精品解析：贵州省贵阳市华师一学校2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题

贵阳市华师一学校2025-2026学年度第一学期期中检测 高二数学 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 注意事项： 1.本试卷共4页.满分150分，考试用时120分钟. 2.用0.5毫米黑色中性笔直接将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 如图，在平行六面体中，若，，，为中点，则与相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线：，则“”是“曲线是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知、、均为单位向量，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 已知直线：：，：，若，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 不存在 7. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、单项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9. 对于直线：，圆：，圆上动点，下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为3 B. 与相离 C. 过上一点向圆只能作一条切线 D. 到直线距离的最大值为 10. 已知是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 时，的面积为 B. C. 的周长为8 D. 的最小值为2 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若为的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C. 若点满足，则动点到直线的距离最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线与直线之间的距离是______. 13. 圆：与圆：相交于、两点，则两圆公共弦的长为______. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算.） 15. 求下列直线的方程. （1）过点且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程. 16. 如图，四棱锥的侧棱底面，已知底面是正方形，若，且是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 19. 已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点. （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.） （3）若直线与圆相切于点，且交曲线于两点.证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市华师一学校2025-2026学年度第一学期期中检测 高二数学 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 注意事项： 1.本试卷共4页.满分150分，考试用时120分钟. 2.用0.5毫米黑色中性笔直接将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 如图，在平行六面体中，若，，，为中点，则与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合几何体，利用向量的线性运算公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 2. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 3. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心为，且与轴相切得半径，即可写出圆的标准方程. 【详解】因为圆心为，且与轴相切， 所以圆心到轴的距离等于半径，即， 故圆的方程为. 故选：D. 4. 已知曲线：，则“”是“曲线是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知曲线方程和椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件进行判定即可. 【详解】曲线：为椭圆，则，解得且， 可知是“曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 已知、、均为单位向量，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用数量积定义和运算律即可求解. 【详解】由 ， 所以， 故选：B. 6. 已知直线：：，：，若，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， 解得. 故选：A 7. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离为求解即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为， 则，解得或. 故选：D. 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设，，根据题意在中，根据求出的关系，即可求出，在中，根据求出的关系，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，所以， 所以，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：C. 二、单项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9. 对于直线：，圆：，圆上动点，下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为3 B. 与相离 C. 过上一点向圆只能作一条切线 D. 到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程求得半径判断A；求得圆到直线的距离，进而根据与半径的关系判断B；由圆外的点均能向圆作两条切线判断C；求得到直线距离的最大值判断D. 【详解】由圆：，得， 所以圆心，半径，故A正确； 所以圆心到直线：的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 因为直线与圆相离，所以直线上的点都在圆外， 所以过上任一点作圆的切线，均能作两条切线，故C错误； 因为圆心到直线：的距离，又点在圆上， 所以到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 时，的面积为 B. C. 的周长为8 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理及三角形面积公式计算即可判断A；根据离心率公式计算判断B，再根据椭圆的定义结合焦距可得的周长判断C；通过换元结合，运用二次函数性质计算判断D. 【详解】由可得故，， 对于A，因点在椭圆上，故有，故， 由余弦定理得：， 解得，故的面积为，故A正确； 对于B，，故B项正确； 对于C，因点在椭圆上，则的周长为，故C错误； 对于D，因，记，则， 则， 因，即， 故当或时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若为的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C. 若点满足，则动点到直线的距离最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据即可分析判断A；取的中点，连接，说明截面为四边形即可判断B；取中点，中点K，连接，，，根据求出动点的轨迹即可判断C；作出符合条件的轨迹并求出其长度判断D. 【详解】对于A，由，， 得当平面时，三棱锥体积取得最大值， 最大值为，故A正确； 对于B，取的中点，连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 所以四点共面， 所以四边形即为平面截正方体所得截面， ， 所以截面的周长为，故B错误； 对于C，取中点，中点K，连接，，， 由， 得，则，， 由平面，平面，得， 而，，，平面， 因此平面， 由平面，所以， 得点的轨迹为四边形（除点外）， 设，连接，， 由，得，所以， 因为平面，所以， 所以线段长度即为点到直线的距离， ， 所以当动点在点的位置时， 动点到直线的距离最大，最大值为，故C正确； 对于D，由平面平面， 得直线与平面所成的角为， 连接，， 由平面，平面，且， 则点为线段或上任意点（除点外）， 在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点为圆弧上任意点时，连接，    由平面， 得是与平面所成角， 而， 则， 因此点轨迹是线段，及圆弧（除点外）， 所以点轨迹长度为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线与直线之间的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用斜率判断直线与直线平行，再利用两条平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与直线的斜率都是2，所以两条直线平行； 所以直线与直线间的距离为 ; 故答案为： 13. 圆：与圆：相交于、两点，则两圆公共弦的长为______. 【答案】4 【解析】 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：，即， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义对进行转化，再结合点与圆的位置关系、两点间距离公式求出最小值. 【详解】 根据椭圆的定义可知， 所以， 又为圆上任意一点，则， 所以，当且仅当、、、共线且、在和之间时，等号成立. 由题意知，，， 所以，即， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算.） 15. 求下列直线的方程. （1）过点且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出平行直线的方程，代入点来求得正确答案. （2）通过中点和斜率求得线段的垂直平分线的方程. 【小问1详解】 设过点且与直线平行的直线方程为， 将代入，解得， 所以过点且与直线平行的直线方程为. 【小问2详解】 线段的中点为，斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即. 16. 如图，四棱锥的侧棱底面，已知底面是正方形，若，且是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明： 底面，底面，. 底面是正方形，. ，，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质得，正方形性质得，再用线面垂直判定定理证明. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，得到向量坐标，求出平面的法向量及平面的法向量，最后利用向量夹角公式求二面角余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以 又底面，所以为平面的法向量，. 设平面与平面所成的角为， 则. 故平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，列出方程求得，求得圆； （2）根据题意求得，当时，得到，取得最小值，进而得出面积的最小值. 【小问1详解】 由题意，圆心在直线上，可设， 因为圆过点，且过点， 可得，整理得， 所以，即，且半径 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆，圆心，半径， 则四边形的面积， 设，因为， 所以当时，， 此时四边形的面积最小，最小值为； 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4. 19. 已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点. （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.） （3）若直线与圆相切于点，且交曲线于两点.证明：为定值. 【答案】（1）； （2） 证明：设点，则切线的方程分别为，， 因此，显然点的坐标满足方程，则直线的方程为， 对于任意实数，当时，恒有，即直线过定点， 所以直线过定点.     （3） 证明：当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由直线与圆相切于点，得，，则， 由消去并整理得， 则， ，， 因此 ，当直线的斜率不存在时，其方程为或， 由，解得，，于是， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简即得. （2）设出点的坐标，写出切线的方程，进而求出直线方程即可得证. （3）按直线的斜率是否存在，设出方程并与椭圆方程联立，结合圆心到直线距离及向量数量积的坐标表示求出，再利用数量积的运算律计算得证. 【小问1详解】 依题意，，化简整理得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $