第二章 分式与分式方程 期末复习练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第二章分式与分式方程期末通关复习讲义 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 3．如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 4．在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 6．下列四种说法中，错误的个数是（    ） ①是分式；②当时，成立；③当时，分式的值是零；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 9．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 10．一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 11．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1200里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的3倍，求规定时间．设规定时间为y天，则可列出正确的分式方程为 ． 14．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 15．已知实数满足，则的值为 ． 16．化简的结果是 ． 17．若，则 ． 18．对于正数x，规定，如：则的值为 三、解答题 19．按要求进行计算． (1)； (2)； (3)先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 20．铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 21．解方程： (1)； (2)． 22．中国是世界文明古国之一，古代天文学有着卓越的成就．《开元占经》记载了众多天文现象和数据，《甘石星经》则是古代重要的天文学著作．某天文爱好者俱乐部的《开元占经》单价是《甘石星经》单价的，用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本． (1)求《开元占经》、《甘石星经》两种图书的单价分别为多少元？ (2)在世界航天日，该俱乐部计划到书店购买这两种图书共100本，且购买的《甘石星经》数量不少于《开元占经》数量的．由于购买量大；书店打折优惠，两种图书均按七五折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 23．计算： (1)； (2)； (3)； 24．操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键，设 ，（），即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 设 ，（）， ∴ ． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y，得， 化简后的结果和原式相同，则分式的值不变． 故答案为：A． 4．B 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母含字母和，是分式． ∴分式有个． 故选B． 5．C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 6．B 【分析】本题考查分式的定义、分式的化简与求值，根据分式的定义（分母中含字母）判断①；通过因式分解验证②；代入求值判断③；通过通分比较判断④． 【详解】解：① ∵ 分式定义是分母中含字母，而 的分母是常数 ，不是字母， ∴ 不是分式，故①错误； ② ∵ ，， ∴ 等式成立，故②正确； ③ 当 时，分子 ，分母 ，分式无意义， ∴ 值不是零，故③错误； ④ 左边通分：，右边为 ， ∵ ， ∴ 等式不成立，故④错误； 综上，错误的有①、③、④，共3个． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 8．C 【分析】本题主要考查了新运算的定义、解分式方程等知识，根据题意新定义运算将方程转化为分式方程并求解，检验即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 10．C 【分析】此题考查分式混合运算的实际应用，根据工作效率和合作效率，计算完成50%工作所需时间 【详解】设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵ 合作效率为， 完成50%工作，工作量为，， ∴ 所需时间 = ， 故选：C 11．B 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是通过对已知条件变形得到，再代入待求式进行化简计算． 由已知条件 可得 ，代入所求表达式化简即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 代入所求式： ． 故选B． 12．C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 13． 【分析】本题考查了列分式方程，设规定时间为天，则快马所需时间为天，慢马所需时间为天，再根据快马的速度是慢马的3倍列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：由题意得，快马速度为里/天，慢马速度为里/天， 由于快马速度是慢马速度的3倍，故有方程：． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 15．18 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．先将已知等式两边同除以a得，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 16． 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减法则． 将原式通分后合并，并利用平方差公式和提取公因式进行化简． 【详解】解： ． 17． 【分析】本题考查了分式的化简求值．由已知条件可得，代入所求分式化简即可． 【详解】解：由，得，即，所以． 则． 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据已知规定，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 19．(1) (2) (3)； 【分析】本题主要考查了分式加减运算，分数除法运算，分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则，进行计算即可； （3）先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∵，， ∴，， 把代入得：原式． 20．(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 21．(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）解： 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入． ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 22．(1)《开元占经》单价为50元，《甘石星经》单价为元 (2)购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式是解题的关键： （1）设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单价为元，根据用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本，列出方程进行求解即可； （2）设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》本，根据购买的《甘石星经》数量不少于《开元占经》数量的，求出的范围，设总费用为w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单价为元． 由题意可得： 解得， 经检验，是原方程的解． ∴（元） 答：《开元占经》单价为50元，《甘石星经》单价为元． （2）设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》本 ，解得 设总费用为w元， 因为，所以w随m的增大而减小 所以当时，w最小，此时（本）． 答：购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本时费用最少． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查含乘方的分式的乘除混合运算，因式分解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 24．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $