广东省中山市中山纪念中学2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试卷

广东省中山市纪念中学2024-2025学年高二数学二段考 一、单选题 1.已知向量ā=(2，-1,3)，=（-1,4，-2)，c=(1,3,),若ā，6，c共面，则入=() A.4 B.2 C.3 D.1 2.若A(-2,-1),B(1,1)两点到直线l:ax-y+1=0的距离相等，则a=() 司 c.2号 D诚号 3.已知圆C1:x2+2-2ax+2y+a2=0与圆C2:x2+2+4红-6y-23=0的公切线有且只有一条，则实数a的值为() A.1 B.-1 c,1或-5 D.-1或5 4.双曲线8kx2-2=8的一个焦点坐标为(0，-3)，则实数k的值为() A.1 B.-1 c.V65 3 D.-V65 3 5已为P光椭圆号十号=1止的的点，进P作y的垂线，垂是为A,若动点B消足P办=3P成，则时动点B路航选方程为《) A+ x2,2 =1 B+号=1 C.y 8+21 x22 D.12+2=1 6.过抛物线=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限，若AF=4BF,则直线AB的斜率为() A.V2 B.2v3 c.3 2 4 3 D. 为椭圆+=1a>b>0的右焦点，A,B为网2+心=6上两个关于原点对称的点，若 恒成立，则该椭圆的 离心率的取值范围是() B. C. 8.当0变动时，动直线l:xcos0+sin0-cos2 =0与定圆C相切，则圆C的面积为（) 2 B.4m c D.2m 第1页（共15页） 二、多选题 9.下列给出的命题中正确的有() A.若{a,石，c}是空间的一组基底，则{a+,石+c,c-a}也是空间的一组基底 B.却为平面ABC上的-点，点O是面ABC外-点且0币-专O-:0市+y0心gyE,则g-y=-号 c若直线的方向向量为正=(1,03到，半面a的法向量为元=(-2,0》.则直线a 11 D.已知a=(1,1,0),不=(2,1,1)，则ā在上的投影向量为(1,22 10.已知点P(x,)是圆M:(x-2)+2=1上的动点，则下列说法正确的是() A. 的最小值为-y3 B.x2+y2+2x-6y的最小值为9-6V2 3 C.x-y的最大值为√2+1 D.2x+y的最大值为4+√5 11.加斯帕尔·蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其 风心是防质的中心，这个国故称为家日贸（蜘图所示》.当圆方程为号+茶-1>6>0时，安日周方程为r2+矿=。？十份 。已知长方形G的四边均与随奥4：关士兰相切，侧下说法正确的是（） A.椭圆M的离心率为 1 B.若G为正方形，则G的边长为2V5 C.椭圆M的蒙日圆方程为x2+2=7 D.长方形G的面积的最大值为14 三、填空题 12.如图，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，E,F分别为PD,PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O,PA=AB=2,若 OG/平面EFC,则AG= 13.过点P(0,2)作直线L,使它被两条相交直线2x一y一2=0和x+y+3=0所截得的线段，拾好被点P平分，则直线的方程为 第2页（共15页） 14已知双曲线女- 一及=1与直线划=工-1相交于A,B两点，其中AB中点的横坐标为-2 ,则该双曲线的离心率为 四、解答题 15.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=60°，AA1=4AB=4,点G为CB1的中 点， ()用向量AB.A,AA表示A花： (2)求线段AG的长及直线AG与BD1所成角的余弦值： 16.己知圆M经过A(1,-2),B(-2,1)两点，且圆心在直线x+y-2=0上. Q)求圆M的方程： (2)若P为直线l:4x+y+12=0上的动点，过点P作圆M的切线PE,PF,切点分别为E,F,当PM·EF列最小时，求直线EF的方 程. 17.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为：(x+1)2+y=16,定点F(1,0),B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线1和半径BC相 交于点T, (1)求点T的轨迹W的方程： (2)已知点A(一2,0)，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP,AQ分别与直线x=3交于M,N两点，求证：直 线FM与直线FN的斜率之积为常数. 第3页（共15页） 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中AD/BC,AB⊥AD,AB=AD=2BC=1 ,PA=2,E为棱BC上的点，且BB=BC,点Q在棱CP上（不与点C,P重合）， (1)求证：平面DEQ⊥平面PAC: (2)求二面角A一PC-D的平面角的余弦值： 3)直线QE能与平面PCD垂直吗？若能，求出的值：若不能，请说明理由 19.已知双曲线C: -一1Q>0b>0的焦点到新近线的距离为1，A,B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A,B的一点，直线 PA,PB的斜率之积为4 (1)求双曲线C的方程： (2)已知过点M(4,0)的直线l:x=my+4,交C的左、右两支于D,E两点（异于A,B)· ①求m的取值范围： ②若S△D0E=12√2，其中0为坐标原点，求直线l的方程. 第4页（共15页） 【解析】 1.因为d,,c共面，所以存在两个实数m、n,使得c=ma+n, 2m-n=1 m=1 即(1,3，)=m(2,-1,3)+n(-1,4,-2),即 -m+4n=3,解得 n=1. 3m-2m=入 λ=1 故选：D 2.由题意知， |-2a+1+1a-1+1 V1+a2 V1+a2 得2-2a=al,解得a=2或 即实数a的值为2或号 。2 故选：C 3.圆C1的圆心为(a,-1),半径为1；圆C2的圆心为(-2,3)，半径为6. 因为圆C1和圆C2只有一条公切线， 所以圆C1与圆C2内切，所以V(a+2)2+16=6-1,即a=1或a=-5. 故选：C. 第5页（共15页） 4.由该双曲线的一个焦点坐标为(0，-3)，则k<0, 由8kx2-k2=8可得 =1, 即有+() =32,解得k=-1. 故选：B. 5.设P(x1,),B(c,),则A(0,1) PB=(t-x1,y-1),PA=(-C1,0) 因为PB=3PA,所以(c-E1,y-)=3(-1,0), 故选：B A 6.设A(1,1),B(c2,2)(c1>0,1>0,x2>0,2<0), O外NB 由AF=4BP,可得A萨=4F方，即（兮-，-班）=4(-号欧） ∴.1=-42 设直绽方程为：=(-)】 u=e-)旷- 2=2px ky-p2=0, .1‘9=-p2, ∴.y2=-p2,x2=p8 .kAB=-p2-0p8-p2=43 故选：D 第6页（共15页） 7由短设，当且仅当AB为新圆上下顶点时∠AFB录大，具需此时∠AFB≤哥即可， 显然，此时△ABF为等腰三角形，且FA=|FB=a,AB=2b, 所以coS∠AFB= a2+a2-4b2 =1-2≥5， 1 2a2 h 2 故e=/1-() 上30<e<1,则椭圆的离心率范围是 2 故选：C 8直线：z0o0+in0-cos2号=0，即z6cos0+3ib-1+cos =0.e-co0+sim6=号 当0变动时点(，0)到直线的距离d= cos+0x sine- 1+cos0 2 Vcos20+sin20 为常数， 2 2 因此动直线与圆(x- +=子相切 由动直线与定圆C相切，程圆C的圆心为（分，0）.半价r= 2 所以网C的面积为星 故选：C 9.对于A,由c-=(6+)-(d+),得a+,+c,c-a共面， {五+石，石+c,c-a}不是空间的一个基底，A错误； 对于B,由O市-}0A:0苑+yO心e,yG团.点p在平面ABcL 得3龙+=1，解得-= 号B德 对于C,由，i=1×(-2)+3×3=0,得E1元，则/a或1ca,C错误： 对于D,=(1,1,0),=(2,1,1),则a.6=1×2+1×1=3,|612=22+12+12=6, ,.11 所以ā在6上的投影向量为“6=之=（口22D正确 12 故选：BD 第7页（共15页） 10.由圆M:(x-2)2+2=1可知，圆心为(2,0)，半径为r=1, A选项，设型=k,则y=kc, 2 4 -1 -2 当直线与圆相切时，有最值，则 12k d=- 三1，解得k土3，则的最小值为3 k2+1 3,故A选项正确 B选项，因为x2+2+2x-6y=(x+1)2+(y-3)2-10,d=(x+1)2+(y-3)2表示圆上的点到 (-1,3)距离的平方和， 10 4衣 -1 -2 故dmin= (V2+1r+-1）°=6v2-2-19-6v2,则e++2z-6创m=9-62 ,故B选项正确： C选项，当P(3,0)时，此时-y=3>√2+1，故C选项错误： D选项，令2x十y=之，则当直线与圆相切时有最值， 2 y=-2x+z 1 -1o 即d=4-斗=1，解得：=4士V5,所以2x十g的最大值为4+V5,故D选项正确： V4+1 故选：ABD 第8页（共15页） 11.对于A,由椭圆M的方程知a=2,b=√3，则c=Va2-b=1, 新圆M的离衣率e=台- ,A正确： 对于C,由A知，椭圆M对应的蒙日圆方程为x2+y=7,C正确： 对于B,由C可知，正方形G是圆x2+y=7的内接正方形，正方形G对角线长为圆的直径2√7， .正方形G的边长为1 (2V)2 =√14，B错误： 2 对于D,设长方形G的长和宽分别为m,n,.长方形G的对角线长为椭圆M对应蒙日圆的直径 2√7，.∴.m2+n2=28, 长方形G的面积3=mn≤m2十n2 2 =14(当且仅当m=n=V14时取等号)， 即长方形G的面积的最大值为14，D正确. 故选：ACD 12.如图所示，以A为坐标原点，AB,AD,A下的方向分别为心，，轴的正方向建立空间直角坐标系， B 由题意可得P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),0(1,1,0) 则F(1,0,1),E(0,1,1) 所以F0=(1,2,-1),FE=(-1,1,0), 设平面BFC的法向量为元=(x,y,z), 则节0今十2.0令=1，则得个同为元=山，山3】 -x+y=0 因为OG/平面EFC,则元.OG=0, 设G(0,0,a),则0G=(-1,-1,a),所以-1-1+3a=0, 即AG=3 故答案为：3 第9页（共15页） 13.设直线l1:2c-y-2=0,l2:x+y+3=0 设直线l夹在直线l1,l2之间的线段为AB(A在U1上，B在L2上)， 设A(x1,1小、B(x2,) 因为AB被点P(0,2)平分，所以x1+x2=0,1+2=4, 于是x2=-x1,2=4-1: 由于A在上，B在2上，则221-M-2=0 (x2+y2+3=0 即/ 2c1-M1-2=0 -1+4-+3=0 解得1=3,1=4， 即A的坐标是(3,4)，则直线的方程是y一2=” 4-2=31 即2x-3y+6=0 故答案为：2x-3y+6=0. 4设A国，)，B,队AB钟点为M,期w=子或w= 0 62 a2 62 a2 62 所以@1-2)×() (-)×(-) a2 a2 =0,而kAB=1, 放、 2 5 3a2+ 362 =0,故2b2=5a2=2c2-2a,故9-y☑ a 2 故答案为： V14 15,由题意知A花=A应+B元+C衣=AB+A+分C应-A应+A+(B应-B心） =AB+ò+(AA-ò)=B+A市+A (2)因为四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=60°，AA1=4AB=4, 所以AB.AD=0,AB.AA1=1×4cos60°=2，AD·AA1=1×4cos60°=2， 所以 第10页（共15页）