专题1 重难突破1 三角函数中ω的最值(范围)问题(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学讲义聚焦三角函数中ω的最值（范围）这一高考核心难点，按单调性、对称性、最值、零点四大命题点系统梳理考点，每个命题点均通过例题精讲、方法总结、预测训练的环节设计，帮助学生构建从知识理解到解题应用的完整路径，体现复习的针对性和系统性。 讲义突出数学思维与几何直观的培养，如在单调性问题中引导学生通过整体代换转化区间关系，在零点问题中结合函数图象分析参数范围，预测练题目分层设计适配不同学情。这种以核心素养为导向的复习策略，能高效提升学生的逻辑推理能力，为教师精准教学提供清晰指引。

重难突破1　三角函数中ω的最值(范围)问题 [对应学生用书P14] 命题点1　三角函数的单调性与ω的最值(范围) [例1]　已知函数f(x)＝sin (ω>0)，若函数f(x)在上单调递减，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． [解析]　由＋2kπ≤ωx－≤＋2kπ，k∈Z， 得到≤x≤，k∈Z， 又因为f(x)在上单调递减， 所以(k∈Z)， 得到＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z，又≥，ω>0，即0<ω≤2， 令k＝0，得到≤ω≤，故选D. [答案]　D 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷． [预测练1] 函数y＝f(x)的图象是由函数y＝cos (ωx) (ω>0)的图象向左平移个单位所得，若函数y＝f(x)在(π，2π)范围内单调，则ω的取值范围是________． 解析　y＝f(x)是由y＝cos (ωx) (ω>0)向左平移个单位所得，故f(x)＝cos ， 因为x∈(π，2π)，所以ωx＋∈， 又y＝f(x)在(π，2π)上单调， ∴kπ≤ωπ＋<2ωπ＋≤kπ＋π，k∈Z， ∴ ∴ 由＋>k－，得k<，又ω>0，∴k＝0或k＝1， ∴0<ω≤或≤ω≤， 综上，ω的取值范围为∪. 答案　∪ 命题点2　三角函数的对称性与ω的最值(范围) [例2]　已知函数f(x)＝cos (ω>0)在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　f(x)＝cos (ω>0)， 令ωx－＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z， 函数f(x)在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，即0≤≤π有3个整数k符合， 由0≤≤π，得0≤≤1⇒0≤1＋4k≤4ω，则k＝0，1，2， 即1＋4×2≤4ω<1＋4×3，∴≤ω<.故选C. [答案]　C 首先利用三角函数图象的对称轴或对称中心，通过整体代换建立关于ω的表达式，然后根据ω的取值范围给正整数“k”赋值，从而得到ω的取值范围(最值). [预测练2] 已知函数f(x)＝2sin ，若f(x)的图象的任意一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析　因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)， 所以×≥4π－3π，所以<ω≤1，故排除A，B； 又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－， 解得≤ω≤，k∈Z， 当k＝0时，≤ω≤，不满足<ω≤1； 当k＝1时，≤ω≤，符合题意； 当k＝2时，≤ω≤，符合题意； 当k＝3时，≤ω≤，此时ω不存在．故C正确，D错误．故选C. 答案　C 命题点3　三角函数的最值(值域)与ω的最值(范围) [例3]　若函数f(x)＝cos ωx－sin ωx＋1(ω>0)在上存在最小值但无最大值，则ω的取值范围是________． [解析]　函数f(x)＝2＋1＝2cos ＋1，ω>0， 所以当x∈时，ωx＋∈， 又f(x)在上存在最小值但无最大值， 结合图象可得π<＋≤2π，解得<ω≤. [答案]　 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． [预测练3] 已知函数f(x)＝a cos ωx＋sin ωx，若f＝且f(x)≥f，则ω的最小值为(　　) A．11 B．5 C．9 D．7 解析　由f(x)≥f可知，f(x)在x＝取得最小值，所以函数f(x)的一条对称轴为x＝， 又0＋＝2×，因此f＝f(0)＝， 即a＝. 所以f(x)＝cos ωx＋sin ωx＝2sin ， 又f(x)在x＝取得最小值，可知ω＋＝＋2kπ，k∈Z， 解得ω＝7＋12k，k∈Z， 又ω>0，所以k＝0时，ω＝7＋12k，k∈Z取得最小值，最小值为7.故选D. 答案　D 命题点4　三角函数的零点或极值点与ω的最值(范围) [例4]　(2025·烟台高三调研)设函数f(x)＝sin 在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　当ω<0时，不能满足在区间(0，π)上极值点比零点多，所以ω>0. 因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，又y＝sin x，x∈的图象如图所示， 要使函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点， 需满足<ωπ＋≤3π，解得<ω≤，即ω∈.故选C. [答案]　C 首先根据“x”的取值范围求出“ωx＋φ”的范围，然后根据三角函数零点或极值点的个数和三角函数的图象，列出关于ω的不等式(组)，最后解不等式(组)求出ω的取值范围． [预测练4] 函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，满足f(0)＝1，且y＝f(x)在区间上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围为(　　) A．(5，7) B． C． D．[4，8) 解析　f(0)＝2sin φ＝1，0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin ，因为x∈，ω>0，则ωx＋∈. 因为y＝f(x)在区间上有且仅有3个零点，且y＝sin x在零点0之前的三个零点依次为－3π，－2π，－π，则－＋∈，解得ω∈. 故选C. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $