5.1 第1课时 直角三角形的性质定理 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质定理（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半）及判定定理，通过“内角三兄弟之争”故事导入，关联三角形内角和定理，为新知探究搭建认知支架。 其亮点在于以故事激发数学眼光，通过问题驱动探究性质与逆命题，培养推理能力，规范几何语言表述发展模型意识。练习题含角度计算、分类讨论等实例，总结环节引导辨析性质与判定，助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学方案。

湘教版八年级数学上册 第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质定理 导入新课 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大!”“不行啊！”老大说，“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？ 3 导入新课 直角的度数为90°，老二若是和老大的度数一样大，则老二和老大的度数和就是180°，这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾，因此是不可能的. 4 高效课堂 活动一：探究直角三角形的性质定理1 问题1：如图，在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A+∠B＝？ 用三角形的内角和定理可得直角三角形中两个锐角的和等于90°. 你能完成上述问题的证明过程吗？ 在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，由三角形的内角和定理可得∠A+∠B＝90°. 5 高效课堂 由此，你可以得到直角三角形的什么性质呢？ 直角三角形的两个锐角互余. 几何语言：在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，所以∠A+∠B＝90°. 6 高效课堂 问题2：＂直角三角形的两个锐角互余＂的逆命题是什么？该命题是真命题吗？ 如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 如图，在Rt△ABC中，因为∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°.因此△ABC是直角三角形. 总结：有两个角互余的三角形是直角三角形. 7 高效课堂 此定理可以用来做什么？请给出定理的三种语言表示. 可以作为判定一个三角形是直角三角形的定理. 图形表示：如图所示. 文字语言：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，因为∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°.因此△ABC是直角三角形. 8 高效课堂 对这个结论进行严格证明. 证明 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线. 过点D作DE//BC，DF//AC，分别交AC，BC于点E，F，于是∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB＝90°， ∠FDC＝∠ECD，∠DFB＝∠ACB＝90°. 在△ADE和△DBF中， 9 所以△ADE△DBF(角角边)，从而DE＝BF.①在△DFC和△CED中， 所以△DFC≅△CED(角角边)，从而CF＝DE.② 由①式和②式得，CF＝BF. 高效课堂 10 因此直线DF是线段BC的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC＝DB. 因此 由此可得直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 高效课堂 11 1．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C的度数为( ) A．35° B．40° C．45° D．50° 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝( ) A．30° B．45° C．60° D．70° C D 课堂评价 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC延长线上一点，∠ACD＝130°，则∠A等于　 　度．  3．一个三角形的三个内角的度数的比为1∶2∶3，则此三角形是( ) A．锐角三角形　 B．钝角三角形　 C．等边三角形　 D．直角三角形 　40　 D 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，求∠B的度数． 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠C＝90°，∴∠B＋∠BAD＋∠CAD＝90°， ∵∠B＝3∠BAD，∴5∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝18°，∴∠B＝3×18°＝54°． 6．如图，已知DF⊥AB于点F，且∠A＝45°，∠D＝30°，求∠ACB的度数． 解：∵DF⊥AB， ∴∠BFD＝90°． ∵∠D＝30°， ∴∠B＝180°－∠BFD－∠D＝60°． ∵∠A＝45°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝75°． 7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数． 解：∵AD是BC边上的高，∠B＝42°， ∴∠BAD＝48°． ∵∠DAE＝18°， ∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°． ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAE＝60°， ∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝78°． 8． 在△ABC中，∠A＝40°，两条高BD，CE所在直线相交于点O，求∠BOC的度数． 解：①如图1， 若△ABC是锐角三角形， ∵BD是高， ∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－40°＝50°， ∵CE是高，∴∠BOE＝90°－∠ABD＝40°， ∴∠BOC＝180°－∠BOE＝180°－40°＝140°． 0.40  答案图1 ②如图2，若△ABC是钝角三角形， ∵BD是高， ∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－40°＝50°， ∵CE是高， ∴∠BOC＝90°－∠ABD＝90°－50°＝40°． ③当△ABC是直角三角形时，∠BOC不存在． 综上所述，∠BOC的度数为140°或40°．  答案图2 课堂总结 1.通过本课的学习，你学到了哪些定理？如何区分性质定理和判定定理？ 2.学习了本课，你对直角三角形有怎样更深入的认识？请畅所欲言. 3.结合以往经验，如何探究得到新的性质定理，需要经过怎样的步骤？ 19 作业设计 基础性作业：教材练习第1，2题. 提高性作业：教材习题5.1第1，2，6题. 20 感 谢 观 看 $