专题6 重难突破13 极值点偏移问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 专题集训·课时练 [对应学生用书P19] 1.己知函数fx)=xnx一x,两相异正实数1,2满足)=x2),求证：：十x2>2. 证明fx)=lnx,当x∈(O,1)时，fx)单调递减，当x∈(1，十o)时，fx)单调递增，且 1)=一1，如图所示， 不妨设1<1x2, 要证十x2>2,即证x>2-, 只需要证frcynalvs-4 alcol(2-xl)x), 又x1)=x2), .只需证freynalvs4 alcol(2-xl)), 设gx)=fx)-2-x)c∈(0,1)，则g(x)=fx)-f(2-x)=lnx+n(2-x),0<x<1,再设 h(x)=Inx+In (2-x),0<x<1,h'(x)=Ix-12-x=2-2xxlbVclrcvnalvs4lallcol(2-x))>0, ∴.hx)在(0,1)上单调递增，x)<h(1)=0, ∴gx)在(0,1)上单调递减，.g()>g(1)=0, x)-2-xP0,0x<1, .∴f)>Arey(alvs-4 alcol(2-xl),∴.x1+x>2. 2.已知函数f(x)=(1十lnx)e. (1)讨论x)的单调性： (2)若方程x)=1有两个根x1,2,求实数a的取值范围，并证明：2>1. 解析(1)由题意可得x>0,1>0,所以a>0, f(x)=(1+lnx)e立.=1十mxar的定义城为(0，+)， f(x)=1rc\)(alvs4\allcol(1+In x)\rc)(alvs4allcol(ax)=-In xax2, 由x)=0,得x=1, 当0<x<1时，fx)>0,则x)在(0,1)上单调递增， 当x之1时，f)0,则)在(1，+∞)上单调递减. (2)证明由1+In xax=1,得1十lnx=a, ig(x)=1+In xx,g'(x)=1rc\)(alvs4allcol(1+In x)x2=-In xx2, 由g(x)=0,得x=1, 当0<1时，g'(x)>0,则gx)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，g'(x)<0,则gx)在(1，十∞)上单调递减， 又glalvs-4alco1f1e)=0,g(1)=1,且当x一+∞时，gx)→0， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 ge)=1十lnxx的图象如图， ↑y 011 所以当0<a<1时，方程1十lnx=a有两个根， 不妨设2，则01<1x2,1十1nxlx1=1十lnx2x2, h(x)=g(x)-glaws4lallcol(f1x))=1+In xx-x(1-Inx), h'x)=-lnxx2+lnx=x2-lx2-lnx≥0， 所以h(x)在(0，十o∞)上单调递增， 又h(1)=0,所以hs)=gs)-glalvs4-alco1.(f1xl)》<0, 即g)gaws4 allcol(y1xl》,又g)=gc2), 所以g2)gavs4 allcol0f1xl》, 又x2>1,1x>1,g(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以2>1xl, 故x2>1. 3.已知函数fx)=ex-lnx十x一a. (1)若x)≥0，求实数a的取值范围： (2)若fx)有两个零点1,2，求证：2<1.alvs4al小col(提示：f(xexm)=m+lnm一a 解析(1)x)的定义域为(0，+o),f(x)=avs4 alcol(f1lx2)ex-1x+1=Ix awvs4 allcol(1-f(Ix))ex+lalvs4\allcol(1-1x))=x-Ixlalvs4lallcol(ffexx)+1).f(x)=0, 得x=1, 当x∈(0,1)时，f(x)<0,x)单调递减， 当x∈(1，十∞)时，fx)>0,x单调递增， 则fx)≥1)=e+1-a. 若fx)≥0，则e+1-a≥0， 即a≤e十1.所以a的取值范围为(-∞，e十1]， (2)证明由题意得fx)=ex+ne-a,令m=exx>l,则gm)=m+lnm-a,m>l,g (m)=1十1m>0,所以gm)=m+lnm-a在(1，十∞)上单调递增，故g(m)=0至多有1个解. 因为x)=ex十In exx-一a有两个零点1，x2, 故m=exlx1=ex2x2, 两边取对数得一n=2一lnx2, 即xl-x2nx1-lnx2=1 又因为xlx2<xl一x2lnxl-lnx2(*), 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 故xlx2<1,即x12<1 下证xlx2xl-x2lnx1-lnx2(* 不妨取>2，xlx2<xl-x2lnxl-mx2台ln1-n2xl-x2rlx2)台In xlx2<xlx2)- x2xl).不妨令t=xlx2),则仑1，只需证2ln长t-1t 构造h0=2nt-t什lt,pl, 则h'(①=2t-1-1t2=一laws4alco1(1-f1)2<0, 所以h0=2nt-t+1t在(1，+∞)上单调递减，故h()<(1)=0,即2ntt-lt,得证. 4.已知函数fx)=(nx-k-1)x(k∈R) (I)当k=0时，若gc)=x)一m有两个零点，求m的取值范围； (2)若x12且f)=fx2),求证：1x2<e2 解析(1)当k=0时，x)=nx一1)x,fx)=lnx,当x>1时，f(x)>0,fx)单调递增： 当0x<1时，)<0，x)单调递减， 所以fx)mim=f1)=-1.又0x<e时，fx)0,且x一0时，fx)→0，e时，x)>0,作出 x)的大致图象如图所示，因为g(x)有两个零点，所以y=x)与y=m有两个交点，由图可得 m的取值范围是(-1，O) ↑y -10N 341 y=m (2)证明设x)=x2)=t, bVcrc)(alvs4alcol(Inx1-k-1))x1=t,b\lc\(rc)(awvs4lalcol(In x2-k-1))x2=t, 所以nxl一k-1=ftcl2),(0),两式相减得ln1-n=c1-2,即t=lnxl一ln x211x2, 两式相加得ln+ln2-2k-2=tavs4 alcol(f1lx2 要证xx2<e2,只需证In rcy(alvs4 alcol(lx2lne2, 即ln+lnx2<2k,即证tavs4 allcol(f(1lx2)+2k+2<2k,只需证t alvs4 alcol(f(1lx2)<-2,只需证lnx1-nx211x2-alvs4 allcol(f(11x2<-2,只需证xlx2xlx2 In xIx2<-2 令m=xlx2(0<m<1),则只需证1十ml一mlnm<-2, 即证nm<rc)Aavs4 alcol(m-l)jm+1.构造函数g(m)=nm-rcynawvs-4 al\col(m-l) m+1=lnm-2+4m+1(0<m<1), 则g(m)=1m-4(m+1)2=(0m-1)2m(m+)2>0, ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以g(m)在(0,1)上单调递增， 所以g(m)8(1)=0, 即lnm<rc)avs4 alcol(m-l)m+1,得证 ·独家授权侵权必究