专题4 重难突破8 概率与数列、函数的融合创新问题(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学高考复习资料聚焦概率与数列、函数的融合创新这一高考核心考点，按命题点分层梳理知识内在联系，通过考点分析、方法提炼、真题精讲及预测练习等环节，帮助学生构建解题框架，突破重难问题，体现复习的系统性和针对性。 资料采用问题驱动教学法，如通过单淘汰制比赛概率问题引导学生用数学思维建立递推模型，结合正态分布与函数求最值培养数学语言表达能力。设置分层练习与即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

重难突破8　概率与数列、函数的融合创新问题 [对应学生用书P62] 命题点1　概率与数列的融合问题 [例1]　(2025·山西临汾二模)乒乓球体育俱乐部计划进行单打比赛，采用单淘汰制进行比赛，即每名选手负一次即被淘汰出局．现有8名乒乓球单打运动员随机编号到对阵位置，所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为.现有甲、乙两位孪生兄弟参赛． (1)求甲、乙在第一轮比赛过程中相遇的概率； (2)求甲、乙在比赛过程中相遇的概率； (3)为使得甲、乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，俱乐部计划增加运动员人数到2n(n∈N*)名，对阵图和上图类似． ①求甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率(用含n的式子表示)； ②求n的最小值． [解析]　(1)设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组，所以甲乙在第一轮相遇的概率P1＝. (2)由题可知甲乙相遇包括三种情况：甲乙第一轮相遇，甲乙第二轮相遇，甲乙第三轮相遇． 甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组，概率为，同时甲乙在第一轮都要获胜，则甲乙在第二轮相遇的概率为P2＝××＝； 甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区，概率为，同时甲乙在第一、二轮都要获胜，则甲乙在第三轮相遇的概率为P3＝××＝. 所以甲乙相遇的概率P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (3)①当人数增加到2n，则固定甲的位置后，乙有2n－1个选择， 要使得甲乙能在第三轮相遇，由(2)可知甲乙必须得在同一个区内的不同半区的概率为， 同时甲乙在第一、二轮都要获胜， 则甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率为P＝××＝. ②记比赛的轮次为事件Ak(k＝1，2，3…n)， 甲乙在比赛过程中相遇的事件为B，要使甲乙能在第k轮相遇， 则甲乙必须得在同一个k-1区内的不同半区，概率为， 同时甲乙在前k－1轮都要获胜， 所以P＝×k-1×k-1＝×k-1. 所以甲乙相遇的概率为P(B)＝k-1＝·＝. 要使得甲乙相遇的概率小于0.01，即<0.01，即2n-1>100， 又因为n为整数，所以n－1≥7，即n≥8，所以n的最小值为8. 概率与数列问题的融合，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为 (1)精准定性：即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则； (2)准确建模：即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题； (3)解决模型：也就是递推数列的求解，多通过构造方法转化为等差、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式． [预测练1] (2025·广东广州模拟)甲、乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两次． (1)甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于6的概率； (2)若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜．同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束．求甲获胜的概率．(注：若0<p<1，当n→＋∞时，pn看作0) 解析　(1)设事件A＝“甲第一次掷出偶数点”，事件B＝“甲两次掷出的点数之和大于6”， 设样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}， 样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×6＝36，且每个样本点都是等可能的． A＝{(m，n)|m∈{2，4，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}}，n(A)＝3×6＝18， AB＝{(2，5)，(2，6)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，n(AB)＝12， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝，. 即在甲第一次掷出偶数点的条件下，两次掷出的点数之和大于6的概率为. (2)若甲第一轮获胜，概率为P1＝＝； 若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第二轮甲投掷后的两个点数都为偶数，概率为P2＝××＝×； 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第三轮甲投掷后的两个点数都为偶数，概率为P3＝×； 由以上可得，若甲第n(n≥1)轮获胜，即前n－1轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第n轮甲投掷后的两个点数都为偶数．概率为Pn＝×＝×. 于是，P1，P2，P3，…，Pn组成一个以为首项，为公比的等比数列． 所以P＝P1＋P2＋P3＋…＋Pn＝＝. 则当n→＋∞时，P＝，故甲获胜的概率为. 命题点2　概率与函数的融合问题 [例2]　(2025·湖南邵阳联考)为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试)，共有4万名学生参加初试．组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值； (2)若所有学生的初试成绩X 近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为P，求概率P的最小值． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. [解析]　(1)∵10×(0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.010)＝1，∴a＝0.02. 样本平均数的估计值为50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69. (2)∵μ＝69，σ＝10.5， ∴P＝P≈＝0.022 75. ∴能参加复试的人数约为40 000×0.022 75＝910. (3)由题意有x2y＝. 答对两道题的概率 P＝x2＋Cxy＝x2＋2xy－3x2y＝x2＋－. 令f(x)＝x2＋－(0<x≤1)， 则f′(x)＝2x－＝， ∴当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减； 当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增． ∴当x＝时，f(x)min＝. 故概率 P的最小值为. 概率与函数的融合问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数．求解时可借助基本初等函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解．解决此类问题应注意以下两点： (1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键； (2)注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制． [预测练2] (2025·山东泰安二模)某学校有甲、乙两个图书馆．假设同学们可以任意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图书馆．若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为，每次选择相互独立．设王同学在某周的三天内去图书馆借阅的次数为X，已知X的分布列如下(其中a>0，0<p<1). X 0 1 2 3 P a(1－p)2 a a(1－p) (1)记事件Ai表示王同学在这三天内去图书馆借阅i次(i＝0，1，2，3)，事件B表示王同学在这三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数．当p＝时，试根据全概率公式求P(B)的值； (2)是否存在实数p，使得E(X)＝，若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)当p＝时，P(A0)＝，P(A1)＝2a，P(A2)＝a，P(A3)＝， 则＋2a＋a＋＝1，解得a＝. 由题意，得P(B|A1)＝C×，P(B|A2)＝C， P(B|A3)＝C＋C， 由全概率公式，得P(B)＝P(B|Ai)P(Ai) ＝a＋Ca＋× ＝a＋＋＝a＝×＝. (2)由＋a＋a(1－p)＋a(1－p)2＝1，得＝p2－3p＋＋3， 假设存在p，使E(X)＝＋2a＋3a(1－p)＝， 将上述两式左右分别相乘， 得＋5－3p＝－5p＋＋5， 化简得5p3－6p2＋2＝0， 设h(p)＝5p3－6p2＋2，则h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4)， 由h′(p)<0，得0<p<，由h′(p)>0，得<p<1， 则h(p)在上单调递减，在上单调递增， 所以h(p)的最小值为h(p)min＝h＝>0， 所以不存在p0使得h(p0)＝0，即不存在p值，使得E(X)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $