5.2 第2课时 勾股定理的应用（课件） 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过复习勾股定理定义导入新课，以上堂课知识为支架，引导学生探究勾股定理在数轴表示无理数、实际问题（如梯子移动）及古代“葭生池中”问题中的应用，构建从理论到实践的知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言，通过“数学海螺”直观展示几何关系，借助梯子移动、古代葭生池中问题引导学生抽象数学模型，培养几何直观与推理能力。采用活动探究与分层作业设计，学生能提升应用意识与创新意识，教师可依托结构化内容高效开展教学。

湘教版八年级数学上册 第5章 直角三角形 5.２ 勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的应用 导入新课 上堂课我们学习了勾股定理，什么是勾股定理呢？ 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²＝c². 3 高效课堂 活动一：探究勾股定理与数轴的关系 可以想成边长为1的正方形的对角线长； 可以构造直角三角形作出边长为无理数的斜边，就能在数轴上画出表示该无理数的点. 4 高效课堂 分析：如图，由勾股定理可知，当两条直角边都为1时，该直角三角形的斜边OA1长为，以原点O为圆心，OA1为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点；当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2长为，以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点. 5 高效课堂 6 高效课堂 活动二：勾股定理的简单实际应用 7 高效课堂 分析：根据已知条件可抽象出示意图，如图所示，分别在Rt△ABC和Rt△A'BC′中，运用勾股定理计算出AB，A′B的长，就可得出梯子顶端向上移动的距离. 8 高效课堂 在Rt△ABC中，AC＝4 m，BC＝1.5 m， 由勾股定理，得AB＝≈3.71(m) 在Rt△A′BC′中，A'C′＝4 m，BC′＝1 m， 由勾股定理，得A′B＝＝≈3.87(m). 因此A'A＝A'B－AB≈3.87－3.71＝0.16(m). 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m，而不是向上移动0.5 m. 9 高效课堂 活动三：探究例题 例 (古代数学问题)“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1 尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？ 10 高效课堂 类比“思考”栏目问题的解决方法，建立几何模型，画出示意图如图所示，再运用勾股定理的相关知识解决问题. 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B'. 11 高效课堂 设水池深为x 尺，则AB，AC，AB'如何用x表示？ AC＝x尺，AB＝AB′＝(x+1) 尺. 在Rt△ACB′中，AC，AB′，B'C三边有什么数量关系？ 由勾股定理，得AC²+B'C²＝AB'². 如何用含x的式子表示呢？ x²+5²＝(x+1)². 12 高效课堂 解 如图，设水池深为x 尺，则AC＝x 尺，AB＝AB'＝(x+1) 尺. 因为池塘的水面是边长为10 尺的正方形，所以B'C＝5 尺. 在Rt△ACB′中，由勾股定理，得x²+5²＝(x+1)². 解得x＝12.故芦苇长为13 尺. 答：水深为12 尺，芦苇长为13 尺. 13 A　 B　 C　 D 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(　 　) 　D　 课堂评价 2．用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是(　 　) A．c2＝a2＋b2 B．c2＝a2＋2ab＋b2 C．c2＝a2－2ab＋b2 D．c2＝(a＋b)2 　A　 第3题图　　　　 第4题图 3．如图，起重机吊运物体，∠ABC＝90°．若BC＝12 m，AC＝13 m，则AB＝　 　m．          4．如图，池塘边有A，B两点，点C是与AB方向成直角的AC方向上的点，测得BC＝25 m，AC＝15 m，则A，B两点间的距离是　 　m． 　20　 　5　 第5题图　　　　　 第6题图 5．如图，一旗杆被大风刮断，旗杆的顶部着地点到旗杆底部的距离为4 m，折断点离旗杆底部的高度为3 m，则旗杆的高度为　 　m．        6．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 　 　m，却踩伤了花草． 　4　 　8　 课堂总结 1.通过本课的学习，你对勾股定理有哪些更深入的认识？在学习过程中用到了哪些数学思想方法？ 2.通过本课，你都学到了哪些勾股定理的实际应用？ 3.你能归纳出利用勾股定理解决实际问题的一般步骤吗？ 18 作业设计 基础性作业：教材练习第1，2题. 提高性作业：教材习题5.2第3，7题. 拓展性作业：请搜集更多身边利用勾股定理解决实际问题的例子，并尝试建立数学几何模型来解决实际问题. 19 感 谢 观 看 $