专题3 重难突破5 立体几何中的动态问题(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学讲义聚焦立体几何动态问题这一高考核心考点，涵盖动点轨迹的定性与定量研究、最值范围问题等考查重点。知识点按命题点分层架构，从轨迹判断到动态计算逻辑递进，通过考点梳理明确命题方向，方法指导提炼解题策略，真题讲解示范应用过程，分层练习巩固突破，形成系统高效的复习闭环。 资料以数学眼光洞察空间形式，用数学思维构建动态模型，创新采用“定义转化+空间向量”双路径突破策略。如分析动点轨迹时，结合圆锥曲线定义定性判断，建系后用向量工具定量计算，同步设计预测练分层训练。这能帮助学生在有限时间内提升空间想象与逻辑推理能力，也为教师精准把控复习节奏提供清晰指引。

重难突破5　立体几何中的动态问题 [对应学生用书P43] 命题点1　动点的轨迹问题 角度1　定性研究动点的轨迹 [例1]　(1)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　) A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 (2)(多选)已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 [解析]　(1)由题意可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．故选C. (2)如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2， 所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确； 对于B，在Rt△MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝DN＝，DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝， 所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确； 对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB， 所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确； 对于D，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，设N(x，y，0)，则＝，＝，因为D1N与AB所成的角为， 所以|cos 〈，〉|＝cos ， 所以＝， 整理得－＝1， 所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．故选ACD. [答案]　(1)C　(2)ACD 定性的研究动点的轨迹要利用线面平行、垂直的性质定理，结合圆锥曲线等的定义和方程，确定动点的轨迹． 角度2　定量研究动点的轨迹 [例2]　(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法正确的是(　　) A．若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段 B．存在点Q，使得D1Q⊥平面A1PD C．当且仅当点Q落在棱CC1上某处时，三棱锥Q -A1PD的体积最大 D．若D1Q＝，那么点Q的轨迹长度为π [解析]　对于A，如图，取B1C1，C1C的中点分别为E，F，连接D1E，D1F，EF，PF，则PF∥B1C1∥A1D1且PF＝B1C1＝A1D1， 则四边形A1PFD1是平行四边形， ∴D1F∥A1P， ∵D1F⊄平面A1PD，A1P⊂平面A1PD， ∴D1F∥平面A1PD， 同理可得EF∥平面A1PD. ∵EF∩D1F＝F，EF，D1F⊂平面D1EF， ∴平面A1PD∥平面D1EF，则动点Q的轨迹为线段EF，故A正确； 对于B，如图，以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，P，D(0，0，1)，设Q(x，1，z)，0≤x≤1，0≤z≤1， 则＝(－1，0，1)，＝， ＝(x，1，z). 设m＝(a，b，c)为平面A1PD的法向量， 则即取c＝1， 则m＝. 若D1Q⊥平面A1PD，则∥m， 即存在λ∈R，使得＝λm， 则解得x＝z＝－2∉[0，1]， 故不存在点Q使得D1Q⊥平面A1PD，故B错误； 对于C，∵△A1PD的面积为定值， ∴当且仅当点Q到平面A1PD的距离d最大时，三棱锥Q -A1PD的体积最大． 由B可得＝(x－1，1，z)，m＝， d＝＝， 当x＋z≤时，d＝1－(x＋z)， 则当x＋z＝0时，d有最大值1； 当x＋z>时，d＝(x＋z)－1， 则当x＋z＝2时，d有最大值. 综上，当x＋z＝0，即Q和C1重合时，三棱锥Q -A1PD的体积最大，故C正确； 对于D，由正方体的性质知D1C1⊥平面BB1C1C， ∴D1C1⊥C1Q，D1Q＝＝， ∴C1Q＝，则点Q的轨迹是圆心为C1，半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为π，故D正确．故选ACD. [答案]　ACD 当涉及动点的轨迹的长度，图形的面积与几何体的体积以及体积的最值时，可借助于几何体的结构特征，建立空间直角坐标系，用变量表示轨迹，然后用函数的性质求解． [预测练1] 1．已知在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，AA1与底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D内运动，若EP与AC成30°角，则点P的轨迹为(　　) A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 解析　因为在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，AA1与底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以该平行六面体ABCD -A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥对角面BB1D1D. 取AA1的中点F，连接EF(图略)，则EF∥AC. 因为EP与AC成30°角， 所以EP与EF成30°角． 设EF与对角面BB1D1D的交点为O， 则EO⊥对角面BB1D1D， 所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面圆周，故选A. 答案　A 2．如图，在棱长为的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内的一个动点，当PB1＋PD＝2＋时，点P的轨迹长度是(　　) A．6π B．4π C．2π D．2π 解析　设B1D∩平面A1BC1＝E，连接PE，BE，B1D1，BD， 因为A1B＝BC1＝A1C1＝2，A1B1＝BB1＝B1C1， 所以三棱锥B1 -A1BC1为正三棱锥， 因为DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1， 因为A1C1⊥B1D1，DD1∩B1D1＝D1，DD1，B1D1⊂平面BDD1B1，所以A1C1⊥平面BDD1B1， 又B1D⊂平面BDD1B1，所以B1D⊥A1C1， 同理可证B1D⊥A1B，又A1C1∩A1B＝A1，A1C1，A1B⊂平面A1BC1， 所以B1D⊥平面A1BC1， 则E为正三角形A1BC1的中心， 则BE＝2，所以B1E＝＝， 因为B1D＝3，所以DE＝B1D－B1E＝2， 因为B1D⊥平面A1BC1，PE⊂平面A1BC1，所以PE⊥B1D，即B1E⊥PE，DE⊥PE， 因为PB1＋PD＝2＋， 即＋＝2＋， 因为PE>0，解得PE＝，所以点P的轨迹是半径为的圆，所以点P的轨迹长度是2π. 故选D. 答案　D 命题点2　与动点有关的最值、范围问题 [例3]　(多选)(2025·山东济宁二模)已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足BP∥平面ACD1，则下列结论正确的是(　　) A．BP⊥B1D B．点P的轨迹长度为π C．线段BP长度的最小值为 D．·的最小值为1－ [解析]　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)， 正方体的内切球的球心为正方体的中心O，半径r＝， 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，＝，＝(－1，0，1)， 由即令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n＝. 对于选项A，＝，因为BP∥平面ACD1，所以·n＝0，而＝－n， 所以·＝0，即BP⊥B1D，A正确． 对于选项B，因为BP∥平面ACD1，平面ACD1∥平面A1BC1， 所以点P的轨迹是平面A1BC1与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为O1. 设平面A1BC1与正方体的中心O的距离为d，设平面A1BC1的法向量为m＝(a，b，c)， ＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)， 由可得 令a＝1，则m＝.＝， ∴点O到平面A1BC1的距离为d＝＝＝， ∴圆O1的半径为r1＝＝＝， ∴圆的周长l＝2πr1＝π，即点P的轨迹长度为π，B错误． 对于选项C，BO＝，点P在球面上，BO1＝＝＝ 线段BP长度的最小值为BO1－＝－＝，C选项正确． 对于选项D，设与夹角为θ， 在平面直角坐标系中， B，C1， P(x，y)，O1， ＝， ＝， 要求·的最小值，则||取最小值， 所以x2＋2＝2， 令x＝cos θ，y＝＋sin θ， ·＝－x－y＋＝1－sin ≥1－， 所以·的最小值为1－，D选项正确． 故选ACD. [答案]　ACD 在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路： (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值； (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值. [预测练2] (2025·江苏徐州质量监测)已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别在线段AB1，BC1上运动，若MN与底面ABCD 所成角为45°，则线段MN长度的最小值为________． 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).连接DM，DB1，DN，DB，DC1(图略)，则＝(1，0，0)，＝(1，1，1)，＝(1，1，0)，＝(0，1，1). 由题意可设，＝λ＋(1－λ)＝(1，1－λ，1－λ)，＝μ＋(1－μ)＝(μ，1，1－μ)， 其中λ，μ∈[0，1]， 所以＝－＝(μ－1，λ，λ－μ). 显然＝(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量， 所以sin 45°＝＝＝，即2λμ－2μ＋1＝0， 显然μ≠0，则解得≤μ≤1. ||＝＝|μ－λ|＝，因为y＝μ＋在上单调递减，在上单调递增，所以函数y＝μ＋在上的最小值为，所以||＝＝×的最小值为×(－1)＝2－. 即线段MN长度的最小值为2－. 答案　2－ 学科网（北京）股份有限公司 $