5.2勾股定理及其逆定理（1） 教学设计 2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

5.2勾股定理及其逆定理（1） 教学设计 课题 5.2勾股定理及其逆定理（1） 单元 第五章 学科 数学 年级 八年级上 教材分析 勾股定理是在学习了三角形的有关性质基础上提出的，勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，对前面的知识起到完善，延伸的作用；书中的拼接借鉴证明了学生的不易理解，但勾股定理是今后学习几何的一个重要定理，它广泛应用几何证明和计算。 核心素养 能力培养 1. 在勾股定理探索过程中，发展各推理能力，体会数形结合思想； 2. 经历观察与发现直角三角形三边之间的过程，感受勾股定理的应用意识， 教学目标 1.了解勾股定理的文化背景，体会勾股定理的探索过程； 2.了解利用拼图法验证勾股定理的方法； 3.能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题； 教学重点 探索和验证勾股定理以及勾股定理的应用 教学难点 勾股定理的证明 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新知导入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等，我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么它们一定会识别这种语言的，这个事实可以说明勾股定理的重大意义。我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话是说一个直角三角形较短直角边的长是3，长得直角变得长是4，那么斜边的长是5. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 自己动手尝试构建一个直角三角形。 通过“外星人”的话题吸引学生的兴趣，从而提出数学问题，激起学生的思考。 新知探究 【观察】 如图，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？ 可以发现，两直角边分别为3，4的直角三角形，其斜边为5. 我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”. 这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方.对于这一结论，古人称为勾股算法. 实际上，这一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系. 由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论. 【探究】 画一个边长为a+b的正方形，将其分割成四个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a， b，斜边都为 c，如图所示. 由此，你能探索出a2+ b2 =c2这一结论吗？ 由于四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4 个小直角三角形的面积。 因而S=(a+b)2-ab× 4=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2 在△ABE与△BCF中， 所以△ABE≌△BCF（边角边）， 因此∠1=∠3. 又∠1+∠2=90°， 所以∠3+∠2=90°， 因此∠CBA=180°-（∠3+∠2）=90°. 同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°. 又BC=CD=DA=AB=c， 因此四边形ABCD是正方形， 所以S=c2. 综上可知，S=a2+b2=c2 由此可得: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 这一结论称为勾股定理。 【做一做】 请通过图中两个边长为 a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. 例1 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c. （1）若a=1，b=2，求c. （2）若a=15，c=17，求b. 解 （1）根据勾股定理得，c2=a2+b2=12+22=5.因为c>0，所以c= . （2）根据勾股定理得，b2=c2-a2=172-152=64. 因为b>0，所以b=8. 例2 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB= AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长. 解 根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边BC上 的中线，因此BD=BC=5. 在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2， 因此AD= 故AD的长为12. 学生独立思考，动手操作，经历探索的过程，进而发现结论。 学生分析讨论后，师生共同完成解题步骤，进一步巩固学生本节课的所学内容。 创设情景，引导学生探究从一般到特殊的情景，借助于教具，模型，教学手段，使学生得到直观的感性认识。 让学生概况结论，可以培养学生的概括能力。 进一步巩固概念，并利用勾股定理进行有关的计算。 通过例题提升，使学生能运用所学知识点和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性。 课堂练习 1.当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5 都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） （A）5，12，13 （B）6，8，10 （C）7，24，25 （D）8，15，16 解 选D 因为52+122=132；62+82=102；72+242=252，但82+152≠162 2.求下图中各直角三角形未知的边长. 解 因为a2=52-42，所以a=3； 因为a2+42=41，所以a=5； 因为c2=102+()2，所以c=15. 3.已知Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长6cm，求 AC的长. 解 ∵△ABC是Rt△ABC ∴AC2=(AC-2)2+62 ∴AC=10 学生通过课堂练习巩固本节课所学的知识点。 通过设置课堂练习，进一步检测学习效果，做到“堂堂清”。 课堂小结 1.把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五” 2.勾股算法：勾与股的平方和等于弦的平方 3.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 教师引导学生归纳本节所学知识，进一步复习巩固新知识。 注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会。 作业布置 1.必做题：教科书172页-学而时习之1-2 2.选做题：教科书172页-温故而知新5 对本节课所学知识点进行练习，提高了学生对知识点的理解和掌握。提供给学生不同难度的习题，使学生充分掌握本节课所学的知识点。 过巩固学生课堂所学的知识点，提高学生对知识点的理解和应用能力。让学生通过实践掌握理论知识，促进学生自主学习能力和探究精神。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $