2.5有理数的混合运算 综合提升练习 2025-2026学年北师大版 七年级数学上册

2.5有理数的混合运算（综合提升练习） 北师大版（2024）七年级数学上册 说明：本试题具有一定综合性与难度，旨在全面巩固本节核心知识点。题目可能涵盖本学期多章节内容，均选自近年校内考试真题，可助力提升综合解题能力。 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．（2025·山东淄博·二模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图是某个学生所在班级的识别图案．将小正方形从左到右依次记为，，，，那么可以通过“”转换为该生所在班级的序号．若黑色小正方形表示，白色小正方形表示，该生所在班级的序号为，则以下表示班学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．小明采用“满五进一”的方式，记录自己打卡背单词的天数．图1中表示打卡的天数为，那么图2表示打卡的天数为（    ） A．50 B．214 C．159 D．234 5．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，y是最大的负整数，则的值是（    ） A．4 B． C．或8 D．4或 7．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·北京·月考）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 10．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·月考）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24： ． 12．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是 ； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则 。 13．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 ． 14．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）定义一种新运算“*运算”，对有理数，规定：，其中运算的运算顺序为：同级运算，依次从左至右进行（可类比有理数的运算顺序），则的结果为 ． 15．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1． （1）如：取自然数1，经过3步运算可得 ； （2）如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有 个． 三、解答题 16．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师请同学们思考如何求出的值． 操作探究： “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分的面积是第①部分面积的一半，第③部分的面积是第②部分面积的一半，，依次类推，则图中阴影部分的面积是，空白部分的面积为，所以， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得：， 将上式减去下式得， 即， 所以， (1)请用“破浪”小组的方法计算：； (2)仿照以上方法，完成填空： ①___________；（为正整数） ②___________．（为正整数） 17．（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 18．（25-26七年级上·山东日照·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 19．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； (2)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 20．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【概念学习】我们把求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于“除方”，下列说法错误的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．（幂的形式） （3）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ________；________；________；________．（为大于2的整数） （4）算一算：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B C D A B A D 1．A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 2．D 【分析】根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】解：A.按键显示结果：45，正确，不符合题意； B.按键 显示结果：，正确，不符合题意； C.按键 显示结果：，正确，不符合题意； D. 按键 显示结果：66，错误，应为，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 3．C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，类比题干中提供的计算方法，把转换成含有的次方的形式，可得：，再根据黑色小正方形表示，白色小正方形表示，即可得到班学生的识别图案． 【详解】解：A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，符合题意； D.，不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查乘方的应用,含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算． 根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2所表示打卡的天数为： （天）． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，含乘方有理数的混合运算，根据程序流程图得出，然后通过运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 6．D 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，求解代数式的值，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． 先根据题意得出，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数， ∴， ∴当时， ， 当时， ． 综上所述，代数式的值为4或． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了有理数的运算和有理数的乘方，以及分类讨论思想，根据题意可得，则，可求得，；或，或，以上两种情况均不成立． 【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，， b的形式，也可以表示为0，，a的形式， ∴这两组的数分别对应相等， ①当，则， 那么，，， ， 此时，， ②当， 若与三个互不相等的有理数矛盾， 若则不成立， ③当，则与三个互不相等的有理数矛盾， 故选：A． 10．D 【分析】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解． 本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果，即，，，，，，，故③正确． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【详解】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： 12． 2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据卡片顺序为，计算，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【详解】解：（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 13． 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键，根据新运算的法则列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键．先计算， ，再计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 15． 1 4 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是正确理解题意． （1）按照流程图计算三步即可； （2）运用逆推法，分别根据题意求出前一步所有满足条件的值，然后可得答案． 【详解】（1）解：，，， ∴取自然数1，经过3步运算可得， 故答案为：1； （2）解：运用逆推法， ∵第7步运算可得到1， ∴第6步得到的数为， 第5步得到的数为， 第4步得到的数为， 第3步得到的数为， 第2步得到的数为或， 第1步得到的数为或， 则m的值为：或或或， ∴符合条件的的值为：或或或， 故答案为：4． 16．(1) (2)①；②． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）设，则，用即可求解； （2）①根据示范的例子求解即可； ②根据示范的例子求解即可； 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； ②令① 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即， 故答案为：． 17．(1)①；②；③； (2)见详解 【分析】（1）由题意易得，则有①要使两张卡片上数字之和最大，应选择最大的两个数字进行相加即可；②要使这两张卡片上数字之差最小，应选择最小的数减去最大的数即可；③要使这两张卡片上数字之积最大，应选择同号的两张，并且是最大或最小的两张进行相乘即可； （2）根据有理数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果为； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，则有，，所以最大的为； 故答案为，，； （2）解：由题意得：； ； ． 18．(1)14 (2) (3) (4)7 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘除，再计算加减即可； （2）将除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可； （3）先计算乘方、绝对值、乘法，再计算加减即可； （4）先计算乘方，再计算括号里的减法，计算乘除，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．(1) (2)和（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及24点，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简卡片上的数，再选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可． （2）从化简后的数中选取4张，通过四则运算（含括号）组合，构造结果为24或的运算式． 【详解】（1）解：，，，，， 因为上面5个数都是整数， 所以要从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，运算结果的最小，则应当选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可，与， 运算结果的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， 故算式可以为：和（答案不唯一）． 20．（1），4；（2）C（3），，，；（4）． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义逐个判断即可； （3）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算； （4）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，4； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于两个相等的数相除，商为1，说法正确，不合题意； B．对于任何正整数，，说法正确，不合题意； C．，，，说法错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不合题意； 故选：C； （3）； ； ； （为大于2的整数）； 故答案为：，，，； （4）由可得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $