专题1 第4讲 平面向量(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

第四讲　平面向量 [对应学生用书P11] 命题点1　平面向量的线性运算 [例1]　(1)(2025·重庆一模)在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF 相交于G，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b (2)(2025·江苏南通二模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AB⊥AD，E是CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．1 B． C． D． [解析]　(1)因为B，G，F三点共线，所以可设＝x＋， 所以＝xa＋b， 因为C，G，E三点共线， 所以可设＝y＋(1－y)， 因为＝a，＝b，所以＝＋＝a＋b， 所以＝a＋(1－y) (a＋b)＝a＋(1－y)b， 所以xa＋b＝a＋(1－y)b， 即解得x＝，y＝， 所以＝a＋b，故选A. (2)由图可知：＝－，＝＋＝－－，＝－＝－. 因为＝λ＋μ，所以－＝λ＋μ， 整理得－＝－(λ＋μ)， 根据平面向量基本定理可得 解得所以λ＋μ＝1，故选A. [答案]　(1)A　(2)A (1)平面向量加减运算求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化． (2)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比． [预测练1] 1．(2025·山东临沂一模)在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若＝λ＋，则λ＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为点D是AB的中点， 所以＝，又＝λ＋， 所以＝λ(2)＋＝2λ＋， 因为P，C，D三点共线， 所以2λ＋＝1，所以λ＝，故选B. 答案　B 2．(2025·河南名校联考)三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，是一种常用的作图工具．如图是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||＝||，||＝||，·＝0，连接AD.若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　如图，以A为原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，设AB＝1，则A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，故＝(1，0)，＝(0，1). 过点D作DF⊥x轴，交x轴于点F，由题意可知∠ABC＝∠DBF＝45°，又||＝1，||＝||，则||＝||＝1，所以D(2，1)，所以＝(2，1). 因为＝x＋y(x，y∈R)，即(2，1)＝x(1，0)＋y(0，1)，所以x＝2，y＝1，则x－y＝1.故选A. 答案　A 命题点2　平面向量的数量积 [例2]　(1)(2025·陕西咸阳二模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且∠A＝90°，AB＝3，AD＝CD＝1，＝2，则·＝(　　) A． B．1 C．2 D．2 (2)(2025·江苏南通一模)若非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且向量b在向量a上的投影向量是－a，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D．π (3)(多选)(2025·湖北六校联考)已知向量a＝(－1，3)，b＝(x，2)，且(a－2b)⊥a，则(　　) A．b＝(1，2) B．|2a－b|＝25 C．向量a与向量b的夹角是45° D．向量a在向量b上的投影向量坐标是(1，2) [解析]　(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且∠A＝90°，AB＝3，AD＝CD＝1，＝2， 所以A(0，0)，D(0，1)，C(1，1)，E(1，0)， 所以＝(0，1)，＝(－1，1)， 因此·＝(0，1)·(－1，1)＝0＋1＝1， 故选B. (2)b在a上投影向量·a＝－a，∴＝－，∴a·b＝－|a|2， 则cos 〈a，b〉＝＝＝－， 由于〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝，故选B. (3)因为向量a＝(－1，3)，b＝(x，2)， 所以a－2b＝(－1－2x，－1)， 由(a－2b)⊥a得1＋2x－3＝0，解得x＝1， 所以b＝(1，2)，故A正确； 又2a－b＝(－3，4)，所以|2a－b|＝＝5，故B错误； 设向量a与向量b的夹角为θ，因为a＝(－1，3)，b＝(1，2)， 所以cos θ＝＝＝， 又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°， 即向量a与向量b的夹角是45°，故C正确； 向量a在向量b上的投影向量坐标是·＝·＝b＝(1，2)，故D正确．故选ACD. [答案]　(1)B　(2)B　(3)ACD (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义． (2)利用基底计算数量积时，要注意选择恰当的基底，常用已知的向量作基底． (3)设是向量a在向量b上的投影向量，则有＝|a|cos 〈a，b〉＝b. [预测练2] 1．(多选)已知向量a，b满足＝，|a|＝|b|＝1，则(　　) A．a与b的夹角为 B．a与b的夹角为 C．＝ D．a⊥(a＋2b) 解析　对于A，B，设a与b的夹角为θ，因为＝， 所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝7， 得a·b＝－，所以cos θ＝＝－， 所以θ＝，故A正确，B错误； 对于C，|2a－3b|＝＝＝＝， 故C正确； 对于D，a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－1＝0， 故a⊥(a＋2b)，故D正确． 故选ACD. 答案　ACD 2．(2025·长沙名校质量检测)在△ABC中，||＝6，＝，在上的投影向量为，则·＝(　　) A．－12 B．－6 C．12 D．18 解析　由题意知O为BC的中点．由在上的投影向量为||cos B·＝，得＝，又||＝6，所以·＝||||cos B＝||2＝30， 所以·＝·＝·－·＝3×6－30＝－12，故选A. 答案　A 命题点3　平面向量中的最值(范围)问题 角度1　求向量数量积的最值(范围) [例3]　(2025·北京朝阳一模)在△ABC中，CA＝CB＝，AB＝4，点M为△ABC所在平面内一点且·＝0，则·的最小值为(　　) A．0 B．－ C．－ D．－ [解析]　在三角形ABC中，由余弦定理cos C＝＝＝－，故C为钝角； 又·＝0， 故M点在三角形ABC底边BC的高线上， 则以BC所在直线为x轴，以BC上的高线为y轴建立平面直角坐标系如下所示： 又cos ∠ACO＝－cos C＝，则sin ∠ACO＝， 故OA＝AC×sin ∠ACO＝×＝，OC＝AC×cos ∠ACO＝×＝. 则A，C，B， 设M，m∈R，＝，＝， 故·＝m＝2－≥－，当且仅当m＝时等号成立． 也即·的最小值为－.故选C. [答案]　C 角度2　求向量模、夹角的最值(范围) [例4]　(1)(2025·湖南邵阳二模)已知向量a，b满足|a|＝，＋|b|＝8，则的取值范围是(　　) A．[2，4] B．[0，8] C．[，8] D．[4，16] (2)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos ∠BAD的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　(1)取＝4a，O为线段F1F2的中点，记＝b，则4a＋b＝. ∴＋|b|＝＋＝8. 又＝4<8， ∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， ∴长半轴的长为4，短半轴的长为＝2， ＝∈.故选A. (2)设与同方向的单位向量＝e1，与同方向的单位向量＝e2，与同方向的单位向量＝e3， 由题意，e1＋3e2＝λe3，所以(e1＋3e2)2＝λ2e， 即e＋6e1·e2＋9e＝λ2e， 所以1＋6×1×1×cos ∠BAD＋9＝λ2， 所以cos ∠BAD＝， 因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]， 所以∈，即cos ∠BAD的取值范围是. [答案]　(1)A　(2)A 平面向量中最值(范围)问题的求解思路 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值(范围)问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. [预测练3] 1．(2025·山东省实验中学模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝，a－b与a垂直，则的最小值为(　　) A． B． C．1 D．3 解析　由a－b与a垂直，得·a＝0， 则a·b＝a2＝1， 所以＝ ＝＝≥1， 所以当t＝1时，的最小值为1.故选C. 答案　C 2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则·的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　取CD的中点E，连接PE，如图所示， 所以PE的取值范围是，即[2，2]， 又由·＝(＋)·(＋)＝2－＝PE2－4， 所以·∈.故选B. 答案　B [对应学生用书P13] 1．(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与风方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 图1 图2 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 解析　真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，||＝2∈(1.6，3.3)，故选A. 答案　A 2．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　方法一(向量法＋坐标法)　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 方法二(坐标法)　因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 答案　D 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 解析　由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，(提醒：b2＝|b|2)解得|b|2＝， 所以|b|＝，故选B. 答案　B 4．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析　因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)·(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 答案　D 5．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C．·3＝· D．·＝· 解析　A：＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)，所以||＝＝1，||＝＝1，故||＝||，正确； B：＝(cos α－1，sin α)，＝(cos β－1，－sin β)，所以||＝＝＝＝＝2，同理||＝＝2，故||，||不一定相等，错误； C：由题意得：·＝1×cos (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝cos (α＋β)，·＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos (α＋β)，正确； D：由题意得：·＝1×cos α＋0×sin α＝cos α，·＝cos β×cos (α＋β)＋(－sin β)×sin (α＋β)＝cos αcos2β－sinαsin βcos β－sin α·sin β·cos β－cos αsin2β＝cosαcos 2β－sin αsin 2β＝cos (α＋2β)，错误；故选AC. 答案　AC 6．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________． 解析　a－b＝(1，1－2x)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝0，则x＋1－2x＝0，解得x＝1. 则a＝(1，1)，则|a|＝. 故答案为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $