精品解析：四川省泸州市古蔺县观文初级中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

观文中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合选项根据轴对称图形（把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称）与中心对称图形（指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称）的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】题目主要考查轴对称和中心对称图形的识别，深刻理解轴对称与中心对称图形的概念是解题关键． 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件 B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C. “抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上 D. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件的定义可判断A项，根据中心对称图形和必然事件的定义可判断B项，根据概率的定义可判断C项，根据频率与概率的关系可判断D项，进而可得答案． 【详解】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故本选项说法正确，不符合题意； B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，故本选项说法正确，不符合题意； C、“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上，故本选项说法错误，符合题意； D、“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件、必然事件、中心对称图形以及频率与概率的关系等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 4. 如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则与的面积比为（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．利用位似性质得到∽，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：以点为位似中心，将放大后得到， ， ． 故选：D． 5. 如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角， 即∠DOB=80°， 所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 6. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 7. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，时为一元一次方程，满足条件；时，令，求出k的取值范围．综合两种情况，即可得出结论． 【详解】解：当时， 关于x的方程为一元一次方程，有实数根； 当时， 关于x的方程为一元二次方程， ∵有实数根， ∴， ∴且； 综上，k的取值范围是． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，注意分和两种情况讨论是解题的关键． 8. 已知点，，都在二次函数（是常数，且）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】由题知：抛物线的对称轴为直线， ，抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键． 9. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案． 【详解】解：由的顶点坐标为 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax－a过一，二，四象限， 故C符合题意，D不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 10. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．周瑜去世时年龄的十位数字是x，哪位学子算得快，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方解决数字问题，设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据个位平方与寿同列式即可得到答案； 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是x，由题意可得， ， 故选：C． 11. 对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ） A. t＜ B. t＞ C. t＜ D. t＞ 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x-3成立时；②当2x+1＞2x-3成立时；进行讨论即可求解． 【详解】解：①当2x+1≤2x-3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b时不成立； ②当2x+1＞2x-3成立时，即1＞-3，所以a＞b时成立； 则（2x-3）2-（2x+1）=t， 化简得：4x2-14x+8-t=0， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， △=142-4×4×（8-t）＞0； 解得：t＞． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算． 12. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2．有下列结论：①4a+b=0;②16a+4b+c<0;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时，y的值随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=− =2， ∴b=−4a,即4a+b=0,(故①正确)； ∵当x=4时，y>0， ∴16a+4b+c>0， (故②错误)； ∵抛物线与x轴的一个交点为(−1,0)， ∴a−b+c=0， 而b=−4a， ∴a+4a+c=0，即c=−5a， ∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a， ∵抛物线开口向下， ∴a<0， ∴8a+7b+2c>0,(故③正确)； ∵对称轴为直线x=2， ∴当−1<x<2时，y的值随x值的增大而增大， 当x>2时,y随x的增大而减小,(故④错误). 故选B. 点睛：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；当a<0，抛物线开口向下.对称轴为直线x=-;与y轴的交点为（0，c）. 二、填空题（12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标均互为相反数，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横纵坐标均互为相反数，是解题的关键． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考由一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解． 【详解】解：由方程可知 故答案为：． 15. 若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 16. 若t为实数，关于的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是__________． 【答案】-15 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系可得a+b=4，ab=t-2，将所求代数式化简代入可得结论． 【详解】解：∵x2-4x+t-2=0的两个非负实数根为a，b， ∴a+b=4，ab=t-2，Δ=16-4（t-2）≥0． 则，解得：2≤t≤6， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab=42-2（t-2）=-2t+20， ∴（a2-1）（b2-1）=a2b2-（a2+b2）+1=（t-2）2+2t-20+1=t2-2t-15=（t-1）2-16， ∵2≤t≤6， ∴当t=2时，代数式（a2-1）（b2-1）有最小值， ∴代数式（a2-1）（b2-1）的最小值是(2-1)2-16=-15， 故答案为：-15． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，二次函数的图象与性质，属于中档题，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q． 三、解答题（72分） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂以及算术平方根，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， ， 20. 如图，在中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 21. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间（单位：小时） 频数 12 28 16 4 （1）________，________； （2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？ （3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）80，20 （2）160人 （3） 【解析】 【分析】（1）先用的频数除以百分比求出抽取的人数m，再用m减去其他的人数求出a的值； （2）用该校的总人数乘以所占的百分比； （3）画出树状图，根据概率的计算公式即可得出答案． 【小问1详解】 m=， a=80-12-28-16-4=20； 故答案为：80，20； 【小问2详解】 （人）， ∴劳动时间在范围的学生有160人； 【小问3详解】 画树状图如图所示： 总共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， ∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生概率：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法、用样本估计总体、频数分布表和扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式． 22. 如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且斜坡，． （1）求斜坡的坡度； （2）求坝底的长．（结果保留根号） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据特殊角三角函数可得的度数，然后根据坡度定义即可得结论； （）过作于点，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可； 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是作出辅助线，灵活运用三角函数解答． 【小问1详解】 解：∵是梯形的高，即， 在 中，， ∴， ∴， ∴斜坡的坡度为； 【小问2详解】 解：如图，过作于点， 则，， 在中，∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴坝底的长为． 23. 已知关于的一元二次方程. （1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根，满足，求的值. 【答案】（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0． ∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）-2. 【解析】 【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值． 【详解】解：（1）略 （2）∵原方程的两根为x1、x2， ∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p． 又∵x12+x22-x1x2=3p2+1， ∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1， ∴52-3（6-p2-p）=3p2+1， ∴25-18+3p2+3p=3p2+1， ∴3p=-6， ∴p=-2． 24. 保康县2024年大力推广一种成本为10元/斤的农产品，该产品售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式，求y与x之间的函数关系式； （2）若每日销售利润为w（元），当售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）县科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少m元，已知每日最大利润为2592元，求m的值． 【答案】（1） （2）当售价定为25时，每天销售利润最大，最大利润是1800元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键 （1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每日销售利润为w元，根据x的取值范围，利用二次函数模型即可求出最大利润； （3）设成本每斤减少m元后每日销售利润为Q元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得m值． 【小问1详解】 解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为， 当时，，当时，， ，解得：， 与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得：， ， ， 抛物线开口方向向下， 对称轴，， 当时，利润最大， 元； 【小问3详解】 设成本每斤减少m后每日销售利润为Q元， 则， 抛物线对称轴为， ， ， ， 当时，利润最大， ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：m的值为6． 25. 如图，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，点P是直线下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，面积最大，并求出此时P点的坐标； （3）设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积最大值为，此时点P的坐标为 （3）存在，所有满足条件的点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把，代入，再建立方程组求解即可； （2）过点P作y轴的平行线交于点H，先求解，直线的表达式为，设点P的坐标为，则点，结合的面积，再建立二次函数的解析式，利用二次函数的性质解题即可； （3）分三种情况讨论：①当四边形是平行四边形时，②当四边形是平行四边形时，③当四边形为平行四边形时，如图，再利用平行四边形的性质结合中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 得到， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作y轴的平行线交于点H， ∵抛物线的解析式为， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点， 则的面积 ， ∴当时，的面积最大值为， 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 存在． 理由：如图， 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点，， ①当四边形是平行四边形时， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ②当四边形是平行四边形时， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ③当四边形为平行四边形时，如图， ∴，则， ∴， 综上，满足条件的点Q或，． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与平行四边形，熟练地画出图形，利用数形结合的方法与方程思想解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 观文中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件 B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C. “抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上 D. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近 4. 如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则与的面积比为（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 5. 如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 8. 已知点，，都在二次函数（是常数，且）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．周瑜去世时年龄的十位数字是x，哪位学子算得快，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 11. 对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ） A. t＜ B. t＞ C. t＜ D. t＞ 12. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2．有下列结论：①4a+b=0;②16a+4b+c<0;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时，y的值随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则______． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 15. 若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是_____． 16. 若t为实数，关于的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是__________． 三、解答题（72分） 17. 计算： 18. 化简： 19. 解方程： 20. 如图，在中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间（单位：小时） 频数 12 28 16 4 （1）________，________； （2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？ （3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 22. 如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且斜坡，． （1）求斜坡的坡度； （2）求坝底的长．（结果保留根号） 23. 已知关于的一元二次方程. （1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根，满足，求的值. 24. 保康县2024年大力推广一种成本为10元/斤的农产品，该产品售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式，求y与x之间的函数关系式； （2）若每日销售利润为w（元），当售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）县科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少m元，已知每日最大利润为2592元，求m的值． 25. 如图，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，点P是直线下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，面积最大，并求出此时P点的坐标； （3）设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $