广东省中山市广东博文学校2024-2025学年高三9月考试数学试卷

2024年广东省中山市广东博文学校高三数学9月考试 参考答案 【答案】 1.B 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.b 8.D 9.A.B.D 10.A,B,C 11.B,C,D 12.23 13.y=x 14.6 7 1S(①石+4远，3+4k际，∈Z (2)最大值为2，x= 41 16.(1)a=3,单调递减区间为(-1,9)，单调递增区间为(-o∞，-1)和(9，+∞)： (2)当a> 时，f阳有三个零点：当a=时，f有两个零点；当0<a<3时，e有一个零点 3 3 3 1.we(到 (2)m∈(1,4) 18.(1)(-2,+∞) (2)(0,2) 。11 19.①(0 (2)(i)2:（ii)证明见解析 【解析】 1.因为全集U=R,集合A={xz≥0}，B={xx3≤27}={xz≤3}， 所以，CuB={xx>3},因此，An(CuB)=(3,+oo): 故选：B. 2.根据复数的运算法则，可得z=(3-)(1+21)=3+6i-i-22=5+5i, 所以z在复平面内对应的点Z(5,5)位于第一象限. 故选：A. 3.cm(a)-V8caa卡得a+e-v8csa .1 1 6 所以m(a-)=m臣+(2a-】-m(-言)1-a-)=1-2×(信)° 故选：C 4.由题意，函数f(x)在R上单调递增，当x≤0时，f(x)=ac+cosx,依题需使f(x)=a-six≥0恒成立，则 a≥1： 当z>0时，由a)-3r+a2-a+在0+o)上描增，需使(a)=2+2ar之0在0，+o∞)止恒成立，则 -a≤0，即a≥0： 又由f(x)在R上递增，可得-a+4≥1，解得a≤3. 综上可得，a的取值范围是[1,3. 故选：C 5.因为15og152.t=6×10lo81.53, 所以t=6×103s3 _6×10og163 6×101o81.53 1582-1.5s2×104a=2X10P62=3×10863-2 =3×101og152=30. 故选：C. 6.由命题否定的定义可知，命题“x∈R,x3+2x2-3x-1<0”的否定是 “Vx∈R,x3+2x2-3x-1≥0”. 故选：D. 1 7.由题意，f(c)=asinz+cosx=√a2+1sin(x+a),其中tana= a" 因为的条对称轴是：=丑所以品+a=+,k∈z。 解得a=是+x,∈Z。 函数g(x)=sinx-acosa=Va2+lsin(x-),其中tanB=a, 所以ge的对称轴是=了+B+x,E么， 因为tanatanB=a=l,所以血asig=l, a cos a cos B Ecos a cos B-sin a sin B=cos(a+B)=0, 所以a+B=行+x,∈z。 所以9=豆+s-a=开+内-k)元(-ez 所以g回的一条对称轴：-+丑+伪-+如=员+他-+如)=是+，k后么。 13 当k=0时，x=2 故选：B 8.设P(c,cosx),则|0P2=x2+cos2x, 令y=2+cos2,z∈(0,8），则J=2z-2 since0s2=2z-sim2z, 设ge)=2z-m2z,2e(0,）则ga)=2-2os2a>0, 所以g(@)=2x-si血2z在(0，）上为增函数， 故g(a)=2z-sin2c>9(0)=0,即J=2x-sin2x>0, y=2+cos2z在(0，)上为增函数， .JOP2>OP2>OR2,OI>OPl>OPl 故选：D. 9.设a1=a+bi,2=c+di(a,b,cd∈R), 对于选项A,因为z12=(a+bi)(c+d)=(ac-bd)+(ad+bci, zz=V(ac-bd)2+(ad+be)2-Va2c2+62d2 +a2d2 +62c2, 且lal2l=Va2+Vc2+=Va2c2+d+a2a2+b2c,所以aa=lal2,故A正确： 对于选项B,因为a1+z2=(a+c）+(b+d)i,=a-bi,2=c-di, 则a+=(a+c)-(6+di,云+2=(a+c-(6+di, 所以1十2=+2，故B正确： 对于选项C,若引=2，例如a=1+i,2=1-i,满足a=2=√2， 但好=(1+)2=2i,号=(1-)2=-2i,即好≠号，故C错误； 对于选项D,因为·2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, 所以a1·z2=(ac-bd-(ad+bci,a·z2=(a-bi)(c-d)=(ac-bd)-(ad+bci, 所以·2=·及，故D正确。 故选：ABD. 10由图象知，A=3,函数@)的周期肛=4（目-）=，则=牙=2， 则/回=3i血2z+小由f(0)=3得2×D+9=+2c,k∈z.而<受 则k=0,g=了因此f(a=3in(2z+3) 对于A,函数！=f(回)图象向右平移石个单位长度，得f(e-石)=3si如2x, 即y=3sin2x的图象，故A正确， 对于B,1()=3s(+)=0,则fe)的图象关于点（←君）对称，放正确： π 对于C,八(2 (智+写)=3，则函数国的图象关于直线：=受对格，改c正确： 5T,π =3sin 对于D,当x∈ 2红，_时，2x 3-6 3∈-元0， 当2x+ 3=-2 即x= 时，f)取得最小值， 12 所以函数g=f()在 3,-6 上不单调，故D错误 故选：ABC. 11.令x=y=1,得f2)+f2)=-f(2)f0), 又f2)=2≠0，所以f(0)=-2,故A错误； 令y=-x得，f(2x)+f(-2x)=-f(0)f(2x)=2f(2x): 所以f(-2x)=f(2x),x∈R,所以f(x)为偶函数，故B正确： 令x=1,y=0,得2)+f0)=-f(1)=0,所以f(1)=0, 又f(1-x)+f(1+x)=-f(1)f(-x)=0, 所以f(x+1)=-f(-x+1), 而f(x+1)的定义域是全体实数，所以f(十1)为奇函数，故C正确： f(x+2)+f(x)=-f(x+1)f1)=0,所以f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x),故4是f(x)的周期， 又f(0)=-2,f1)=0,f(2)=2, 所以f3)=f(-1)=f(1)=0,f4)=f0)=-2, f1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+2+0-2=0, 8=0+8+f8)+f0++fe2)=506四+0)+18+=D 故D正确. 故选：BCD. 12至+y≥是+2之28.当红=y=5时，最小元素N=28 3 故答案为：2√3. 13.设直线1：ykx+b与函数得图像相切于点P(1,h),与g()的图象相切于点B(2,欢)，又f(c)=e2-1, g(x)=e,且1=e-1,欢=e-1.曲线g=f(x)在点B(c1,h)处的切线方程为y-e-1=e-1(c-x), 三@在点乃e2,边]处的切我方程为-6”+1=ee-2放c-1三的- ,解得 1=1,x2=0故k=1,所以直线方程y=x 14.设函数h(c)=x2和g(x)=cos(3m) 由g(x)=cos(3mc)为偶函数，周期T= 2 2 3 g0)=1,9（6 =s=09(G =受=0() =c0s2m=1, ()-m-h()-()'- 可作出函数h(c)=x2和g(x)=cos(3m)的大致图象，如图， 由图可得，两个函数的图象共有6个交点，即方程cos(3)=x2的根有6个， 故答案为：6. h(x)=x 1 63 -32 g(x)=cos(3x) 15.(①f)=- in()-v3cos)-2sin) +2≤写0-智≤智+2，ke乙解符写+≤≤百+恤：kez 令 所以函数f(x)的单调递增区间 [后+石+4 ,k∈Z. ②将函数)图象上所有点的横坐标缩短到原来的号（纵坐标不变），得到g=2血(2红-含） 再将所得的函数图象上所有点向左平移写个单位长度。 得到ge=2mp(e+)-剖=22。 因为ze[0,引，则2x∈0，可，可得sin2e∈0，，即go)=2sin2z∈0,2斗， 所以g(在区间[0，引上的最大值为2，此时2=至即2=云 16.(1)由题可知，f(c)=3x2-8ax-3a2,f"(x)=6ac-8a, f"(4)=6×4-8a=0,解得a=3. 所以f(c)=x3-12ar2-27c+2,f(c)=3x2-24r-27. 令f(x)>0,得x<-1或x>9;令f(x)<0,得-1<x<9, 所以函数f(c)的单调递减区间为(-1,9)，单调递增区间为(-o∞，-1)和(9，+∞)： ②由1)可知，f回=6经-8a,m)=6m-8a=0,m=号>0，所以a>0 令f回创>0.解得<-号或z>3a:令fa)<0.解得-号<2<3a 所以fe)的单调递减区间为(-，0）单调递增区间为(-o,)和3a,+o), 14>0 所以fe)的极小值为f3)=2-18a2e的极大值为f(号)=2+2号 当x→-0∞时，f(x)→-∞， 故当2-18a3<0,即a>时，f有三个零点： 3 当2-180=0.即a-时，fa倒有两个零点 3 当2-18a>00<a<9时，af个号点 17.(①注意到，f()=2sinr1-cos(+z]+cos2z=2sinx(1+simd)+cos2z =2sinz +1. 由foa)=2 2sinoz+1在[2，】 23 上是增函数， 做≤→ue( (2)由f(c)-m<2,得f(x)-2<m<f()+2. 又4UB=B,则AcB,即当后<z≤罗时，不等式回)-2<m<fe)+2恒成立 从而，(f(e)-2)ma<m<(f(z)+2)min: 因fe咖=f()=2. fa)=f(）)=3 所以，m∈(1,4)： 18.(1)因为函数f(x)=1og2(4+a·22+1)-x的定义域为R, 所以4+a·2+1>0恒成立， 令t=2,则t>0,所以t+a·t+1>0在(0，+∞)上恒成立， 即当>0时，a>-+恒成立. 函数g=-化+在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以ymx=-2,所以a>-2。 (2)当a=0时，f()=log2(4+1)-x,易知f(c)的定义域为R, 因为f(-x)=1og2(4-”+1)+x=1og2(4+1)-log24+x=1og2(4+1)-x=f(x), 所以f(x)为偶函数. 当e>0时，f(回)=1og4+1)-x-1og2(e+)-1og22-1oga22+), 令m=2>1, 因为函数gy=m+1在(L,+∞)上单调递增，且y=1og2c在定义域上为增函数， m 所以函数f(c)在(0，+o∞)上单调递增， 又因为函数f()在定义域上为偶函数， 所以函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 因为f(t+1)>f(1-2), 所以t+1>1-2,即(t+1)2>(1-2t)2,解得t∈(0,2) 19.(1)由题意，f(x)=3x3+2x2,当x∈[0，t时， (x)=27x2+4c≥0恒成立，所以f(x)在[0，上单调递增， f(x)的值域为[0,3t3+2t2],所以[0,3t3+2t2][0,, 即可得3t+2t≤t,解得0<t≤3 1 影的取位范出为（色引 ②（①）记函数（因=g回-=he+1)+-ze>-, 则h()= ++g-1-4+26e+四-e》红-2+6a-e>-刊. 1 4(x+1) 4(x+1) 4(x+1) 1 由'()>0得-1<x<0或x>3:由()<0得0<x<3 所以函数(e)在(-10和（行+闪）上单酒递瑞，在()上单润递减 其中a回=0：因此当∈(-1.0)u(0号)时，A回)<0：不存在零点： 由（在(0，）》单调递减、易知h(兮)<hO=0.而A()=2->0, 1 由零点存在定理可知存在唯的e(行使得h(ao)=0: 当x∈(1，+∞)时，h(x)>0,不存在零点. 综上所述，函数h(x)有0和xo两个零点，即集合P中元素的个数为2. (ii)由(i)得m=xo,假设长度为m的闭区间D=[a,a+xo]是g(c)的一个“值域封闭区间”(a>-1), 则对V∈[a,a+xo],g()∈[a,a+o], 当-1<a<0时，由(1)得h(x)在(-1,0)单调递增 ∴.h(a)=g(a)-a<h(0)=0,即g(a)<a,不满足要求： 当a>0时，由（i)得h(x)在(xo,+o)单调递增， ∴h(a+xo)=g(a+co）-(a+xo)>h(aco)=0, 即g(a十xo)>a+xo,也不满足要求； 当a=0时，闭区间D=[0,xo,而g(x)显然在(-1，+o∞)单调递增， ∴.g(0)≤g(x)≤g(x0) 由(i)可得g(0)=h(0)+0=0,g(xo)=h(o)+0=x0, ∴g()∈[0，xo]=D,满足要求. 综上，存在唯一的长度为m的闭区间D=[0,m],使得D是g(x)的一个“值域封闭区间”.2024年广东省中山市广东博文学校高三数学9月考试 一、单选题 1.若全集U=R,集合A={xx≥0}，B={xz3≤27}，则A∩(CuB)=(） A.(0,3) B.(3,+0o) C.[3,+∞) D.0,3 2.复数z=(3-)(1+2)在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3已知cwa-君-V5cosa=言则m(2a-百=（) 1 A需 C. D. 35 18 36 4.函数f(x)= 3+a2-a+4,x>0,在R上单调，则a的取值范围是（） ax+cosx,x≤0， A.[1,3) B.(1,3 C.[1,3 D.(1,3) 5.若15lo8152.t=6×10l81.53,则t=（) A.60 B.45 C.30 D.15 6.命题x∈R,x3+2x2-3a-1<0的否定是（) A.3x∈R,x3+2x2-3x-1≥0 B.x∈R,x3+2x2-3x-1<0 C.3x生R,x3+2x2-3x-1<0 D.c∈R,x3+2x2-3ax-1≥0 气已知函数/（z)=ainx十os的一条对称轴为z=开则函数g(e)=血2-a0s2的一条对 称轴可以为() 9T B.x=22 13π A. 22 C.=10x 13π 11 D.z= 11 8.已知O为坐标原点，点P为函数y=csx图象上一动点，当点P的横坐标分别为石，刀，刀时，对应 12’8’6 的点分别为P,,乃，则下列选项正确的是() A.OPl>OPI>OPs B.OP>OPs>OP2 C.OP>OPsI>OP D.OPsI>OP>OP 二、多选题 9.设，2为复数，且12卡0，则下列结论正确的是() A.312=12 B.十2=方+五 C.若=2，则好=号 D.·五=五·2 10.函数f(a)=Asin(ar+)(A>0,w>0,a<)的部分图象如图所示，则（) -3 A.该图像向右平移石个单位长度可得y=3sin2a图象 B.函数)=f@)的图像关于点(-石，)对称 c,函数测-fe)的图像关于直线-受对称 D.西数=e在[言司刮上得选设 11.已知定义域为R的函数f(x),对任意x,y∈R,都有f(2x)+2)=-f(x+)f(x-),且 f(2)=2,则() A.f0)=0 B.f(x)为偶函数 C.f(x+1)为奇函数 D. 受间=0 三、填空题 12.集合A= +1≤红≤y≤4中的所有元素中最小的元素为 x 13.与曲线f(c)=e2-1和g(x)=e-1都相切的直线1的方程为 14.方程cos(3)=x2的根的个数是 四、解答题 15.已知函数fe)=-sim(行+)-V3cos(行) 71 (1)求函数f(x)的单调递增区间： (2)将函数f()图象上所有点的横坐标缩短到原来的三（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有 点向左平移个单位长度，得到函数ga)的图象，求g()在区间0，引上的最大值，并求出ga)取 得最大值时自变量x的值. 16.函数y=f(x)的导函数为∫(c),函数f(x)的导函数是”(c),己知函数 f(x)=x3-4ax2-3a2x+2 (1)f”(④=0，求a的值和函数f(x)的单调区间； (2)若f”(m)=0(m>0),讨论f(x)的零点个数 17.已知函数f(a)=4sinx:sin2(④+)+cos2z 们设>0，且为常数。若函黄g=e四在区同受]上是指函数，求的取位范园： ②)集合A={e后52≤}，B=ef回-网<2小，若AUB=B,求实数m的取值范国， 18.已知函数f(x)=log2(4+a·2+1)-c的定义域为R (1)求a的取值范围： (2)当a=0时，判断f(c)的奇偶性，并解关于t的不等式f(t+1)>f(1-2t) 19.若函数f(c)在区间M上有定义，f(x)在区间M上的值域为N,且NCM,则称M是f(x)的一个 “值域封闭区间 (1)已知函数f(x)=3x3+2x2,区间M=[0,(t>0)且M是f(c)的一个“值域封闭区间”，求t的取值 范围； 2)已知函数g回=血e+1)+是，设集合P=eg回)= (i)求集合P中元素的个数； (ii)用b-a表示区间[a,(a<b)的长度，设m为集合P中的最大元素.证明：存在唯一长度为m 的闭区间D,使得D是g(c)的一个“值域封闭区间”.