专题1 第3讲 解三角形(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

第三讲　解三角形 [对应学生用书P8] 命题点1　正(余)弦定理的简单应用 [例1]　(2025·山东潍坊一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos C＋b＝0，b＝c. (1)求cos C； (2)若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB＝，求CD的长． [解析]　(1)由a cos C＋b＝0，得a·＋b＝0，即a2＋3b2－c2＝0， 又b＝c，所以a＝c， 所以cos C＝－＝－. (2)sin C＝＝， S△ABC＝ab sinC＝·c·c·＝c2. 由已知△ABC的面积为，可得c2＝， 所以c＝，b＝c＝. 又∠ADB＝＝∠C＋∠DAC， 所以sin ∠DAC＝sin ＝cos C＋sin C＝， 在△ACD中，由正弦定理得＝， 则CD＝＝＝. (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形． [预测练1] 1．(2025·浙江绍兴二模)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝，则角C＝________． 解析　因为＝， 所以由余弦定理得＝， 即＝， 由正弦定理得＝， 整理得sin C cos B＋sin B cos C＝2sin A cos C， 即sin (B＋C)＝sin A＝2sin A cos C， 又0<A<π，所以sin A≠0，所以cos C＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. 答案　 2．(2025·河南顶级名校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且 b＝a cos C＋c sin A，则A＝________，＝________． 解析　因为b＝a cos C＋c sin A， 所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋sin C sin A. 又 sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以cos A sin C＝sin C sin A，又0<C<π，所以sin C≠0，可得tan A＝，所以A＝.因为a，b，c成等比数列，所以＝，从而＝＝sin A＝. 答案　　 命题点2　解三角形中的最值、范围问题 [例2]　(2025·重庆调研)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． [解析]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.　① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A.　② 由①②得cos A＝－. 因为0<A<π，所以A＝. (2)方法一　由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而 AC＝2sin B，AB＝2sin (π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin .又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值 3＋2. 方法二　由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9， 即(AC＋AB)2－AC·AB＝9. 因为AC·AB≤2，所以9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－2＝(AC＋AB)2，解得AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB＝时等号成立)，所以△ABC的周长 L＝AC＋AB＋BC≤3＋2，所以△ABC周长的最大值为3＋2. 解三角形中常见的最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值或范围． (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围． (3)注意题目中的隐含条件如A＋B＋C＝π，0<A<π，b－c<a<b＋c等． [预测练2] 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则a sin C＝________，a＋b的取值范围是________． 解析　由正弦定理＝，得a sin C＝c sin A＝2sin ＝.由＝＝，可得a＝＝，b＝＝＝，所以a＋b＝＋＝1＋＝1＋＝1＋.由△ABC是锐角三角形，可得0<C<，0<－C<，则<C<，所以<<，2－<tan <1，所以1＋<a＋b<1＋＝4＋2. 答案　　(＋1，4＋2) 命题点3　多三角形问题 [例3]　如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝1，CD＝2，△ABC为等边三角形．记∠ADC＝α. (1)若α＝，求△ABD的面积； (2)若α∈，求四边形ABCD的面积的取值范围． [解析]　(1)在△ACD中，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos α＝1＋4－2×2×cos ＝3， 所以AC＝，所以∠DAC＝， 又因为△ABC为等边三角形， 所以AB＝AC＝， 且∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝， 所以S△ABD＝AB·AD·sin ∠BAD＝××1×sin ＝， 则△ABD的面积为. (2)在△ACD中，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos α＝1＋4－2×2×cos α＝5－4cos α， 所以S△ABC＝AC2＝(5－4cos α)， S△ACD＝×1×2sin α＝sin α， 所以四边形ABCD的面积S＝S△ACD＋S△ABC ＝(5－4cos α)＋sin α＝sin α－cos α＋ ＝2sin ＋， 又因为 α∈，所以α－∈， 所以sin ∈， 2sin ＋∈， 即四边形ABCD的面积的取值范围为. 解多三角形问题的步骤 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； (2)在解题过程中，需要分析三角形间的公共边、公共角、关系角(补角或余角)等图形特征，利用方程的思想，利用正、余弦定理与三角函数公式结合，问题才能得到解决． [预测练3] 如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与AB交于点D，AD∶AC∶CD＝3∶5∶7. (1)求cos ∠ACB； (2)若BC＋BD＝8，求的值． 解析　(1)在△ACD中，由题意得AD∶AC∶CD＝3∶5∶7， 设AD＝3t，则AC＝5t，CD＝7t， 则由余弦定理得cos ∠ACD＝＝， 因为CD是∠ACB的平分线，所以∠ACB＝2∠ACD，∠BCD＝∠ACD， 由二倍角公式得cos ∠ACB＝2cos2∠ACD－1＝2×2－1＝. (2)由(1)知cos∠ACD＝，易得sin ∠ACD>0， 所以sin ∠BCD＝sin ∠ACD＝＝， 由余弦定理得cos∠ADC＝＝， 结合诱导公式得sin ∠BDC＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC＝＝， 在△BCD中，由正弦定理得＝＝＝， 因为BC＋BD＝8，所以BD＝3，BC＝5， 由余弦定理得 cos A＝＝－， 因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得＝＝＝. 命题点4　解三角形的实际应用 [例4]　(1)(2025·江西景德镇三模)如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°，夏至正午太阳高度角为θ，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则sin 的值为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·安徽黄山二模)如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知∠ABM＝30°，∠BAN＝45°，∠MAN＝60°，∠MBN＝90°，AB＝2，则MN＝(　　) A．5(－1) B．5 C．5(＋1) D．10 [解析]　(1)如图，tan ∠ABC＝tan 36.9°≈，AC＝42，∴BC＝56. 又BD＝50，∴CD＝6， 根据勾股定理得AD＝30. 在△ABD中，根据正弦定理可知＝， 即＝，解得sin (θ－36.9°)＝，故选C. (2)由题设得∠BAM＝105°，∠ABM＝30°，则∠AMB＝45°，而AB＝2， 所以＝， 则AM＝＝＝. 由∠ABN＝120°，∠BAN＝45°，则∠ANB＝15°，而AB＝2， 又sin 15°＝＝＝， 所以＝，则AN＝＝＝3＋， 由MN＝ ＝ ＝ ＝5(＋1).故选C. [答案]　(1)C　(2)C 解三角形实际问题的步骤 [预测练4] 在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　) A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 解析　依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝， 在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos θ， 即182＝182＋142－2×18×14cos θ， 解得cos θ＝， 所以cos θ＝2cos2－1＝， 又θ为锐角，解得cos＝(负值舍去)， 在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB cos ＝182＋142－2×18×14×＝100， 所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10公里.故选D. 答案　D [对应学生用书P10] 1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析　由题意得cos A＝＝＝， 又0°<A<180°，所以A＝45°. 故选A. 答案　A 2．(多选)(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A cos B sin C＝，则(　　) A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ C．sinA＋sin B＝ D．AC2＋BC2＝3 解析　因为cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，由二倍角公式得1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sinC＝2， 整理可得，sin C＝sin2A＋sin2B，A选项正确； 由诱导公式，sin(A＋B)＝sin (π－C)＝sin C， 展开可得sin A cos B＋sin B cos A＝sin2A＋sin2B， 即sinA(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)＝0， 若A＋B＝，则sin A＝cos B，sin B＝cos A，可知等式成立； 若A＋B<，即A<－B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<cos B，同理sin B<cos A， 又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)<0，与条件不符， 则A＋B<不成立； 若A＋B>，类似可推导出sin A(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)>0，则A＋B>不成立． 综上讨论可知，A＋B＝，即C＝. 由cos A cos B sin C＝＝cos A cos B，由A＋B＝，则cos B＝sin A，即sin A cos A＝， 则sin 2A＝，同理sin 2B＝，注意到A，B是锐角，则2A，2B∈(0，π)， 不妨设A<B，则2A＝，2B＝，即A＝，B＝， 由两角和差的正弦公式可知sin ＋sin ＝＋＝，C选项正确； 由两角和的正切公式可得，tan ＝2＋，设BC＝t，AC＝(2＋)t，则AB＝(＋)t， 由S△ABC＝(2＋)t2＝，则t2＝＝，则t＝， 于是AB＝(＋)t＝，B选项正确，由勾股定理可知，AC2＋BC2＝2，D选项错误． 故选ABC. 答案　ABC 3．(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解析　(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，∴C＝. ∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝， ∴a＝c. ∴△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋， 得c＝2. 4．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． 解析　(1)方法一(辅助角法) 由sin A＋cos A＝2，得sin A＋cos A＝1， 所以sin ＝1. 因为0<A<π，所以<A＋<， 所以A＋＝，故A＝. 方法二(同角三角函数的基本关系法) 由sin A＋cos A＝2，得cos A＝2－sin A， 两边同时平方，得3cos2A＝4－4sinA＋sin2A， 则3(1－sin2A)＝4－4sinA＋sin2A， 整理，得1－4sinA＋4sin2A＝0， 所以(1－2sinA)2＝0，则sin A＝. 因为0<A<π，所以A＝或A＝. 当A＝时，sin A＋cos A＝2成立，符合条件； 当A＝时，sin A＋cos A＝2不成立，不符合条件． 故A＝. (2)由b sin C＝c sin 2B，得b sin C＝2c sin B cos B，由正弦定理，得bc＝2cb cos B，所以cos B＝，因为0<B<π，所以B＝. C＝π－(A＋B)＝，所以sin C＝sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝. 由正弦定理＝＝，得b＝＝＝2，c＝＝＝＋. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3. 学科网（北京）股份有限公司 $