精品解析：江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期数学周测（8）

2024级高一第二学期数学周测（8） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z.则其中正确命题的个数为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】 运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】对于①中复数和的模相等,例如,,则和是共轭复数是错误的;对于②和都是复数,若是虚数,则其实部互为相反数,则不是的共轭复数,所以②是正确的; 对于③复数是实数,令,则所以,反之当时,亦有复数是实数,故复数是实数的充要条件是是正确的.综上正确命题的个数是个. 故选 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础. 2. 上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到所以圆台上、下底面半径分别为6和7，再画出图形，利用勾股定理求解即可. 【详解】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R， 由题意可知：，解得， 如图可得：， 满足关系式，即，求得， 即两底面之间的距离为. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、余弦的二倍角公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】由题意可得， 所以，， 故选：A 4. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 A. 至多有一个是直角三角形 B. 至多有两个是直角三角形 C. 可能都是直角三角形 D. 必然都是非直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】借助长方体中的三棱锥可得到答案. 【详解】在如图所示的长方体中，三棱锥的三个侧面都是直角三角形, 故选C. 【点睛】本题考查棱锥的结构特征、直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，属于基础题． 5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ） A. 直线与直线平行 B. 直线与直线相交 C. 直线与直线异面垂直 D. 直线与直线异面且所成的角为60° 【答案】D 【解析】 【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线与直线为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案. 【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示： 由图知：直线与直线为异面直线，故A，B错误； 连接，，因为，所以或其补角为异面直线与所成角. 又因为为等边三角形，所以. 所以直线与直线异面且所成的角为60°，故C错误，D正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题. 6. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 四边形的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】在和中，分别利用余弦定理，得到，结合，求得，得到，可判定A正确；利用直角三角形的面积公式，可判定B不正确；在直角中，利用勾股定理，可判定C正确；求得四边形的周长，可判定D正确. 【详解】在中，可得， 在中，可得， 可得，即 因为，可得，可得， 又因为为三角形的内角，所以，所以，所以A正确； 由 ，所以B不正确； 在直角中，可得，所以C正确； 四边形的周长为， 所以D正确. 故选：ACD 8. 已知在棱长为4的正方体中，E为棱的中点，以点E为球心，以为半径的球的球面记为Γ，则下列结论正确的是（ ） A. Γ与面的交线长为 B. 直线被Γ截得的线段长为 C. 若点H为Γ上的一个动点，则的最小值为 D. Γ与截面的交线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面，求出平面截Γ所得小圆的半径即可得出弦长，可判断A；求出E到直线的距离可判断B；由点在该球外，求出的最小值可判断C；过E作于，连接，再连接，在上取，求出截面的交线长可判断D. 【详解】因为平面，所以平面截Γ所得小圆的半径， 圆心为点B，所以Γ与面的交线长为，故A项正确； 点E到直线的距离为点C到直线的距离的， 设点C到直线的距离为，由， 即，解得. 即E到直线的距离为， 所以直线被Γ截得的线段长为，故B项正确； 因为，所以点在该球外， 所以的最小值为，故C项错误； 过E作于，连接， 则，，，， 连接，在上取，则， 所以点F在该球上，在上取， 则，，所以点G在该球上， 所以以点E为球心，以为半径的球面与对角面的交点为F，G， 又因为，所以，， 所以该交线的长为，故D项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查了球的性质、正方体的性质以及截面问题，解题的关键是利用球以及正方体的对称性，确定弦的位置，考查了空间想象能力、运算求解能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 计算 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为 ， 所以. 所以 . 故答案为：. 10. 已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线 与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线与所成角的余弦值． 【详解】如图， 以的中点为坐标原点，分别以的中垂线为轴，以所在直线为轴， 以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系． 则,,,,0,,,2,,,0,, ，， ． 异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 11. 已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，两边同时平方，根据数量积公式，计算可得，再将所求式中的向量用表示，计算即得答案.. 【详解】由两边平方得：， 依题意，，则，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，M为PC中点． （1）求证：BA//平面PCD； （2）求证：AP//平面MBD． 【答案】（1）∵如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，∴BC∥AD， 又∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD； （2）设AC∩BD=H，连接MH， ∵H为平行四边形ABCD对角线的交点， ∴H为AC中点， 又∵M为PC中点，∴MH为△PAC中位线， 可得MH∥PA， MH⊂平面MBD，PA⊄平面MBD， 所以PA∥平面MBD． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知,结合直线与平面平行的判定定理可得结论；（2）设，连接，由平行四边形的性质可知为中位线，从而得到 ,利用线面平行的判定定理，即可证出平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. （2022新高考I卷） 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一第二学期数学周测（8） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z.则其中正确命题的个数为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 A. 至多有一个是直角三角形 B. 至多有两个是直角三角形 C. 可能都是直角三角形 D. 必然都是非直角三角形 5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ） A. 直线与直线平行 B. 直线与直线相交 C. 直线与直线异面垂直 D. 直线与直线异面且所成的角为60° 6. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 四边形的周长为 8. 已知在棱长为4的正方体中，E为棱的中点，以点E为球心，以为半径的球的球面记为Γ，则下列结论正确的是（ ） A. Γ与面的交线长为 B. 直线被Γ截得的线段长为 C. 若点H为Γ上的一个动点，则的最小值为 D. Γ与截面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 计算 __________. 10. 已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线 与所成角的余弦值为_______. 11. 已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则__________. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，M为PC中点． （1）求证：BA//平面PCD； （2）求证：AP//平面MBD． （2022新高考I卷） 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $