专题2 重难突破3 数列中的奇偶项问题(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

重难突破3　数列中的奇偶项问题 [对应学生用书P26] 命题点1　分段递推型 [例1]　已知数列{an}满足a1＝7，an＋1＝ (1)写出a2，a3，a4； (2)证明：数列{a2n－1－6}为等比数列； (3)若bn＝a2n，求数列{n·(bn－3)}的前n项和Sn. [解析]　(1)由a1＝7，an＋1＝ 可得a2＝a1－3＝4；a3＝2a2＝8；a4＝a3－3＝5. (2)证明　由题可得a2n＋1－6＝2a2n－6＝2(a2n－1－3)－6＝2(a2n－1－6)， 则数列{a2n－1－6}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a2n－1－6＝2n-1，即a2n－1＝6＋2n-1， bn＝a2n＝a2n－1－3＝3＋2n-1， n·＝n·2n-1， 前n项和Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n-1， 2Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 两式相减可得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n·2n＝－n·2n， 化简可得Sn＝1＋·2n. 形如an＝型：①邻项等差、邻项等比型数列：如a1＝1，an＋1＝将n用2k－1或2k替代． 当n＝2k－1 时，a2k＝a2k－1＋1；当 n＝2k时，a2k＋1＝2a2k＝2(a2k－1＋1)，即a2k＋1＋2＝2(a2k－1＋2)，构造出以a1＋2为首项，2为公比的等比数列，求出 a2k－1的通项公式，进而求出a2k. ②数列{an}与其他数列的关系：如an＝先求出数列{bn}的通项公式，再求出{an}的通项公式． [预测练1] (2025·福建厦门质量检测)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，S4＝10，且为等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝求{bn}的前2n项和T2n. 解析　(1)设等差数列的公差为d，因为a1＝S1＝1，所以－＝3d，即－1＝3d，d＝， 所以＝1＋，即Sn＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n， 当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝n，n∈N*. (2)由(1)知bn＝ 则T2n＝(b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n) ＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋ ＝＋ ＝n2＋－. 所以数列{bn}的前2n项和为T2n＝n2＋－. 命题点2　含(－1)n型 [例2]　已知数列{an}满足a1＝1，且对任意正整数m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{(－1)nan}的前n项和Sn. [解析]　(1)由对任意正整数m，n均有am＋n＝an＋am＋2mn， 取m＝1，得an＋1＝an＋1＋2n， 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝＝n2， 当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝n2，n∈N*. (2)当n为偶数时， Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋(2n－1) ＝＝； 当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋(－1)nan＝Sn－1－an＝－n2＝. 综上所述，Sn＝ 通项中含有(－1)n的情形 (1)等差数列的通项公式乘以(－1)n，用并项求和法求数列前n项的和，如an＝(－1)n，前20项的和a1＋a2＋…＋a20＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39). (2)等比数列的通项公式中含有(－1)n，其前n项和可写成分段的形式，可求最值，如等比数列{an}的通项公式为an＝(－1)n-1·，则其前n项和Sn＝1－，求Tn＝Sn－的取值范围时，n分奇偶讨论，求Tn的最值． (3)裂项相消法求和 如an＝(－1)n＝(－1)n·，求和时通过(－1)n实现正负交替. [预测练2] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*，λ是常数). (1)若λ＝0，证明：{an}是等比数列； (2)若λ≠0，且{an}是等比数列，求λ的值以及数列{(－1)nlog2a3n－1}的前n项和Sn. 解析　(1)证明　an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*)， 当λ＝0时，an＋an＋1＝0，an＋1＝－an， 所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)因为a1＝1，an＋an＋1＝λ·2n(n∈N*)，λ≠0，且{an}是等比数列， 所以a1＋a2＝1＋a2＝λ·2，a2＝2λ－1， a2＋a3＝2λ－1＋a3＝λ·22，a3＝2λ＋1， 所以(2λ－1)2＝1×(2λ＋1)， 而λ≠0，故解得λ＝， 则a2＝2，a3＝4，所以等比数列{an}的公比q＝2， 则an＝2n-1，a3n－1＝23n-2，所以(－1)nlog2a3n－1＝(－1)nlog223n-2＝(－1)n(3n－2). 当n为偶数时， Sn＝(－1)＋4＋(－7)＋10＋(－13)＋16＋…＋[－(3n－5)]＋(3n－2)＝3×＝n＝； 当n为奇数时， Sn＝Sn＋1－(3n＋1)＝(n＋1)－(3n＋1)＝＝. 综上所述，Sn＝. 命题点3　an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)型 [例3]　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋4n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，求c1的取值范围． [解析]　(1)由题意得当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3， 当n＝1时，a1＝5，适合上式，故an＝2n＋3. (2)由(1)知，cn＋1＋cn＝2n＋3　①， 当n＝1时，c2＋c1＝5； 当n≥2时，cn＋cn－1＝2(n－1)＋3　②， ①－②得cn＋1－cn－1＝2(n≥2)， ∴数列{c2n}是以c2为首项，2为公差的等差数列， 数列{c2n－1}是以c1为首项，2为公差的等差数列． 当n为偶数时，cn＝c2＋2×＝n＋3－c1； 当n为奇数时，cn＝c1＋2×＝n－1＋c1， ∴cn＝ 因为对任意的n∈N*，都有cn＋2n2≥0成立， ①当n为奇数时，n≥1，cn＋2n2＝n－1＋c1＋2n2≥0恒成立， 即－c1≤2n2＋n－1对n为奇数恒成立， 当n＝1时，(2n2＋n－1)min＝2， ∴－c1≤2，即c1≥－2； ②当n为偶数时，n≥2， cn＋2n2＝n＋3－c1＋2n2≥0恒成立， 即c1≤2n2＋n＋3对n为偶数恒成立， 当n＝2时，(2n2＋n＋3)min＝13，∴c1≤13. 综上所述，c1的取值范围是[－2，13]. (1)构造隔项等差数列：由an＋1＋an＝pn＋q(p≠0)，得an＋2＋an＋1＝p(n＋1)＋q，两式相减得an＋2－an＝p. {an}的奇数项是以a1为首项，p为公差的等差数列；{an}的偶数项是以a2为首项，p为公差的等差数列． (2)构造隔项等比数列：由an＋1·an＝pqn(p，q≠0)，得an＋2·an＋1＝pqn+1，两式相除得＝q. {an}的奇数项是以a1为首项，q为公比的等比数列；{an}的偶数项是以a2为首项，q为公比的等比数列． [预测练3] 在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求Sn. 解析　(1)∵an·an＋1＝， ∴an＋1·an＋2＝， ∴＝，即an＋2＝an， ∴＝＝＝. ∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝， ∵b1＝a2＋a1＝＋1＝， ∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列， ∴bn＝·＝. (2)由(1)可知an＋2＝an，且a1＝1，a2＝， ∴数列{a2n}是以为首项，为公比的等比数列，数列{a2n－1}是以1为首项，为公比的等比数列， ∴当n为奇数时，an＝； 当n为偶数时，an＝. ∴an＝ (3)①当n＝2k时，S2k＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋…＋a2k)＝3－； ②当n＝2k－1时，S2k－1＝S2k－a2k＝3－－＝3－. ∴Sn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $