm),而fm)=g), 所以g(m)≤g(n),又因为g(x)=+1>0,所以g(x)单调递增，所以m≤n. 4.已知函数fx)=nx-ax,a>0. (1)若a=2,求函数x)的极值： (2)设gr)=(e-ar2十ax),当x>0时，fx)≤g(x),求实数a的取值范围， 解析(If)=lnx--1+=(lnx-1),令fx)=0,得x=1或x=e,当0<x<1或x>e时 fx)>0,当1<x<e时，fx)<0,所以函数fx)在(0，I)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在 (e,+o)上单调递增，所以函数fx)的极大值为f1)=-2,极小值为fe)=-e (2)g(x)=a(er-2x+1),lnx-ax≤a(ea-2x+1),即2lnx≤ax(e+1),即(x2+1)ln x2≤lne(ear+1),设px)=(c+1)lnx,p'(x)=lnx++1,设kx)=lnx++1,K(x)=,当 0<x<1时，k(x)<0,当x>1时，K(x)>0,所以函数k(x)在上单调递减，在(1，+∞)上单调递 增，kx)≥(1)=2，即p'(x)≥0'(1)=2，则函数p(x)在上单调递增，则由p≥p,得e≥x2在 独家授权侵权必究 西学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 0,+o)上恒成立，即a≥在(0，+o)上恒成立.设h(x)=,h'(x)=,当0<<e时，h (x)>0,当x>e时，h'(x)<0,所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，所 以h(x)≤h(e)=,故a≥，所以实数a的取值范围为 独家授权侵权必究