专题6 重难突破11 切线与公切线问题(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P195] 一、单项选择题 1．(2025·山东聊城一模)曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．4 B．3 C．1 D． 解析　对函数y＝x ln x求导得y′＝ln x＋1，故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1，切点坐标为，所以，曲线y＝x ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1， 该切线交x轴于点，交y轴于点， 因此，曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×12＝. 故选D. 答案　D 2．(2025·北京市第二中学模拟)已知过点A作曲线y＝ex的切线有且仅有1条，则a＝(　　) A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1 解析　设切点为， 由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝－x0ex0，切线方程为y－ex0＝－x0ex0. 直线过点A，则－ex0＝－x0ex0·，化简得x－x0＋1＝0， 切线有且仅有1条，即Δ＝2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即＝0，解得a＝－3或1，故选C. 答案　C 3．(2025·江西景德镇模拟)已知函数f(x)＝a(x－a)2，若曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝x＋m，则m的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析　因为f(x)＝a(x－a)2＝ax3－4a2x2＋5a3x－2a4， 所以f′(x)＝3ax2－8a2x＋5a3， 所以由题意得f′＝12a3－16a3＋5a3＝a3＝1⇒a＝1， 所以切点，所以0＝2＋m⇒m＝－2.故选C. 答案　C 4．(2025·山东菏泽一模)曲线y＝在A，B两点处的切线互相垂直，则＋的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．e 解析　由y＝|ln (x＋1)|＝⇒y′＝ 不妨设x1<x2，两切线的斜率分别为k1，k2， 当0≤x1<x2时，则有k1＝，k2＝，此时k1k2＝>0， 显然k1k2≠－1，因此l1⊥l2不成立，不符合题意； 当－1<x1<x2<0时，则有k1＝－，k2＝－，此时k1k2＝>0，显然k1k2≠－1， 因此l1⊥l2不成立，不符合题意； 当－1<x1<0≤x2，则有k1＝－，k2＝， 此时k1k2＝－1⇒x1x2＋x1＋x2＝0，变形得＋＝－1.故选A. 答案　A 5．(2025·宁夏石嘴山三模)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝ln x，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)有两条公切线，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　设公切线与曲线y＝f(x)、曲线y＝g(x)相切的切点分别为(t，at2＋1)，(x0，ln x0)， 而f′(x)＝2ax，g′(x)＝，依题意，2at＝＝，则x0>0，因a>0，则t>0， 消去x0得at2－ln (2at)－2＝0，令函数h(t)＝at2－ln (2at)－2(t>0)， 由曲线y＝f(x)与y＝g(x)有两条公切线，得函数h(t)有两个不同的正零点， h′(t)＝2at－＝，当0<t<时，h′(t)<0；当t>时，h′(t)>0， 函数h(t)在上递减，在上递增，h(t)min＝h＝－ln (2a)－， 而当t从大于0的方向趋近于0时，h(t)→＋∞，当t→＋∞时，h(t)→＋∞， 则当且仅当－ln (2a)－<0，即a>时，函数h(t)有两个不同零点， 所以a的取值范围是. 故选C. 答案　C 二、多项选择题 6．过点P(a，b)作直线l与函数f(x)＝－2x3的图象相切，则(　　) A．若P与原点重合，则l方程为y＝0 B．若l与直线x－6y＝0垂直，则6a＋b＝4 C．若点P在f(x)的图象上，则符合条件的l只有1条 D．若符合条件的l有3条，则<－ 解析　设l与f(x)＝－2x3的图象相切于点Q(t，－2t3)，则切线斜率k＝f′(t)＝－6t2＝，整理得4t3－6at2－b＝0.对于A，若P与原点重合，则a＝b＝0，所以t＝0，k＝0，l即x轴，方程为y＝0，故A正确；对于B，若l与直线x－6y＝0垂直，则k＝－6t2＝－6，t＝±1，当t＝1时，4－6a－b＝0，6a＋b＝4，当t＝－1时，－4－6a－b＝0，6a＋b＝－4，故B错误；对于C，当点P在f(x)的图象上时b＝－2a3，4t3－6at2＋2a3＝0，所以(t－a)2·(2t＋a)＝0，解得t＝a，或t＝－，当a≠0时，l有2条，故C错误；对于D，设g(t)＝4t3－6at2－b，g′(t)＝12t2－12at，由g′(t)＝0得t＝0或t＝a，符合条件的l有3条，g(t)有3个零点，则g(0)g(a)＝－b<0，所以b<0，＋1<0，<－，故D正确．故选AD. 答案　AD 7．若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)的图象在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝sin (cos x) C．f(x)＝x＋sin x D．f(x)＝x2＋sin x 解析　对于A，f(x)＝sin x＋cos x＝sin ， 则f′(x)＝cos ， 当x＝2kπ＋，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值，直线y＝是函数图象的切线，且过点，k∈Z，故A正确； 对于B，f(x)＝sin (cos x)， 则f′(x)＝－sin x cos (cos x)， 当x＝2kπ，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin 1，直线y＝sin 1是函数图象的切线，且过点(2kπ，sin 1)，k∈Z，故B正确； 对于C，f(x)＝x＋sin x，则f′(x)＝1＋cos x，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f′(x)＝1，f(x)＝2kπ＋＋1，k∈Z， 过点，k∈Z的切线方程是y－＝x－，k∈Z， 即y＝x＋1， 因此该切线过f(x)图象上的两个以上的点，故C正确； 对于D，f(x)＝x2＋sin x，则f′(x)＝2x＋cos x，令g(x)＝f′(x)＝2x＋cos x， 则g′(x)＝2－sin x>0在R上恒成立，所以g(x)即f′(x)是R上的增函数，因此函数f(x)图象上不存在两点，使它们的切线斜率相等，故D错误． 答案　ABC 8．已知直线l1是曲线f(x)＝ln x上任一点A(x1，y1)处的切线，直线l2是曲线g(x)＝ex上点B(y1，x1)处的切线，则下列结论中正确的是(　　) A．当x1＋y1＝1时，l1∥l2 B．存在x1，使得l1⊥l2 C．若l1与l2交于点C时，且△ABC为等边三角形，则x1＝2＋ D．若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)，则x1y2＝1 解析　由题意得y1＝ln x1，由x1＋y1＝1，得x1＋ln x1＝1，如图， 可知y＝x＋ln x与y＝1的交点是(1，1)，可得x1＝1，y1＝ln x1＝ln 1＝0，由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，所以直线l1的斜率为f′＝f′(1)＝1，由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex，所以直线l2的斜率为g′(y1)＝g′(0)＝e0＝1＝f′，即直线l1的斜率等于直线l2的斜率，且不重合，所以l1∥l2，故A正确；因为＝f′·g′(y1)＝·＝·＝·x1＝1≠－1，所以不存在x1，使得l1⊥l2，故B错误；如图， 设l1，l2的倾斜角分别为α，β，因为△ABC为等边三角形，所以β＝α±，又tan α＝f′＝，tan β＝g′(y1)＝＝＝x1，所以当β＝α＋时，tan β＝tan ＝＝＝x1，整理得x－2x1－1＝0，所以x1＝＋2(负值舍去)；当β＝α－时，tan β＝tan ＝＝＝x1，整理得x＋2x1－1＝0，所以x1＝－＋2(负值舍去)；所以x1＝±＋2，故C错误；若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)，则＝f′＝＝g′(x2)＝，即＝，又C(x2，y2)在g(x)＝ex上，所以y2＝，所以＝y2，即x1y2＝1，故D正确．故选AD. 答案　AD 三、填空题 9．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________． 解析　方法一　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0， 将x＝0代入切线方程y＝2x＋5， 可得y＝2×0＋5＝5， 所以切点坐标为(0，5)， 因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上， 所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 故答案为4. 方法二　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)， 则解得a＝4. 故答案为4. 答案　4 10．(2025·湖南郴州三模改编)已知函数f(x)＝x2＋2a ln x，若函数f(x)在区间(1，2)的图象上存在两条斜率之积为－4的切线，则实数a的取值范围为________． 解析　由f(x)＝x2＋2a ln x⇒f′(x)＝2x＋， 不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，，且f′·f′＝－4. 若a≥0，则f′(x)>0恒成立，不符合题意，可排除A项． 所以a<0，此时y＝f′(x)在上单调递增， 依题意需使 解得a∈. 答案　(－3，－2) 学科网（北京）股份有限公司 $