精品解析：吉林省长春市第一0四中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试卷

2025—2026学年度上学期九年级数学学科大练习 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．根据二次根式的定义分别判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C 2. 一元二次方程的较小的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握用因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 用因式分解法求出该方程的解，即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴较小的根是． 故选：A． 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，合并同类二次根式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项运算错误，不符合题意； B、，原选项运算正确，符合题意； C、，不能合并，原选项运算错误，不符合题意； D、，原选项运算错误，不符合题意； 故选B． 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 25 C. 24 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用比例的性质求分式的值，可设，（），代入计算，即可求解；掌握在比例中常设辅助未知数进行简便求解是解题的关键． 【详解】解：， 可设，（）， ， 故选：B． 5. 通过一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 7. 如图，直线 ，若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行性分线段成比例，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向下，与轴交于正半轴，得到，，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项A、B；当时，，由此即可判断选项C；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项D． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数对称轴为直线， ， ， ，故A、B结论错误，不符合题意； 当时，， ，故C结论错误，不符合题意； 二次函数经过点，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故D结论正确，符合题意 故选D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 抛物线与轴的交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了抛物线与轴的交点坐标．令，求出函数值即可解答． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为： 10. 若方程有实数根，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分与两种情况，时，原方程为一元一次方程；时，原方程为一元二次方程，有实数根时，由此可解． 【详解】解：当时，方程变形为，有实数根； 当时，若方程有实数根， 则， 解得， 综上可知，实数k的取值范围为， 故答案为：． 11. 如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案 【详解】∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，点是的中点， ∴ 故答案为： 12. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决． 【详解】解：（米）， ∴AB∥DC． （米）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键． 13. 如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是___________． 【答案】-2a-3 【解析】 【分析】设点B′的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解． 【详解】设点B′的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣a，B′、C间的横坐标的长度为x+1． ∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣a）＝x+1，解得：x=－2a－3． 故答案为－2a－3． 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键． 14. 已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： －5 －4 －2 0 2 6 0 －6 －4 6 下列结论： ① ②当时，的值随的增大而减小 ③方程有两个不相等的实数根 ④当时，函数有最小值－6 其中，正确结论的序号是______（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式为，可判断①，求解抛物线的对称轴方程为，可判断②，由方程为，再根据一元二次方程根的判别式可判断③，由二次函数的对称轴方程为，可得函数的最小值，可判断④，从而可得答案． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的关系式为， a=1＞0，因此①符合题意； 对称轴为，即当＜时，的值随的增大而减小， 则当时，的值随的增大而减小，因此②符合题意； 方程，也就是， 即方程，由＞0 可得有两个不相等的实数根，因此③符合题意； 由抛物线的对称轴方程为， 所以当时，函数有最小值， 因此④不符合题意； 综上正确的结论有：①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）根据二次根式的运算，先进行根式的除法和乘法化简，再计算即可求解； （2）代入特殊角的三角函数值，然后进行实数的混合运算，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先移项，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴或， 解得：． 17. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 18. 如图，在中，，为边上的中线，于点E． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）等边对等角，得到，三线合一得到，进而得到，即可得证； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，为边上的中线， ∴， 由（1）知：， ∴，即：， ∴． 19. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为33米． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? （2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？ 【答案】（1）长为15米，宽为10米； （2）不可能达到200平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一面靠墙的矩形面积求法以及判断方程是否有解问题，理清题意，正确列出方程并解方程是解题的关键． （1）设宽为米，然后用含有的式子表示出长，注意去掉门的宽度，再根据矩形面积列出方程并解方程即可； （2）假设鸡场的面积可能达到200平方米，在（1）中方程的基础上，将矩形面积换成200平方米，再列出方程，然后利用根的判别式判断方程是否有解，从而判断面积能否达到200平方米． 【小问1详解】 解：设垂直于墙面的一边长为米，则墙对面的一边长为米，即米，则， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，，不符合题意，舍去． 答：鸡场的长和宽各为15米和10米． 【小问2详解】 假设鸡场的面积可能达到200平方米，则由题意可得， 整理得， ，，， ， 方程无解， 鸡场的面积不可能达到200平方米． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； （2）在图②中的边上找到点，连结，使； （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 如图所示，点F即为所求； 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即为所求； （2）取格点D，F，连接交于点，连接，得到，可得，即可得； （3）取格点D，E，G，H，M，N，连接，交于点O，连接，交于点P，连接并延长交于点Q，连接，交于点F即为所求；首先根据题意得到点Q是的中点，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ 设点C到的距离为h ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵四边形，是矩形 ∴点O和点P是矩形和的对称中心 ∴点Q是的中点 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，三角形中线的概念，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中，，，求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形进行求解． 过点作于点，可得是等腰直角三角形，再解求出，再由求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的长为． 22. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在中，分别是边的中点，相交于点，求证：， 证明：连结． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线交于点，为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为正方形，且，则的长为　 　． （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为　 　． 【答案】 教材呈现：证明： 如图①，连结． ∵在中，分别是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 结论应用：（1）；（2）6． 【解析】 【分析】教材呈现：如图①，连结．根据三角形中位线定理可得，，那么，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明； 结论应用：（1）如图②．先证明，得出，那么，又，可得，由正方形的性质求出，即可求出； （2）如图③，连接．由（1）易证．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出与的面积比，同理，与的面积比＝2，那么的面积的面积＝2（的面积的面积）＝，所以的面积，进而求出的面积． 【详解】教材呈现：略 结论应用： （1）解：如图②． ∵四边形为正方形，为边的中点，对角线、交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴． 故答案为； （2）解：如图③，连接． 由（1）知，， ∴． ∵与的高相同， ∴与的面积比， 同理，与的面积比＝2， ∴的面积的面积＝2（的面积的面积）， ∴的面积， ∴的面积． 故答案为6． 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.灵活运用正方形性质，相似三角形判定和性质是关键. 23. 如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过P作于D，以为邻边作矩形，设点P运动的时间是t（秒）． （1）线段的长为____________； （2）当矩形恰好是正方形时，求t的值； （3）当时，求t的值： （4）延长到点Q，使，连结．当直线分矩形的面积为两部分时，直接写出t的值． 【答案】（1）5 （2） （3） （4）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及矩形的面积，解题的关键是熟练掌握分类讨论思想和相似三角形的判定与性质： （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据矩形恰好是正方形，则，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据相似三角形的性质即可求解； （4）分情况讨论，①当点P在上时，②当点P在上时，根据三角形相似和矩形面积公式即可求解， 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：∵矩形恰好是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∴ ∴的值为： 【小问3详解】 解：则（2）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为： 【小问4详解】 解：设与交于点， ①当点在上时，如图， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵直线分矩形的面积为两部分， ∴或， ∴，或； ∵， ∴或 ∵， ∴， ∴； ②当点P在上时，如图， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵直线分矩形的面积为两部分， ∴或， ∴，或； ∵， ∴或 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围． （3）当点的纵坐标为1时，求点的坐标． （4）当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）1或 【解析】 【分析】（1）根据点及抛物线的对称轴可进行求解； （2）由题意和抛物线的对称轴和增减性即可求解； （3）根据点的纵坐标为1，算出横坐标，即可求解； （4）由题意可分①当轴时，②当轴时，③当轴时，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴该抛物线对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为为的中点， ∴点的横坐标为， ∵过点作轴的平行线交此抛物线于点， ∴点的横坐标为， ∴点、点都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大； 【小问3详解】 解：当点的纵坐标为1时， ∵点的横坐标为为的中点，点的横坐标为， ∴， 解得：或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上，或． 【小问4详解】 解：根据题意可得抛物线的函数关系式为， 故顶点坐标为， ①当轴时，点关于对称轴直线对称， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是两点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是顶点，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； ②当轴时，点关于对称轴直线对称， ∴点的坐标为， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； ③当轴时，点关于对称轴直线对称， 点的坐标为，点的坐标为， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； 综上，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为1或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级数学学科大练习 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的较小的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 25 C. 24 D. 5. 通过一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 50 7. 如图，直线 ，若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 抛物线与轴的交点坐标为__________． 10. 若方程有实数根，则实数k的取值范围为______． 11. 如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________． 12. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 13. 如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是___________． 14. 已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： －5 －4 －2 0 2 6 0 －6 －4 6 下列结论： ① ②当时，的值随的增大而减小 ③方程有两个不相等的实数根 ④当时，函数有最小值－6 其中，正确结论的序号是______（把所有正确结论的序号都填上） 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程：． 17. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 18. 如图，在中，，为边上的中线，于点E． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 19. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为33米． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? （2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？ 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； （2）在图②中的边上找到点，连结，使； （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 21. 如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中，，，求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 22. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在中，分别是边的中点，相交于点，求证：， 证明：连结． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线交于点，为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为正方形，且，则的长为　 　． （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为　 　． 23. 如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过P作于D，以为邻边作矩形，设点P运动的时间是t（秒）． （1）线段的长为____________； （2）当矩形恰好是正方形时，求t的值； （3）当时，求t的值： （4）延长到点Q，使，连结．当直线分矩形的面积为两部分时，直接写出t的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围． （3）当点的纵坐标为1时，求点的坐标． （4）当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $