精品解析：云南民族大学附属中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025—2026学年秋季学期期中诊断测试 初三年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分100分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是纳米，则个这样的细胞排成的细胞链的长是（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 2. 下列事件中，必然事件是（　　） A. 未来一周都是好天气 B. 假期出门遇见同学 C. 不在同一直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一次硬币，正面向上 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ ） A. 80° B. 76° C. 62° D. 52° 5. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 下面计算正确的是（） A. B. C. D. 9. 如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB =50°，则∠D的度数为（　 　） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 10. 如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中E，F分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交于D，则等于（　　） A. B. C. D. 11. 已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 2 3 2 … 其中m的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 13. “指尖上的非遗——刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．取一幅长、宽的刺绣，在四周镶嵌宽度相同的边框便制成了一幅矩形挂图（如图），且整幅挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 14. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 15. 楚雄市，隶属于云南省楚雄彝族自治州，彝族人民喜欢用月琴演奏他们在生产生活中喜怒哀乐的情感，月琴也是彝族人民历史悠久的传统乐器之一．彝族月琴有圆形、梨形、六角形、八角形等不同的形状，它由两个面板、手板、长劲头、弦扭、缚弦组成，弦扭通常用大红花树制作．现要制作一个六角月琴，需计算六角月琴一个面板的面积，六角月琴的面板是一个正六边形，若已知正六边形内接于，的半径是，则正六边形的面积是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若点A与点B关于原点O对称，则点B的坐标是________． 17. 已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为________．（填“相交”、“相切”或“相离”）． 18. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________． 19. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20. 解一元二次方程： （1） （2） 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）将向下平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 22. 某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 23. 若a是方程的一个根，求代数式的值． 24. 推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元． 25. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 26. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 27. 【问题背景】在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，，点B是x轴上的一个动点．过点A，B的与x轴相切，切点为点B，与y轴交于点A，C．设圆心P的坐标为． 【构建联系】（1）当时，直接写出点P的坐标； （2）如图1，连接PA，PB，过点A作，垂足为点H，线段PA，PH，AH满足什么数量关系？试求出x，y满足的函数关系式； 【深入探究】（3）如图2，过点B作的直径BD，连接BC，CD．作点A关于直线BC的对称点，当点落在的边上时，求BD的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年秋季学期期中诊断测试 初三年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分100分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是纳米，则个这样的细胞排成的细胞链的长是（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 【答案】B 【解析】 【分析】本题有理数乘法的应用，同底数幂乘法．由题意列式，计算求值即可．掌握同底数相乘，底数不变，指数相加是解题关键． 【详解】解：纳米， 故选：B． 2. 下列事件中，必然事件是（　　） A. 未来一周都是好天气 B. 假期出门遇见同学 C. 不在同一直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一次硬币，正面向上 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的意义进行判断即可． 【详解】解：根据概念，知： A、未来一周都是好天气，是随机事件； B、假期出门遇见同学，是随机事件； C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，是必然事件； D、掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件． 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．①必然事件指在一定条件下一定发生的事件；②不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；③不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选：B． 4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ ） A. 80° B. 76° C. 62° D. 52° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数． 【详解】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC=38°， ∴∠BOC=2∠BAC=76°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 5. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：共有5个书签图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第2张与第4张书签图片，共2张， ∴小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，概率公式求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，求出判别式与0的关系直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 7. 若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点的对称点为， 又，即、、三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小． ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键． 8. 下面计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，故A不符合题意； 选项B：，故B符合题意； 选项C：，故C不符合题意； 选项D：，故D不符合题意； 故选：B． 9. 如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB =50°，则∠D的度数为（　 　） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的角的度数． 【详解】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=50°， ∴∠CBA=40°， ∴∠D=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形． 10. 如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中E，F分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交于D，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查的是旋转的性质，同时还涉及了三角形的内角和等知识，首先得出，，进而求得的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵将旋转到的位置，其中E、F分别是A、B的对应点， ∴，， ∴， 故选：D． 11. 已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 2 3 2 … 其中m的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，找到表格中函数值相等的两个自变量的值，求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为， ∴和的函数值相同， ∴； 故选：D． 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】解：将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是． 故选：D． 13. “指尖上的非遗——刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．取一幅长、宽的刺绣，在四周镶嵌宽度相同的边框便制成了一幅矩形挂图（如图），且整幅挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边框的宽度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：设边框的宽度为， 根据题意得：， 故选：． 14. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 15. 楚雄市，隶属于云南省楚雄彝族自治州，彝族人民喜欢用月琴演奏他们在生产生活中喜怒哀乐的情感，月琴也是彝族人民历史悠久的传统乐器之一．彝族月琴有圆形、梨形、六角形、八角形等不同的形状，它由两个面板、手板、长劲头、弦扭、缚弦组成，弦扭通常用大红花树制作．现要制作一个六角月琴，需计算六角月琴一个面板的面积，六角月琴的面板是一个正六边形，若已知正六边形内接于，的半径是，则正六边形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，过点作于点，根据正六边形的性质求出，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可得到答案，掌握正六边形的中心角的求法、等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为：， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若点A与点B关于原点O对称，则点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，掌握相关知识是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，即可得点B的坐标． 【详解】解：点A的坐标为，点A与点B关于原点O对称， 点B的横坐标为，纵坐标为，即点B的坐标为， 故答案为：． 17. 已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为________．（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相离 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，关键是求出半径r，再与圆心到直线的距离d进行比较．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此即可解答． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴其半径． ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线和圆相离． 故答案为：相离． 18. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数． 【详解】解：由题意可得， 20×0.25＝5（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是5个， 故答案是：5． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率公式计算出红球的个数． 19. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再根据直接开平方法即可解题． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）将向下平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，交点即为旋转中心点M， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． 22. 某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 【答案】（1） 列表如下： 1 2 3 4 1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) （a，b）所有可能出现的结果总数有8种； （2） 游戏公平，理由： 由表格知a+b为奇数的情况有4种，为奇数的情况也有4种， 概率相同，都是，所以游戏公平． 【解析】 【分析】（1）列表列出所有等可能结果即可； （2）由和为偶数的有8种情况，而和为奇数的有4种情况，即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 23. 若a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将a代入方程再将方程变换得到，，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，， ∴ ． 24. 推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元． 【答案】（1）； （2）销售单价定为元时，最大利润是元． 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数的应用及二次函数最大值求法，解题的关键是根据题意列出函数关系． （1）将点、代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得，根据x的范围以及二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设香蕉每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得：， ， 抛物线开口向下，， 当时，有最大值，此时， 答：销售单价定为元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是元． 25. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等，熟记以上性质定理是解题的关键． （1）连接，由弦平分，且可证明，可推出，即可证明结论； （2）连接，则，根据含角的直角三角形的性质推出，然后在直角三角形中根据勾股定理求出即可推出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 则的半径为． 26. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与几何问题，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可； （2）把代入抛物线，求得点的坐标，把代入抛物线，求得点的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入函数解析式可得， ，解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 当时，可得， 解得， ， ， ． 27. 【问题背景】在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，，点B是x轴上的一个动点．过点A，B的与x轴相切，切点为点B，与y轴交于点A，C．设圆心P的坐标为． 【构建联系】（1）当时，直接写出点P的坐标； （2）如图1，连接PA，PB，过点A作，垂足为点H，线段PA，PH，AH满足什么数量关系？试求出x，y满足的函数关系式； 【深入探究】（3）如图2，过点B作的直径BD，连接BC，CD．作点A关于直线BC的对称点，当点落在的边上时，求BD的长度． 【答案】（1）或；（2）；（3）2或4 【解析】 【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，点的坐标的特征和矩形的判定与性质解答即可； （2）利用勾股定理得到，利用点的坐标的特征得到，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理化简运算即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点落在的边上时，利用圆的切线的性质定理和正方形的判定与性质解答即可；当点落在的边上时，利用对称性和圆周角定理求得，再利用含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）当时， ∵， ∴， ∵与x轴相切，切点为点B， ∴轴， ∴轴， ∴点O到x轴，y轴的距离为1， ∴点P的坐标为或． 当时，点P的坐标为或． （2）∵， ∴， ∴线段满足的数量关系为：． ∵圆心P的坐标为， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴x，y满足的函数关系式为； （3）如图，①当点落在的边上时， ∵点A关于直线的对称点， ∴， ∴点A，，C重合，即与y轴相切， 如图：连接，四边形为正方形， ∴， ∴； ②如图，当点落在的边上时，连接， ∵点，点A关于直线的对称，点落在的边上， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当点落在的边上时，的长度为2或4． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的切线的性质定理、勾股定理，含30°角的直角三角形的性质、轴对称的性质、点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $