专题1 重难突破2 三角形的特殊线段问题(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学讲义聚焦三角形特殊线段高考核心考点，涵盖等分线段、角平分线、垂线问题，整合正弦定理、余弦定理及向量等知识。通过命题点梳理、定理推导、真题精讲与分层练习，帮助学生构建系统解题思路，突破几何计算难点。 讲义特色在于融合向量法、等面积法等多元解题策略，通过推导中线长定理、角平分线长公式培养数学思维与模型意识。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时方法总结，高效提升学生几何推理与运算能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

重难突破2　三角形的特殊线段问题 [对应学生用书P16] 命题点1　三角形中的等分线段问题 [例1]　(2025·河北秦皇岛一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin C＝sin ＋1. (1)求B； (2)若△ABC的面积为，b＝2，求AC边上的中线长． [解析]　(1)已知sin C＝sin ＋1. 根据诱导公式，可得sin ＝cos B，则原式变为sin C＝cos B＋1. 由正弦定理可得b＝2R sin B，c＝2R sin C，代入上式可得×sin C＝cos B＋1，化简得sin B＝cos B＋1. 将等式变形为sin B－cos B＝1，根据辅助角公式可得2＝1， 即2sin ＝1，所以sin ＝. 因为0<B<π，所以－<B－<，则B－＝，解得B＝. (2)已知△ABC的面积为，B＝，根据三角形面积公式S△ABC＝ac sin B， 可得ac sin ＝，即ac×＝，解得ac＝2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，已知b＝2，B＝， 可得22＝a2＋c2－2×2×cos ，即4＝a2＋c2－2，解得a2＋c2＝6. 设AC中点为D，则＝(＋)， 两边平方可得2＝(2＋2＋2·). 可得2＝(c2＋a2＋2ac cos B) ＝＝(6＋2)＝2， 所以||＝，即AC边上的中线长为. (1)中线长定理：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝　①，在△ABC中，cos B＝　②. 联立①②可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). (2)向量法：2＝(b2＋c2＋2bc cos A). 推导过程：由＝，得2＝＝2＋2＋||·||cos A，所以2＝(当D为其他等分点时，也可仿照此法来解题). [预测练1] 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，AD＝1. (1)若∠ADC＝，求c； (2)若b2＋4c2＝11，求sin ∠BAC的值． 解析　(1)由题可得CD＝2BD， 故S△ACD＝S△ABC＝， 又S△ACD＝AD·CD·sin ∠ADC， 即×1×CD×＝， ∴CD＝，即BD＝. 在△ABD中，根据余弦定理得AB2＝BD2＋AD2－2AD·BD·cos ∠ADB， 即AB2＝＋1＋2×1××， ∴AB＝，即c＝. (2)∵CD＝2BD，∴＝＋， ∴2＝2＋2＋·， 即1＝＋＋bc·cos ∠BAC， 又b2＋4c2＝11，∴bc·cos ∠BAC＝－　①， 又bc·sin ∠BAC＝　②， 由①②得tan ∠BAC＝－4， ∴sin ∠BAC＝. 命题点2　三角形中的角平分线问题 [例2]　(2025·山西吕梁一模)如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b cos A＝2c cos A. (1)求∠BAC的大小； (2)若b＝4，c＝6，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长． [解析]　(1)由a cos B＋b cos A＝2c cos A得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos A， 又因为sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C， 所以2sin C cos A＝sin C， 又因为C∈(0，π)，sin C>0，所以cos A＝， 又因为A∈(0，π)，所以A＝，即∠BAC＝. (2)因为S△BAD＋S△DAC＝S△BAC， 所以AB×AD sin ∠BAD＋AD×AC sin ∠DAC＝AB×AC sin ∠BAC， 又因为AB＝c＝6，AC＝b＝4，∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝， 所以6AD×＋4AD×＝6×4×， 所以AD＝. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. (2)内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的角平分线，则＝. (3)等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD sin ＋b·AD sin ＝bc sin A，所以(b＋c)AD＝2bc cos ，整理得AD＝(角平分线长公式). [预测练2] (2025·广东湛江一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin B＋b cos ∠BAC＝b，D为BC边上的点，且AD平分∠BAC. (1)求∠BAC的大小； (2)若AD＝，a＝7，求△ABC的周长． 解析　(1)由正弦定理得sin ∠BAC sin B＋sin B cos ∠BAC＝sin B. 又因为sin B≠0， 所以sin ∠BAC＋cos ∠BAC＝1， 所以sin ＝， ∴∠BAC＋＝＋2kπ或∠BAC＋＝＋2kπ，k∈Z， ∴∠BAC＝2kπ或∠BAC＝＋2kπ，k∈Z. 又∵∠BAC∈(0，π)，∴∠BAC＝. (2)∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝， ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 所以bc sin ∠BAC＝AD·c sin ∠BAD＋AD·b sin ∠CAD， bc sin ＝×c·sin ＋×b·sin ， 所以bc＝(b＋c)×， 即bc＝(b＋c).　① 由余弦定理得72＝b2＋c2－2bc·cos ， 即49＝(b＋c)2－bc.　② 将①代入②得8(b＋c)2－15(b＋c)－8×49＝0， 所以b＋c＝8或b＋c＝－(舍去)， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋8＝15. 命题点3　三角形中的垂线问题 [例3]　(2025·江西上饶一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2. (1)求A； (2)若b＝3，BC边上的高为，求△ABC的周长． [解析]　(1)由b＝2⇒b＝b－a sin B， 所以b cos ＝a sin B. 由正弦定理可得sin B cos ＝sin A sin B，因为sin B≠0，所以cos ＝sin A. 所以tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为b＝3，BC边上的高为， 所以b sin C＝⇒sin C＝. 根据正弦定理＝⇒＝⇒a＝c. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A⇒a2＝9＋c2－3c， 所以c2＝9＋c2－3c⇒c＝2或c＝－6(舍去)， 所以a＝. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝＋3＋2＝5＋. (1)若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. (2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． [预测练3] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan . (1)求C； (2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求. 解析　(1)由题意及正弦定理，得＝，所以＝. 又因为A，C为△ABC的内角， 所以sin A≠0，cos ≠0. 所以sin2＝，sin＝， 又C∈(0，π)，∈， 所以＝，C＝. (2)方法一　由题意知CH⊥AB，所以·＝0，所以·＝0， 即(m－n)·－m2＋n2＝0(*)， 又a＝8，b＝5，所以·＝5×8×cos ＝20， 2＝25，2＝64， 将上述数据代入(*)式得20(m－n)－25m＋64n＝0， 所以5m＝44n，所以＝. 方法二　△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋52－2×8×5×＝49，所以c＝7. 又因为S△ABC＝ab sin C＝c·CH， 所以CH＝＝＝. 所以AH＝＝，＝. 所以＝＋＝＋ ＝＋. 又＝m＋n， 由平面向量基本定理知，m＝，n＝， 所以＝. 学科网（北京）股份有限公司 $