精品解析：安徽省滁州市来安县水口中学2025--2026学年上学期九年级数学期中考试题

水口中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=±2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可． 【详解】x2−4x＝7， x2−4x＋4＝11， 所以（x−2）2＝11． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（　　） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出答案． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位得到抛物线， 故选：D． 5. 若与关于坐标原点成中心对称，则a，b分别为（ ）． A. 4，3 B. -4，3 C. 4，-3 D. -4，-3 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于坐标原点成中心对称的特点即可求解． 【详解】∵与关于坐标原点成中心对称， ∴b=-3，a=4 故选C． 【点睛】此题主要考查中心对称的性质，解题的关键是熟知关于坐标原点成中心对称的两坐标横纵坐标都互为相反数． 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：A． 7. 已知抛物线过点,,,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线解析式可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足：离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵距离对称轴有个单位长度， 距离对称轴有个单位长度， 距离对称轴有个单位长度， ∴．   故选：B ． 8. 将抛物线：向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线，则抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，根据左加下减的原则，计算即可． 【详解】向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线， 则抛物线的函数表达式为， 即， 故选：D． 9. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案． 【详解】解：由的顶点坐标为 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax－a过一，二，四象限， 故C符合题意，D不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 10. 如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线． ①； ②；③不等式的解集是；④若是抛物线上的两点，则． 上述4个判断中，正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由于不能确定抛物线与x轴的交点坐标，于是可对②③进行判断；当抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，由此可对④进行判断． 【详解】①∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故①正确； ②时，，而题中条件不能判断此时的正负，即可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误； ③如果设的两根为、，那么根据图象可知不等式的解集是或，故③错误； ④∵二次函数的对称轴是直线， ∴与时的函数值相等， ∵， ∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大， ∴，故④正确． 故选B． 11. 某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键． 12. 已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，求此时t的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 3或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵时，与其对应的函数值y的最小值为，分两种情况： ①当时，即：时， 当时，，解得：（舍去）或； ②当时，即：时， 当时，，解得：（舍去）或； 综上：t的值为2或； 故选B． 二、填空题（12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 若关于x的方程有一个根为，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程得，然后解关于的方程． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 15. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 16. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有_________（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2， ∴b=﹣4a＞0，即4a+b=0，所以①正确； ∵x=﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴x=﹣1时，a﹣b+c=0， ∴a+4a+c=0， ∴c=﹣5a， ∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a， 而a＜0， ∴8a+7b+2c＞0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=2， ∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④错误． 故答案为：①③． 【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象可知抛物线的对称轴为x=2，开口向下，以及抛物线与x轴交于点（-1，0），从而可判断所给的结论． 三、解答题（72分） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里a=3，b=6，c=-4， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，利用有理数的乘方的法则，零指数幂的运算法则，绝对值的意义，算术平方根的意义将原式化简，再进行加减计算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、二次根式的运算等知识点，正确化简分式是解答的关键． 20. 学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）. 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1） 本次随机调查的学生人数是_______，图（1）中m的值是_______； （2）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数； （3）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10 天的学生人数． 【答案】（1）40，20；（2）众数为10，平均数为11，中位数为11；（3）288. 【解析】 【分析】（1）利用参加社会实践活动9天的人数除以它所占百分比可得调查总人数；利用100%减去各部分所占百分比即可求出m的值； （2）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为10；把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，从而可得中位数为11；求出数据的总和再除以40即可得到平均数； （3）利用样本估计总体的方法可得该区480名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于10天的人数比例约为60%，然后可得答案． 【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数=， 活动为12天占比为100%-25%-30%-10%-15%=20%， ∴图（1）中m的值是20； （2）观察条形统计图， ∵ 在这组数据中，10出现了12次，出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数为10． ∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是11，有 ， ∴ 这组数据的中位数为11． ∵ ， ∴ 这组数据的平均数是11． （3）∵ 在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于10天的学生人数占 ， ∴ 估计该校480名学生中，参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约占，有 ． ∴ 参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约为288． 【点睛】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图，以及众数、中位数、加权平均数的计算，关键是正确从统计图中获取正确信息． 21. 如图，在中，点E在上，点F在上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，本题先证明，，即可得到结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】略 22. 如图，一条城际铁路从A市到B市需要经过C市，A市位于C市西南方向，与C市相距40在千米，B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东60°方向处．因打造城市经济新格局需要，将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路，求新铺设的铁路AB的长度．（结果保留根号） 【答案】AB=（20+20）千米． 【解析】 【分析】过C作CP⊥AB于P，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AP与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出PB的长，由AP+PB求出AB的长即可． 【详解】解：过C作CP⊥AB于P， ∵在Rt△ACP中，AC=40千米，∠ACP=45°，sin∠ACP=，cos∠ACP=， ∴AP=AC•sin45°=40×=20（千米）， CP=AC•cos45°=40×=20（千米）， ∵在Rt△BCP中，∠BCP=60°，tan∠BCP=， ∴BP=CP•tan60°=20（千米）， 则AB=AP+PB=（20+20）千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求出该函数与轴的交点坐标； （3）画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 作图如下． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与轴、轴的交点坐标的求法，是一个基础题． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）令，即可得到关于的方程，即可得解； （3）由（1）（2）即可作图，结合图象可得的范围． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式是， 则， 解得：． 则抛物线的解析式是，即； 【小问2详解】 解：在中， 令，则， 解得：或3， 则函数与轴的交点坐标，； 【小问3详解】 解：由（1）（2）得，抛物线顶点为，与轴交点坐标为，； 令，则， 与轴交于． 当时，． 24. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备以6元/个的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系； （2）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之和的函数关系式； （3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润． 【答案】（1） （2） （3）要想获得最大的利润，则这种许愿瓶的销售单价为元，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据图象可以得出设y与x之间的函数关系为y=kx+b，直接运用待定系数法求出其解就可以了； （2）根据条件建立不等式求出x的取值范围，再根据利润等于售价-进价表示出总利润，； （3）由二次函数的性质即可求出结论． 【小问1详解】 设y与x之间的函数关系为，由题意，得 ， 解得：， 故y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意，得 ， 解得：，由题意，得 ， ； 【小问3详解】 ∵， ∴图象对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，w随x增大而减小， ∴当时，． 【点睛】本题是一道二次函数的综合运用试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出利润的解析式是关键． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【小问1详解】 解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； 【小问3详解】 在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 水口中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（　　） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 5. 若与关于坐标原点成中心对称，则a，b分别为（ ）． A. 4，3 B. -4，3 C. 4，-3 D. -4，-3 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 16 7. 已知抛物线过点,,,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线：向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线，则抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 9. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线． ①； ②；③不等式的解集是；④若是抛物线上的两点，则． 上述4个判断中，正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 11. 某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，求此时t的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 3或 D. 或 二、填空题（12分） 13. 因式分解：______． 14. 若关于x的方程有一个根为，则a的值为______． 15. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 16. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有_________（填序号） 三、解答题（72分） 17. 解方程：． 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）. 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1） 本次随机调查的学生人数是_______，图（1）中m的值是_______； （2）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数； （3）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10 天的学生人数． 21. 如图，在中，点E在上，点F在上，．求证：． 22. 如图，一条城际铁路从A市到B市需要经过C市，A市位于C市西南方向，与C市相距40在千米，B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东60°方向处．因打造城市经济新格局需要，将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路，求新铺设的铁路AB的长度．（结果保留根号） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求出该函数与轴的交点坐标； （3）画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 24. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备以6元/个的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系； （2）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之和的函数关系式； （3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $