专题4 重难突破7 体育比赛与闯关问题(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学讲义聚焦概率统计中的体育比赛与闯关问题，覆盖2n-1局n胜制、比分差距制、积分制三大高考核心命题点，按“规则解读-模型抽象-方法提炼”逻辑架构知识点，通过考点梳理明确考查要求，方法指导总结分步分类策略，真题讲解结合例题示范解题流程，分层练习巩固应用，形成系统复习链条。 资料以真实比赛情境为载体，引导学生用数学眼光抽象概率模型，通过五局三胜制中“提前结束比赛”的分类讨论培养数学思维，规范分布列与期望的数学语言表达。设置“命题点-例题-总结-预测练”四步教学活动，如比分差距制中10平后轮换发球的概率计算训练，帮助学生高效突破难点，既提升学生实际应用与规范解题能力，也为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难突破7　体育比赛与闯关问题 [对应学生用书P60] 命题点1　2n－1局n胜制 [例1]　为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制(即有一方先胜3局即获胜，比赛结束)，假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响． (1)求甲班在项目A中获胜的概率； (2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望． [解析]　(1)记事件A＝“甲班在项目A中获胜”，则P(A)＝××＋C×××＋C×××＝，所以甲班在项目A中获胜的概率为. (2)记事件B＝“甲班在项目B中获胜”， 则P(B)＝＋C×＋C×＝. X的所有可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝P( )＝P()P()＝×＝， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (1)一旦某方获得n次胜利即终止比赛；若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到n胜，如：乒乓球、篮球、斯诺克比赛． (2)解法：①通法：分类加法、分步乘法计数原理；②P(甲胜)＝pn＋Cpn(1－p)＋Cpn(1－p)2＋…＋Cpn(1－p)r+1＋…＋Cpn(1－p)n-1. [预测练1] 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4比2获胜的概率为C×××＝. 答案　C 命题点2　比分差距制 [例2]　乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方(胜方至少比对方多2分)，10平后，先多得2分的一方为胜方．甲、乙两位队员进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为.如果在一局比赛中，由乙队员先发球． (1)甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率； (2)求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． [解析]　(1)甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，则最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝C××＋××＝. (2)发球3次后，设甲的累计得分为随机变量X，X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝C××＋×＝，P(X＝2)＝C××＋×＝，P(X＝3)＝×＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (1)规定某方比对方多得m分即终止比赛； (2)根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m； (3)实际如：乒乓球和羽毛球的小局比赛． [预测练2] 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，胜者得1分，先得11分的运动员为胜方，但打到10∶10平后，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，甲先发球，则甲以13∶11赢下此局的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意，此局分两种情况：(1)后四球胜方依次为甲、乙、甲、甲，概率为×××＝；(2)后四球胜方依次为乙、甲、甲、甲，概率为×××＝.所以所求概率为＋＝. 答案　C 命题点3　积分制 [例3]　为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛，每人各投一次为一轮．每人投一次篮，若两人中只有1人命中，则命中者得1分，未命中者得－1分；若两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮结果互不影响． (1)经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望； (2)用pi表示经过第i轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求p2，p3. [解析]　(1)X的所有可能取值为－1，0，1，则P(X＝－1)＝×＝，P(X＝0)＝×＋×＝，P(X＝1)＝×＝. 所以X的分布列为 X －1 0 1 P 则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－. (2)设每轮比赛甲、乙得分分别为Xi，Yi(i＝1，2，3)，则Xi＋Yi＝0.如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则X1＋X2>Y1＋Y2，代入Xi＋Yi＝0，得X1＋X2>0，而Xi的所有可能取值为－1，0，1，所以X1＋X2＝1＋1或X1＋X2＝1＋0，此时有两种情况：一是甲两轮都得1分，二是两轮中有一轮甲得1分而另一轮甲得0分，所以p2＝×＋C××＝.如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理有X1＋X2＋X3>0，同理X1＋X2＋X3有四种情况：1＋1＋1，1＋1＋0，1＋1＋(－1)，1＋0＋0，所以p3＝＋C××＋C××＋C××＝. 规定比赛m场后各队按照积分排名决定比赛名次，此时要注意积分的规则．如：世界杯的小组赛． [预测练3] (多选)为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时(　　) A．四支球队的积分总和可能为15分 B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D．丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 解析　四支球队共6场比赛，若甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，可知A，C均正确．每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为×C××＝，B错误．丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛，丙输，C×，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一队得分不小于4分，不合题意．若丙与乙、丁的两场比赛全赢，概率是，丙得6分，其他3队分数最高为5分，这时甲乙、甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，只有两平，两输，一平一输，概率为C，若平乙输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率为，若两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结果如何均符合题意，若两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是.综上，概率为C×××＝，D正确． 答案　ACD 学科网（北京）股份有限公司 $