专题2 重难突破4 衍生数列问题(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学讲义聚焦高考数列衍生问题核心考点，涵盖去项插项、公共项、并项等重难模块，按问题类型分层架构知识体系，通过考点梳理、例题精讲、方法归纳、预测练习的教学流程，帮助学生系统突破数列综合应用难点，提升复习针对性。 资料以核心素养为导向，创新“问题驱动-思维建模”教学，如公共项问题中通过方程思想分析项数关系，培养数学思维与抽象能力。设置分层练习与即时反馈，保障有限时间内高效突破，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供明确指导。

重难突破4　衍生数列问题 [对应学生用书P29] 命题点1　数列中的去项、插项问题 [例1]　已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除掉属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100. [解析]　(1)在2Sn＝3an－3中，令n＝1，得a1＝3. 因为2Sn＝3an－3， 所以当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3， 两式相减得2an＝3an－3an－1， 所以an＝3an－1， 所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＝3n. (2)因为bn＝3n，所以数列{an}中的项都在数列{bn}中． 数列{an}的前5项为3，9，27，81，243，在数列{bn}的前105项中，这五项和为363. 数列{bn}的前105项为3，6，9，…，27，…，81，…，243，…，315，它们的和为105×3＋×3＝16 695， 所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}的前105项和减去3，9，27，81，243的和，即T100＝16 695－363＝16 332. 解决插项、去项问题的关键是要弄清楚插入或去掉的项数，同时还要分析这些项的特征，以及这些项与原数列各项之间的关系，然后利用分组或并项法求和. [预测练1] 已知数列{an}的前n项和Sn＝(an－1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为bn的等差数列，若cn＝，求数列{cncn＋1}的前n项和Tn. 解析　(1)因为Sn＝(an－1)(n∈N*)， 当n＝1时，S1＝(a1－1)＝a1，解得a1＝3， 当n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)， 所以Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 即an＝an－an－1，所以an＝3an－1， 即数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＝3n. (2)因为an＝3n，an＋1＝3n+1， 所以bn＝＝， 所以cn＝＝＝， 则cncn＋1＝×＝4×， 所以Tn＝4×＋4×＋…＋4× ＝4× ＝4×＝. 命题点2　数列中的公共项问题 [例2]　(1)我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn}，把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则(　　) A．a3＋b5＝c3 B．b28＝c10 C．a5b2＞c8 D．c9－b9＝a26 (2)(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则(　　) A．an＝5n B．an＝5n C．{an}的前n项和为 D．{an}的前n项和为 [解析]　(1)根据题意，数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，an＝2＋3(n－1)＝3n－1；数列{bn}是首项为2，公差为5的等差数列，bn＝2＋5(n－1)＝5n－3.数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，故数列{cn}是首项为2，公差为15的等差数列，cn＝2＋15(n－1)＝15n－13.对于A，a3＋b5＝(3×3－1)＋(5×5－3)＝30，c3＝15×3－13＝32，a3＋b5≠c3，故A错误．对于B，b28＝5×28－3＝137，c10＝15×10－13＝137，b28＝c10，故B正确．对于C，a5＝3×5－1＝14，b2＝5×2－3＝7，c8＝15×8－13＝107，a5b2＝14×7＝98＜107＝c8，故C错误．对于D，c9＝15×9－13＝122，b9＝5×9－3＝42，a26＝3×26－1＝77，c9－b9＝122－42＝80≠77＝a26，故D错误．故选B. (2)令4n＋1＝5m(n，m∈N*)， 所以n＝＝＝∈N*(m＝2，3，…)，当m＝1时，n＝1，所以数列{5m}为数列{4n＋1}的子数列，所以an＝5n(n＝1，2，3，…)，所以{an}的前n项和为＝，故B，C正确，A，D错误．故选BC. [答案]　(1)B　(2)BC 两个不同的数列，含有一些公共项，这些公共项组成一个新数列，根据新数列特征，求指定项、通项公式或求和等问题，求解时注意明确公共项的项数． 当公共项数量有限时，可分别列出两个数列的若干项，进而找到公共项；当公共项数量无限时，可设数列{an}的第k项和数列{bn}的第m项相等，建立k和m的关系，再考虑k，m∈N*确定取值情况，从而解决问题． [预测练2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}的前n项之积Tn＝2. (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值． 解析　(1)由Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1， 当n＝1时，上式也成立， 所以an＝3n－1， 由Tn＝2， 当n＝1时，b1＝T1＝2， 当n≥2时，bn＝＝2n， 当n＝1时，上式也成立，所以bn＝2n. (2)数列{an}和{bn}的公共项依次为21，23，25，27，…， ∴21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，∴cn＝2×4n-1， 则c1＋c2＋…＋c20＝＝. 命题点3　数列中的并项问题 [例3]　在①6Sn＝a＋3an－4；②an＝2an－1－3n＋5这两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 已知正项等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}的前n项和为Sn，满足a2＝2b2－1，a3＝b3＋2，________． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前70项和． [解析]　(1)选①，令n＝1，则6S1＝a＋3a1－4，所以a1＝4(负值舍去). 令n＝2，则6S2＝a＋3a2－4， 则a2＝7(负值舍去). 所以等差数列{an}的公差d＝7－4＝3， 所以an＝4＋×3＝3n＋1. 又a2＝2b2－1，a3＝b3＋2， 所以b2＝4，b3＝8， 所以等比数列{bn}的公比为q＝2， 所以bn＝b2qn-2＝2n. 选②，令n＝2，则a2＝2a1－1. 令n＝3，则a3＝2a2－4＝4a1－6， 又2a2＝a1＋a3，则d＝3，a1＝4. 所以an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1. 又a2＝2b2－1，a3＝b3＋2， 所以b2＝4，b3＝8，所以q＝2， 所以bn＝b2qn-2＝2n. (2)当{cn}的前70项中含有{bn}的前6项时， 令3n＋1<27＝128，解得n<， 此时至多有42＋6＝48项，不合题意； 当{cn}的前70项中含有{bn}的前7项时， 3n＋1<28＝256，解得n<85， 且22，24，26是{an}和{bn}的公共项， 则{cn}的前70项中含有{bn}的前7项且含有{an}的前66项，再减去公共的三项， 所以T70＝＋－22－24－26＝6869. 解答本题易出现的失误是没有理解A∪B中的元素的特征，求数列{cn}的前70项和时没有去掉公共项． [预测练3] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2，数列{bn}满足2bn＝bn－1＋bn＋1，且a2＝4b1，a3＝b8. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)将{an}和{bn}中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100. 解析　(1)由S2＝2a2－2，S3＝a4－2，两式作差可得a3＝a4－2a2，即a2q＝a2q2－2a2， ∵a2≠0，则q2－q－2＝0，∵q>0，解得q＝2， ∴2a2－2＝4a1－2＝a1＋a2＝3a1， 解得a1＝2，∴an＝a1qn-1＝2n. ∵2bn＝bn－1＋bn＋1， 故数列{bn}为等差数列，设该数列的公差为d，由于a2＝4b1＝4，可得b1＝1，a3＝b8＝8， ∴d＝＝1， ∴bn＝b1＋d＝n. (2)当n≤6时，an＝2n≤64， 当n≥7时，an＝2n≥128， ∴数列{cn}的前100项中，{an}有6项，{bn}有94项， ∴T100＝＋＝4591. 学科网（北京）股份有限公司 $