专题1 第1讲 三角恒等变换与解三角形(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学讲义聚焦三角函数与解三角形核心考点，涵盖三角恒等变换（给值求值、给值求角）、范围与最值等高考重点，按“基础变换-综合应用”逻辑架构知识点。通过命题点分类梳理、方法技巧提炼（如凑角法）、真题模拟训练等环节，帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料采用问题链驱动教学，如“给值求值”中通过角的拆分培养数学思维，“范围与最值”结合导数分析提升数学眼光。设置分层练习（预测练+高考真题），配合即时方法总结，确保高效复习。助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题一　三角函数与解三角形、平面向量 第一讲　三角恒等变换与解三角形 [对应学生用书P2] 命题点1　给值求值 [例1]　(1)(2025·湖南长沙模拟)已知cos 2α＝2sin2β－，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝(　　) A． B．7 C．－ D．－7 (2)(2025·江西鹰潭二模)若α∈，tan α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． [解析]　(1)因为cos 2α＝2sin2β－， 所以cos2α＋cos 2β＝， 即cos [(α＋β)＋(α－β)]＋cos [(α＋β)－(α－β)]＝， 展开整理可得2cos (α＋β)cos (α－β)＝， 因为cos (α－β)＝，所以cos (α＋β)＝， 由cos αcos β＋sin αsin β＝， cos αcos β－sin αsin β＝， 可得cos αcos β＝，sin αsin β＝－， 所以tan αtan β＝＝－. 故选C. (2)tan α＝＝， 即sin α(3－sin α)＝cos2α＝1－sin2α， 整理可得sinα＝， 因为α∈，sin2α＋cos2α＝1， 所以cosα＝＝， 所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝. 故选A. [答案]　(1)C　(2)A 给值求值的方法技巧 给出某些角的三角函数式的值(或关系式)，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，即寻求已知角与所求角的关系，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法：①将待求式用已知三角函数式表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． [预测练1] 1．(2025·安徽皖北协作区联考)已知tan (α－β)＝，sin (α－β)＝3cos (α＋β)，则tan α－tan β＝(　　) A． B． C． D． 解析　sin (α－β)＝3cos (α＋β)，所以sin αcos β－cos αsin β＝3cos αcos β－3sin αsin β. 两边同除以cos αcos β得tan α－tan β＝3－3tan αtan β. 由tan (α－β)＝＝， 得3＋3tan αtan β＝4(tan α－tan β)， 则tan α－tan β＝3－[4(tan α－tan β)－3]， 解得tan α－tan β＝. 答案　C 2．(2025·广东江门一模)已知sin ＋cos α＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由sin ＋cos α＝，得sin α－cos α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝， 因此sin ＝， 所以cos ＝cos ＝1－2sin2＝. 故选B. 答案　B 命题点2　给值求角 [例2]　已知tanα＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　) A． B．－ C．－ D．－或 [解析]　因为tan α＝，tan β＝－， 所以tan 2α＝＝＝， tan(2α－β)＝＝＝1.因为α，β∈(0，π)，tan α>0，tan β<0， 所以0<α<，<β<π.又tan 2α>0， 所以0<2α<，于是－π<2α－β<0. 因此，2α－β＝－. [答案]　C 给值求角的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． [预测练2] 已知α，β∈(0，π)，sin (α－β)＝，＝－，则α＋β＝(　　) A． B．π C． D． 解析　因为α，β∈(0，π)，＝－<0， 所以0<α<，<β<π或0<β<，<α<π.若0<α<，<β<π，则－π<α－β<0，此时sin (α－β)<0(矛盾，舍去).若0<β<，<α<π，则0<α－β<π，此时sin (α－β)>0(符合题意)，所以0<β<，<α<π，则α＋β∈.因为sin (α－β)＝，且＝－，所以sin αcos β－cos αsin β＝，且＝－，解得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－，所以α＋β＝. 答案　C 命题点3　范围与最值 [例3]　(1)若锐角α，β满足sin 2αsin 2β＝3(1＋cos 2α)(1－cos 2β)，则tan (α－β)的最大值是(　　) A．－ B． C． D． (2)若函数f(x)＝(2sin x－2cos x)·cos x＋1，则f(x)在区间上的最大值与最小值之和为________． (3)(2025·深圳调研)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)·sin x＋1在区间[0，2π]的最小值为________，最大值为________． [解析]　(1)因为sin 2αsin 2β＝3(1＋cos 2α)·(1－cos 2β)，所以4sin αcos αsin βcos β＝12cos2αsin2β. 因为α，β是锐角，所以tanα＝3tan β， 所以tan (α－β)＝＝＝.因为tan β>0，所以＋3tan β≥2，当且仅当tan β＝时等号成立， 所以tan (α－β)的最大值是. (2)因为f(x)＝(2sin x－2cos x)·cos x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin . 由x∈，得2x－∈.当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值1，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.故最大值与最小值之和为3. (3)由题意，得f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，当x∈∪时，f′(x)>0，函数f(x)在，上单调递增，当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． 所以在区间[0，2π]上，f(x)极大值＝f＝＋2，f(x)极小值＝f＝－. 又f(0)＝2，f＝2， 所以函数f(x)在区间[0，2π]的最小值为－，最大值为2＋. [答案]　(1)D　(2)3　(3)－　2＋ 三角恒等变换中的范围与最值一般有两类：第一类是利用三角函数的性质与图象求出函数的最值；第二类是利用基本不等式、导数等方法求出最值. [预测练3] 已知函数f(x)＝sin x＋cos2x，x∈R，且|f(x)－m|≤2在内恒成立，则m的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．[－1，1] C． D．[0，2] 解析　f(x)＝sinx＋cos2x＝sinx cos x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＝sin ，由x∈，得2x＋∈，sin ∈，由|f(x)－m|≤2在内恒成立，得－2≤f(x)－m≤2恒成立，即f(x)－2≤m≤f(x)＋2恒成立，∴则－1≤m≤， 所以m的取值范围为.故选C. 答案　C [对应学生用书P3] 1．(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 解析　cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－， 因为0<α<π，则<α<π， 则sinα＝＝＝， 则sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝. 故选D. 答案　D 2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 解析　sin2＝(1－cosα)＝·＝＝，∴sin ＝，故选D. 答案　D 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin ＝，cos αsin β＝，则cos ＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析　因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝， 则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos (2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. 答案　B 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 解析　由cos (α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos (α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β＝－3m，故选A. 答案　A 5．(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________． 解析　因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α.因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－. 答案　－ 6．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 解析　由题知tan (α＋β)＝＝＝－2，即sin (α＋β)＝－2cos (α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan (α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin (α＋β)＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $